1、理数课标版第一节空间几何体及其三视图、直观图、表面积与体积1.空间几何体的结构特征空间几何体的结构特征教材研读教材研读多面体(1)棱柱:侧棱都平行且相等,上、下底面平行且是全等的多边形.(2)棱锥:底面是多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形.(3)棱台:可以由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到,其上、下底面是相似多边形旋转体(1)圆柱:可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到.(2)圆锥:可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到.(3)圆台:可以由直角梯形绕其垂直于底边的腰所在直线或等腰梯形绕其上、下底边中点的连线所在直线旋转得到,也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到.(4)球:可以由半圆或圆绕其直
2、径所在直线旋转得到2.空间几何体的三视图空间几何体的三视图(1)三视图的形成与名称:(i)形成:空间几何体的三视图是由平行投影得到的,在这种投影之下,与投影面平行的平面图形留下的影子,与平面图形的形状和大小是完全相同的.(ii)名称:三视图包括正视图、侧视图、俯视图.(2)三视图的画法:(i)在画三视图时,重叠的线只画一条,被挡住的线要画成虚线.(ii)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图.3.空间几何体的直观图空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则如下:(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直(原点为O),直观图中
3、,相应的x轴,y轴满足xOy=45或135(O为原点),z轴与x轴和y轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴;平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变;平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半.4.柱、锥、台、球的表面积和体积柱、锥、台、球的表面积和体积几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S=S侧+2S底V= S底h锥体(棱锥和圆锥)S=S侧+S底V= S底h台体(棱台和圆台)S=S侧+S上+S下V=(S上+S下+)h球S= 4R2V= R31313S S下上431.下列说法正确的是()A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行,
4、其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D.棱台各侧棱的延长线交于一点答案答案D由棱柱和棱锥的概念可知,A、B、C均错误.由于棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥所得到的截面与底面之间的部分,故棱台各侧棱的延长线交于一点.2.如图,下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是()A.B.C.D.答案答案 C由几何体的结构可知,圆锥、正四棱锥两个几何体各自的正视图和侧视图相同,且其不与俯视图相同;正方体的三个视图都相同,正三棱台的三个视图都不相同.3.(2016课标全国,6,5分)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积
5、为()A.20B.24C.28D.32答案答案 C由三视图可得圆锥的母线长为=4,S圆锥侧=24=8.又S圆柱侧=224=16,S圆柱底=4,该几何体的表面积为8+16+4=28.故选C.222(2 3)4.侧面都是直角三角形的正三棱锥,底面边长为a时,该三棱锥的全面积是.答案答案 a2解析解析侧面都是直角三角形,故底面边长为a时,侧棱长等于a,所以S全=a2+3=a2.334223412222a3345.(2016北京,11,5分)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为.答案答案解析解析由题中三视图可画出长为2、宽为1、高为1的长方体,将该几何体还原到长方体中,如图所示,该几何体为四棱
6、柱ABCD-ABCD.32故该四棱柱的体积V=Sh=(1+2)11=.1232考点一空间几何体的结构特征考点一空间几何体的结构特征典例典例1以下命题:以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3答案答案B解析解析命题错,这条边若是直角三角形的斜边,则得不到圆锥;命题错,这条腰必须是垂直于两底边的腰;命题对;命题错,用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以得到一个圆锥和一个圆台.考点突破考点突破方法技巧方法技巧解决与
7、空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全方面地去分析,多观察实物,提高空间想象能力;(2)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后依据题意判定;(3)通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可.1-1如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧棱称为它的腰,以下四个命题中,假命题是()A.“等腰四棱锥”的腰与底面所成的角都相等B.“等腰四棱锥”的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C.“等腰四棱锥”的底面四边
8、形必存在外接圆D.“等腰四棱锥”的各顶点必在同一球面上答案答案BB不正确,反例见下图:“等腰四棱锥”S-ABCD中,底面ABCD为矩形,AB=4,BC=2,O为S在平面ABCD上的射影,OEAB于E,OFBC于F.OEOF,12,又易知1与2不互补,“等腰四棱锥”S-ABCD的侧面SAB与底面所成的二面角和侧面SBC与底面所成的二面角既不相等,也不互补.1-2给出下列四个命题:有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱;侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥;侧面都是矩形的直四棱柱是长方体;底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱.其中不正确的命题为.答案答案解析解析对于,平行六面体的两个相
9、对侧面也可能是矩形,故错;对于,对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图),故错;对于,若底面不是矩形,则错;由线面垂直的判定,可知侧棱垂直于底面,故正确.综上,命题不正确.考点二空间几何体的三视图与直观图考点二空间几何体的三视图与直观图典例典例2(1)(2016天津,3,5分)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为()(2)如图,矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图,其中OA=6cm,OC=2cm,则原图形是()A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形答案答案(1)B(2)C解析解析(1)由几何体的正视图、
10、俯视图以及题意可画出几何体的直观图,如图所示.该几何体的侧视图为选项B.故选B.(2)将直观图还原得 OABC,如图,因为OD=OC=2cm,22所以OD=2OD=4cm,因为CD=OC=2cm,所以CD=2cm,所以OC=6(cm),所以OA=OA=6cm=OC,故原图形为菱形.222CDOD222(4 2)方法技巧方法技巧1.解决三视图问题的方法(1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉.(2)明确三视图的形成原理,并能结合空间想象将三视图还原为直观图.(3)画三视图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则.2.原图与直观图中的“三变”与“三不变”(1)“三变”(2)“三不变”()y坐标轴的夹角
11、改变与 轴平行的线段的长度改变 减半图形改变x平行性不变与 轴平行的线段长度不变相对位置不变2-1 (2016河南郑州质检)下图是正三棱锥V-ABC的正视图、侧视图和俯视图,则其侧视图的面积是()A.4B.5C.6D.7答案答案 C如图,在长方体中作出正三棱锥V-ABC的直观图,其中VAD为正视图,易知AD为正三角形ABC的高,AC=2,故AD=2=3,过V作VOAD交AD于O,易知O为正三角形ABC的中心,所以AO=AD=2,所以在RtVOA中,VO=2,正三棱锥V-ABC的高h=VO=2.因为ABC为正三角形,所以BC=AC=2.所以侧视图的面积S=BCh=(2)2=6.故选C.33322
12、322VAAO33312123考点三空间几何体的表面积与体积考点三空间几何体的表面积与体积典例典例3(1)(2016重庆3月模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.B.6C.3+D.563932(2)(2016山东,5,5分)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为()A.+B.+C. +D.1+13231323132626(3)(2016浙江,11,6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.答案答案(1)D(2)C(3)72;32解析解析(1)由三视图知,该几何体为一个棱长为1的正方体截去一个三棱锥
13、A-BCD后剩余的部分,如图所示,所以该几何体的表面积为311+311+sin60=,故选D.(2)由三视图可知四棱锥为正四棱锥,底面正方形的边长为1,四棱锥的高为1,球的直径为正四棱锥底面正方形的外接圆的直径,所以球的直径2R=,则R=,所以半球的体积为R3=,又正四棱锥的体积为121212229322222326131=,所以该几何体的体积为+.故选C.(3)由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示.该几何体由两个完全相同的长方体组合而成,其中AB=BC=2cm,BD=4cm,该几何体的体积V=2242=32cm3,表面积S=(223+243)2=362=72cm2.131326方法技
14、巧方法技巧1.解决组合体问题的关键是分清该组合体是由哪些简单的几何体组成的,以及这些简单的几何体的组合方式.2.由三视图求几何体的表面积、体积时,关键是由三视图还原几何体,同时还需掌握求体积的常用方法,如:割补法和等价转化法.3-1已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.10+96B.9+96C.8+96D.9+80答案答案 C由三视图知该几何体是一个正方体和一个圆柱的组合体,其中圆柱的底面直径为2,高为4,正方体的棱长为4,该几何体的表面积为10+96-2=8+96,故选C.3-2某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.54B.60C.66D.72答案答案
15、B该几何体的直观图如图所示,易知该几何体的表面是由两个直角三角形,两个直角梯形和一个矩形组成的,则其表面积S=34+121235+5+4+35=60.选B.2522523-3 (2016四川,13,5分)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是.答案答案 解析解析由题意及正视图可知三棱锥的底面(等腰三角形)的底边长为2,三棱锥的高为1,则三棱锥的底面积为2=,该三棱锥的体积为1=.33312222( 3)3313333考点四球与几何体的切、接问题考点四球与几何体的切、接问题典例典例4(1)(2015课标,9,5分)已知A,B是球O的球面上两点,A
16、OB=90,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36B.64C.144D.256(2)(2016课标全国,10,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()A.4B.C.6D.92323答案答案(1)C(2)B解析解析(1)SOAB是定值,且VO-ABC=VC-OAB,当OC平面OAB时,VC-OAB最大,即VO-ABC最大.设球O的半径为R,则(VO-ABC)max=R2R=R3=36,R=6,131216球O的表面积S=4R2=462=144.(2)易知AC=10
17、.设底面ABC的内切圆的半径为r,则68=(6+8+10)r,所以r=2,因为2r=43,所以最大球的直径2R=3,即R=.此时球的体积V=R3=.故选B.1212324392方法技巧方法技巧空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.(2)若球面上四点P,A,B,C所连的三条线段PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关图形“补形”成一个球内接长方体,利用4R2=a2+b2+c2(R为球的半径)求解.4-1 (2016广东广州综合
18、测试)一个六棱柱的底面是正六边形,侧棱垂直于底面,所有棱的长都为1,顶点都在同一个球面上,则该球的体积为()A.20B.C.5D.答案答案 D解法一:以正六棱柱的一个最大对角面作截面,如图,设球心为O,正六棱柱的上下底面中心分别为O1,O2,则O是O1O2的中点,O1O2=1,AB=2,则球的直径d=,所以球的体积为V=.20 535 5622215433525 56解法二:底面正六边形外接圆的半径r=1,球心O到底面的距离为,故球半径R=,故球的体积V=.122112525 564-2若圆锥的内切球与外接球的球心重合,且内切球的半径为1,则圆锥的体积为.答案答案3解析解析过圆锥的旋转轴作轴截面,得ABC及其内切圆O1和外切圆O2,如图,则两圆同圆心,即ABC的内心与外心重合,易得ABC为正三角形,由题意知O1的半径为r=1,ABC的边长为2,高为3,于是圆锥的底面半径为,高为3.故所求体积为V=33=3.3313
