1、第一章 三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角跳水运动员向内、向外转体两周半，这是多大角度跳水运动员向内、向外转体两周半，这是多大角度? ? 提示：提示：900900o o体操中有转体两周或体操中有转体两周或转体两周半，如何度转体两周半，如何度量这些角度呢？量这些角度呢？提示：提示：角的范围需要扩展角的范围需要扩展经过经过1 1小时，秒针、分针各转了多少度？小时，秒针、分针各转了多少度？提示：提示：21 60021 600o o，360360o o. . 在齿轮转动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋在齿轮转动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的转的. . 一般地，一条射线绕其端点旋转，
2、既可以按逆时一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转. .你认为将一你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转条射线绕其端点按逆时针方向旋转6060所形成的角，所形成的角，与按顺时针方向旋转与按顺时针方向旋转6060所形成的角是否相等？所形成的角是否相等？提示：提示：不相等不相等1.1.了解角的概念的推广过程，理解并掌握正角、负了解角的概念的推广过程，理解并掌握正角、负角、零角的定义角、零角的定义. .( (重点重点) )2.2.理解任意角以及象限角的概念理解任意角以及象限角的概念. .( (重点重点) )3.3.掌握所有与角
3、掌握所有与角终边相同的角的表示方法终边相同的角的表示方法. .( (难点）难点）思考思考2 2：想想用什么办法才能推广到任意角想想用什么办法才能推广到任意角? ?提示：关键是用运动的观点来看待角的变提示：关键是用运动的观点来看待角的变化化. .思考思考1 1：上述这些例子有的角不仅不在上述这些例子有的角不仅不在0 0360360范围内，而且有方向范围内，而且有方向, ,如何解决这一问题呢如何解决这一问题呢? ?提示：将角的概念及范围推广提示：将角的概念及范围推广. .一、任意角的概念一、任意角的概念 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图
4、形叫做角另一个位置所成的图形叫做角. .1.1.角的概念的推广角的概念的推广O OA AB B始边始边终边终边顶点顶点2.2.角的构成要素角的构成要素始边始边终边终边顶点顶点A AB BO O方向方向这样，我们就把角的概念推广到了任意角这样，我们就把角的概念推广到了任意角. .正角：按正角：按逆时针逆时针方向旋转形成的角方向旋转形成的角负角：按负角：按顺时针顺时针方向旋转形成的角方向旋转形成的角零角：一条射线没有作零角：一条射线没有作任何旋转任何旋转形成的角形成的角任任意意角角规定：规定：2.2.钟表经过钟表经过4 4小时，时针与小时，时针与分针各转了分针各转了_._.-120-120, ,
5、-1 440-1 4401.1.从中午从中午1212点到下午点到下午3 3点，点，时针走过的角度是时针走过的角度是_._.-90-90看谁答得快看谁答得快【即时训练即时训练】oy二、象限角二、象限角x思考：思考：为了进一步研究角的需要，我们常在直角为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合, ,角的角的始边与始边与x x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？角的终边可能落在哪些位置？ 提示：提示：x x轴上、轴上、y y轴上或者轴上或者x x轴、轴、y y轴之间的区
6、域内轴之间的区域内象限角的概念象限角的概念角的顶点与原点重合角的顶点与原点重合, ,角的始边与角的始边与x x轴的非轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，我们负半轴重合，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角；角的终边在坐就说这个角是第几象限角；角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限限. .-50 xyOxyO210-450 xyO405xyO-200 xyO第四象限角第四象限角第一象限角第一象限角第三象限角第三象限角第二象限角第二象限角不属于任何象限的角不属于任何象限的角提示：提示： 下列各角：下列各角：-50-50，405405，21
7、0210, , -200 -200，-450-450分别是第几象限角？分别是第几象限角？【即时训练即时训练】想一想：想一想：锐角与第一象限角是什么关系？锐角与第一象限角是什么关系？ 钝角与第二象限角是什么关系？钝角与第二象限角是什么关系？ 锐角一定是第一象限角，第一象限角不一定是锐角锐角一定是第一象限角，第一象限角不一定是锐角.钝角一定是第二象限角，第二象限角不一定是钝角钝角一定是第二象限角，第二象限角不一定是钝角.提示：提示： 第二象限角一定比第一象限角大吗？第二象限角一定比第一象限角大吗？ 象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小大小.
8、. A=A=小于小于9090的角，的角，B=B=第一象限角，则第一象限角，则AB=AB= （ ）A.A.锐角锐角 B.B.小于小于9090的角的角C.C.第一象限角第一象限角 D.D.以上都不对以上都不对D D【即时训练即时训练】三、终边相同的角三、终边相同的角 思考思考1 1： -32-32，328328，-392-392是第几象限角？是第几象限角？ 这些角有什么内在联系？这些角有什么内在联系？3232-392-392 xyo o328328提示：提示：-32-32，328328，-392-392都都是第四象限的角，它们的是第四象限的角，它们的终边相同终边相同. .思考思考2 2：所有与所有
9、与-32-32角终边相同的角，连同角终边相同的角，连同-32-32角在内，可构成一个集合角在内，可构成一个集合S S，你能用描，你能用描述法表示集合述法表示集合S S吗？吗？ ooS-32k 360 ,kZ 提示：提示：思考思考3 3：一般地，所有与角一般地，所有与角终边相同的角，终边相同的角，连同角连同角在内所构成的集合在内所构成的集合S S可以怎样表示？可以怎样表示？ 提示：提示：S=S=|=k k360360，kZkZ ，即任一与角即任一与角终边相同的角，都可以表示成角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和与整数个周角的和. .终边相同的角不一定相等，但相等的角终边终边相同的角不一
10、定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差相差360360的整数倍的整数倍下列说法正确的是（下列说法正确的是（ ）A.A.终边相同的角一定相等终边相同的角一定相等B.B.第一象限角都是锐角第一象限角都是锐角C.C.锐角都是第一象限角锐角都是第一象限角D.D.小于小于9090的角都是锐角的角都是锐角C C【即时训练即时训练】例例1.1.在在0 0360360范围内，找出与范围内，找出与-950-9501212角终角终边相同的角，并判定它是第几象限角边相同的角，并判定它是第几象限角. . 关键是通过加减关键是通过加减360360的整的整数
11、倍，在数倍，在0 0360360范围范围内找到终边相同的角内找到终边相同的角. .在在0 0360360范围内，找出与下列各角终边范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角：相同的角，并判定它们是第几象限角： 1 1101 110 -1 234 -1 234 665 665 -540-5404848 解：解： 1 1101 110=30=30+3+3360360与与3030的角终边相同，是第一象限角的角终边相同，是第一象限角 -1 234-1 234=206=206+(-4)+(-4)360360与与206206的角终边相同，是第三象限角的角终边相同，是第三象限角 665 66
12、5=305=305+360+360与与305305的角终的角终边相同，是第四象限角边相同，是第四象限角 -540-54048 =17948 =17912+(-2)12+(-2)360360与与1791791212的角终边相同，是第二象限角的角终边相同，是第二象限角【变式练习变式练习】 思考思考4 4：终边在终边在x x轴正半轴、负半轴，轴正半轴、负半轴，y y轴正轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？半轴、负半轴上的角分别如何表示？ 提示：提示：终边在终边在x x轴正半轴：轴正半轴：= k= k360360，kZkZ ； 终边在终边在x x轴负半轴：轴负半轴：= 180= 180k k36036
13、0，kZkZ ；终边在终边在y y轴正半轴：轴正半轴：= 90= 90k k360360，kZkZ ； 终边在终边在y y轴负半轴：轴负半轴：= 270= 270k k360360，kZkZ . .例例2.2.写出终边在写出终边在y y轴上的角的集合轴上的角的集合. .解：解：在在0 0360360范围内，终边在范围内，终边在y y轴上的角有轴上的角有两个，即两个，即9090，270270角（如图）角（如图）. .因此，所有因此，所有与与9090角终边相同的角构成集合角终边相同的角构成集合S S1 1=| |=90=90+k+k360360，kkZ,而所有与而所有与270270角终边相同的角构
14、成集合角终边相同的角构成集合S S2 2=| |=270=270+k+k360360，kkZ,于是，终边在于是，终边在y y轴上的角的集合轴上的角的集合S=SS=S1 1SS2 2=| |=90=90+2k+2k180180，kkZ | |=90=90+180+180+2k+2k180180，kkZ =| |=90=90+2k+2k180180，kkZ | |=90=90+ +（2k+12k+1）180180，kkZ =| |=90=90+n+n180180，nnZ.已知角已知角是第三象限角是第三象限角, ,则角则角-的终边在（的终边在（ ）A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限C
15、.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限B B【变式练习变式练习】例例3.3.写出终边在直线写出终边在直线y=xy=x上的角的集合上的角的集合S S，并把，并把S S中中适合不等式适合不等式-360-360720720的元素的元素写出来写出来. .解：解：如图，在直角坐标系中画出直线如图，在直角坐标系中画出直线y=x,y=x,可以发可以发现它与现它与x x轴的夹角是轴的夹角是4545, ,在在0 0360360 范围内，范围内，终边在直线终边在直线y=xy=x上的角有两个：上的角有两个： 4545,225,225. .因此，终边在直线因此，终边在直线y=xy=x上的角的集合上的角的集合
16、S=S=| |=45=45+k+k360360,k,kZ | |=225=225+k+k360360,k,kZ =| |=45=45+k+k180180,k,kZ S S中适合不等式中适合不等式-360-360720720的元素是的元素是4545-2-2180180= -315= -315, ,4545-1-1180180= -135= -135, ,4545+0+0180180= 45= 45, ,4545+1+1180180= 225= 225, ,4545+2+2180180= 405= 405, ,4545+3+3180180= 585= 585. .思考是如何思考是如何变换的？变换的
17、？ 已知角已知角的终边在如图中阴影所表示的范围内（不的终边在如图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么包括边界），那么_._.x xy yOk 180180 k 180 ,kZ-【变式练习变式练习】2 2、如果、如果，终边相同，则终边相同，则-的终的终 边落在（边落在（ ） A. XA. X轴的正半轴上轴的正半轴上 B. XB. X轴的负半轴上轴的负半轴上 C. yC. y轴的正半轴上轴的正半轴上 D. yD. y轴的负半轴上轴的负半轴上A A3 3、与、与-1 778-1 778的终边相同且绝对值最小的终边相同且绝对值最小的角是的角是_ _ 。22224 (1)50、 已知角 终边与角终边关于 轴对称y.M求角 的集合(2)50,.N已知角 终边与角终边互相垂直求角 的集合解解：(1)23050与的终边关于y轴对称,230360 ,.MkkZ (2)509050与角终边互相垂直,5090360 ,. NkkZ 回顾本节课的收获回顾本节课的收获角的概念的推广角的概念的推广 任意角的概念任意角的概念象限角象限角终边相同的角终边相同的角的表示的表示把学问过于用作装饰是虚假；完全依学问上的规则断事是书生的怪癖.培根
