1、初中数学九年级分层专题4 半角模型共顶点半角模型：共顶点半角模型：例题：如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC和CD边上，且EAF=45，连结EF： 探究（探究（1 1）试证明：EF=BE+DF。探究探究：F45FCABDE213结论：结论：EF=EF= BE+DFBE+DF逆逆变式变式画板画板E45FCABDE213EF=BE+DFEF=BE+DF F E D C B A：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B=D=90，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF= BAD，上述结论是否还成立？21DABCEFF213EF=BE+DFEF=BE+DF：如图，在四边形ABCD中，AB=AD
2、，B+D=180，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF= BAD，上述结论是否还成立？21结论一：结论一：EF=BE+DFEF=BE+DF一.题干中条件特征有：二.解题步骤：1.1.半角半角 2.2.共顶点共顶点 3 3. .等线段等线段4 4. .互补角互补角归纳归纳一画（旋转）一画（旋转）二证（全等）二证（全等）三得（结论）三得（结论） F E D C B A验证一般性.gsp思考思考：由结论一可以直接得到哪些推论？CECF=2倍正方形边长倍正方形边长SABE+SADF=SAEF探究（探究（2 2）试证明AE平分BEF，AF平分EFD， 对于变式1.2是否也成立？结论二：结论二：AEAE
3、平分平分BEFBEF，AFAF平分平分EFDEFD探究（探究（3 3）过点A作AHEF，AH的值是否随E、F点位置变化而发生变化？“等面积法等面积法”“角平分线的性质定理角平分线的性质定理”“全等全等”结论三：结论三：AH=ABAH=AB分析：分析：这样问，一般AH为定值，需证得AH与图中固定线段相等，图中固定线段只有正方形边长，观察且借助前面结论可证得AH确实等于正方形边长探究（探究（4 4）当E、F满足什么位置时，AEF面积最小？（或问CEF面积最大）结论四：当结论四：当CE=CFCE=CF时，时，A AEFEF面积最小面积最小（CEFCEF面积最大）面积最大）设正方形边长为设正方形边长为
4、1 1，S SA AEFEF=1-S1-S2-S3=1-S1-S2-S3 = - xy = - xy当当x=yx=y时，时，xyxy最大，最大，S SA AEFEF最最小小即：当即：当EC=EFEC=EF时，时，S SA AEFEF最小最小2121探究（探究（5 5）连接BD，与AE、AF分别交于M、N两点，试证明BM、MN、DN之间的数量关系： MN MN2 2=BM=BM2 2+DN+DN2 2 证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形BAD=BAD=9090, ,A AD DB B=A AB BD D= =4545将将ADNADN绕点绕点A A逆时针旋转逆时针旋转9090
5、至至ABNABN的位置，连结的位置，连结MNMN，由旋转的性质得：由旋转的性质得：ADNADNABNABN，BN=DNBN=DN，BAN=DANBAN=DAN，ABN=ADNABN=ADN= =4545MBN=90MBN=90，NAM=NAMNAM=NAM，易证，易证AMNAMNAMNAMN（SASSAS），），MN=MNMN=MNMNMN2 2=BM=BM2 2+DN+DN2 2 结论五：结论五：MNMN2 2=BM=BM2 2+DN+DN2 2 探究（探究（6）图中是否存在与AMN相似的三角形？分析：分析：三角形相似的判定：SSS、SAS、AA，对于边的条件未知，因此从AA入手，AMN已知
6、一角45，因此找45角和另一相等角即可结论六：有结论六：有5 5个三角形与个三角形与AMNAMN相似（相似（AAAA）探究（探究（7 7）AMN与AFE对应边的相似比是多少？分析：分析：两三角形边长值不易求，我们可以进行转化，若能求出其他对应线段（对应高线、对对应高线、对应角平分线、对应中线等应角平分线、对应中线等）的相似比，即可求得设正方形边长为1，易求得AO= AH=1，所以相似比为 ：12222结论七：结论七：MNMN：EF=EF= ：1 1 S SAMNAMN:S:SAFE=AFE=2221探究（探究（8 8）在图中，是否存在多点共圆？分析：分析：图中存在多个相等的角，若能找到“共边同
7、侧等顶角共边同侧等顶角”的两个三角形，或者“某四边某四边形对角互补形对角互补”，就可证得四点共圆结论八：多组共圆结论八：多组共圆探究（探究（9 9）连接FM、EN，请判断AFM、AEN的形状？结论九：结论九：A AFMFM、A AENEN为等腰直角三角形为等腰直角三角形归纳梳理：归纳梳理：一一.共顶点半角模型结构特征：共顶点半角模型结构特征：1.半角半角 2.共顶点共顶点 3.等线段等线段 4.互补角互补角二二. .解题方法：解题方法：1.1.EF=BE+DFEF=BE+DF2.2.AH=ABAH=AB3.3.MNMN2 2=BM=BM2 2+DN+DN2 24.AE4.AE平分平分BEFBE
8、F，AFAF平分平分EFDEFD5.5.当当CE=CFCE=CF时，时，A AEFEF面积最小（面积最小（CEFCEF面积最大）面积最大）6.6.有有5 5个三角形与个三角形与AMNAMN相似（相似（AAAA）7.MN7.MN：EF= EF= ：1 S1 SAMNAMN:S:SAFE=AFE=8.8.A AFMFM、A AENEN为等腰直角三角形为等腰直角三角形22211.正方形ABCD中，MAN=45 ,它的两边分别交CB,DC的延长线于点M，N，试探究BM、DN、MN之间的数量关系？ 自主探究自主探究2.如图，在ABC中，AB=AC，BAC=90，点D在BC上，点E在BC延长线上，且DAE=45，问：BD、CE和DE之间存在什么数量关系。
