1、3.3 垂径定理第三章1课堂讲解课堂讲解圆的轴对称性圆的轴对称性 垂径定理垂径定理 垂径定理的推论垂径定理的推论2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？么？你能找到多少条对称轴？你能找到多少条对称轴？（2）你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交 流流.归归 纳纳利用折叠的方法，我们可以得到利用折叠的方法，我们可以得到：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.1知识点知识点圆的
2、轴对称性圆的轴对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线要点精析：要点精析：(1)圆的对称轴有无数条圆的对称轴有无数条(2)因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以不因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以不 能说能说“圆的对称轴是直径圆的对称轴是直径”，而应该说，而应该说“圆的对称轴圆的对称轴 是直径所在的直线是直径所在的直线”或说成或说成“圆的对称轴是经过圆心圆的对称轴是经过圆心 的直线的直线”下列图形中，对称轴条数最多的是下列图形中，对称轴条数最多的是()A线段线段 B正方形正方形 C正三角形正三角形 D圆圆例例1导引：导引
3、：线段有两条对称轴，正方形有四条对称轴，正三角线段有两条对称轴，正方形有四条对称轴，正三角形有三条对称轴，圆有无数条对称轴形有三条对称轴，圆有无数条对称轴D总总 结结 过圆心的任意一条直线都是该圆的对称轴，这是过圆心的任意一条直线都是该圆的对称轴，这是圆独有的性质圆独有的性质下列说法：下列说法：(1)圆是轴对称图形；圆是轴对称图形；(2)圆有无数条对称圆有无数条对称轴；轴；(3)圆的任意一条直径都是圆的对称轴；圆的任意一条直径都是圆的对称轴；(4)圆所圆所在平面内任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴，在平面内任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴，其中正确的有其中正确的有()A1个个 B2个个
4、C3个个 D4个个1过圆内一点过圆内一点A可以作出几条圆的对称轴，可以作出几条圆的对称轴，()A1条条 B2条条C无数条无数条 D1条或无数条条或无数条22知识点知识点垂径定理垂径定理如图如图, AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使，使CD丄丄AB，垂垂足为足为M.（1）图是轴对称图形吗？如果是，图是轴对称图形吗？如果是， 其对称轴是其对称轴是 什么？什么？（2）你能发现图中有哪些等量关你能发现图中有哪些等量关 系？说一说你的理由系？说一说你的理由.归归 纳纳 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧弦所对的弧.定理：定理：
5、垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧用几何语言表述为：用几何语言表述为：如图，在如图，在 O中，中，是是直直径径于于点点AEBECDADBDCDABEACBC 要点精析：要点精析：(1)“垂直于弦的直径垂直于弦的直径”中的中的“直径直径”，还可以是垂直于弦的，还可以是垂直于弦的 半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质是：过圆心且半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质是：过圆心且 垂直于弦的线段、直线均可垂直于弦的线段、直线均可(2)垂径定理中的弦可以为直径垂径定理中的弦可以为直径(3)垂径定理是证线段、弧相等的重要依据垂径定理是证线段、弧相等的重要依
6、据黄冈黄冈如图，如图，AB为为 O的直径，弦的直径，弦CDAB于点于点E，已知已知CD12，BE2，则，则 O的直径为的直径为()A8 B10 C16 D20例例2导引：导引：连接连接OC.根据垂径定理，知根据垂径定理，知CE CD6.在在RtOEC中，设中，设OCx，由，由BE2，得，得OEx2.所以所以(x2)262x2，解得，解得x10，即直径，即直径AB20.D12DABCEO总总 结结 本题运用本题运用构造法构造法，连接半径，根据，连接半径，根据ABCD，构造，构造RtOEC，再运用，再运用方程思想方程思想，设未知数，运用垂径定理和，设未知数，运用垂径定理和勾股定理列方程进行求解勾股
7、定理列方程进行求解某市某居民区一处地下圆形管道破裂，修理人员准某市某居民区一处地下圆形管道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图备更换一段新管道，如图，污水面宽度为，污水面宽度为60 cm，水面至管道顶部的距离为水面至管道顶部的距离为10 cm，问修理人员应准备，问修理人员应准备内径为多大的管道？内径为多大的管道？例例3导引导引：画出如图画出如图所示的示意图，过圆心所示的示意图，过圆心O作作OCAB于点于点D，交交 O于点于点C，连接，连接OB，若设，若设 O的半径为的半径为r cm，在，在RtBOD中，利用勾股定理列出关于中，利用勾股定理列出关于r的方程，继而解的方程，继而解出出r的值的值B
8、ODAC解解：如图如图，弦，弦AB表示污水水面，点表示污水水面，点O为圆心，圆形管道的内为圆心，圆形管道的内径即为径即为 O的直径设半径为的直径设半径为r cm，过点，过点O作作OCAB于点于点D,与与 交于点交于点C，根据垂径定理知，点，根据垂径定理知，点D是是AB的中点，点的中点，点C是是 的中点，的中点，CD就是污水水面至管道顶部的距离由就是污水水面至管道顶部的距离由题意可知：题意可知：AB60 cm，CD10 cm，BD AB30 cm，OD(r10) cm.在在RtDOB中，中，BD2OD2OB2，即，即302(r10)2r2，解得，解得r50.2r250100(cm)答：答：修理人
9、员应准备内径为修理人员应准备内径为100 cm的管道的管道12ABAB总总 结结 本题运用本题运用转化思想转化思想将实际问题转化为数学问题，将实际问题转化为数学问题，先正确画出图形，找出图中的已知量，然后构造直先正确画出图形，找出图中的已知量，然后构造直角三角形，最后利用勾股定理求解角三角形，最后利用勾股定理求解( 2016黄石黄石)如图，如图， O的半径为的半径为13，弦，弦AB的长度是的长度是24，ONAB，垂足为，垂足为N，则，则ON等于等于()A5 B7 C9 D111(2015广元广元)如图，已知如图，已知 O的直径的直径ABCD于点于点E，则下列结论中错误的是则下列结论中错误的是(
10、)ACEDE BAEOEC. DOCEODE2BCBD 如图，在如图，在 O内有折线内有折线OABC，其中，其中OA8，AB12，AB60，则，则BC的长为的长为()A16 B18 C19 D203(2015上海上海)如图，已知如图，已知 O中，中，AB是弦，半径是弦，半径OCAB，垂足为点，垂足为点D.要使四边形要使四边形OACB为菱形，还为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是需要添加一个条件，这个条件可以是()AADBD BODCDCCADCBD DOCAOCB43知识点知识点垂径定理的推论垂径定理的推论如图如图, AB是是 O的弦（不是直径），作一条平分的弦（不是直径），作一条平分A
11、B的直的直径径CD)， 交交AB于于点点M.（1）右）右图是轴对称图形吗？如果是，图是轴对称图形吗？如果是， 其对称轴是什么？其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.归归 纳纳 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧弦所对的弧.推论：推论：(1)平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦，并且平分的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的弧，即：如图，在弦所对的弧，即：如图，在 O中，中， 要点精析：要点精析：推论中涉及了两条弦，注意第一条弦不能为推论中涉及了两条弦，注意第一
12、条弦不能为 直径直径(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的弧，弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的弧，是是直直径径平平分分不不是是直直径径CDABCDCDABADBDABACBC 即：即：如图，在如图，在 O中，中，(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平 分弦所对的另一条弧，即：如图，在分弦所对的另一条弧，即：如图，在 O中，中，是是直直径径平平分分CDCDABADBDCDABACBC 是是直直径径CDABCDAEBEADBDACBC 拓展拓展：关于垂径定理及其推论可归纳为：一条直线，它具备关于垂径定理及其推论可归纳为：一
13、条直线，它具备以下五个性质：以下五个性质： 直线过圆心；直线过圆心；直线垂直于弦；直线垂直于弦；直线平分弦直线平分弦(不是不是直径直径)；直线平分弦所对的优弧；直线平分弦所对的优弧；直线平分弦所对直线平分弦所对的劣弧如果把其中的任意两条作为条件，其余三条的劣弧如果把其中的任意两条作为条件，其余三条作为结论，组成的命题都是真命题作为结论，组成的命题都是真命题下列说法正确的是下列说法正确的是()A经过弦的中点的直线平分弦所对的弧经过弦的中点的直线平分弦所对的弧B过弦的中点的直线一定经过圆心过弦的中点的直线一定经过圆心C弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦且经弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦且经
14、 过圆心过圆心D弦的垂线平分弦所对的弧弦的垂线平分弦所对的弧例例4C导引：导引：经过弦的中点的直线有无数条，只有经过弦的中点且经过弦的中点的直线有无数条，只有经过弦的中点且垂直于弦的直线才经过圆心并平分这条弦所对的弧，垂直于弦的直线才经过圆心并平分这条弦所对的弧，所以选项所以选项A，B错误弦的垂线有很多，不一定平分错误弦的垂线有很多，不一定平分弦所对的弧，所以选项弦所对的弧，所以选项D错误平分弦所对两条弧的错误平分弦所对两条弧的直线必垂直平分弦且经过圆心，所以选项直线必垂直平分弦且经过圆心，所以选项C正确正确如图如图, 条公路的转弯处是一段圆弧（即条公路的转弯处是一段圆弧（即 图中图中 ,点点
15、O是是 所在圆的圆心），其中所在圆的圆心），其中CD= 600m， E为为 上一上一点，且点，且OE丄丄CD，垂足为，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半求这段弯路的半径径.例例5CDCDCD连接连接OC.设弯路的半径为设弯路的半径为Rm，则，则OF= (R- - 90) m.OE CD， CF = CD = 600 = 300 (m).在在RtOCF中，根据勾股定理，得中，根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2， 即即R2 = 3002 + (R- -90)2.解这个方程，得解这个方程，得R=545.所以，这段弯路的半径为所以，这段弯路的半径为545 m. 解：解：1212如图，在如图，在
16、 O中，中，AB为为 O的弦，的弦，C，D是直线是直线AB上两点，且上两点，且ACBD.求证：求证：OCD为等腰三角形为等腰三角形例例6导引导引：要证要证OCD为等腰三角形，只需证为等腰三角形，只需证OCOD，就现有，就现有图形来看，有两个切入点：图形来看，有两个切入点：(1)利用线段垂直平分线上利用线段垂直平分线上的点，则需作垂直于弦的直径；的点，则需作垂直于弦的直径；(2)利用全等三角形的利用全等三角形的对应边，则需作垂直于弦的直径或连半径对应边，则需作垂直于弦的直径或连半径证明：证明： 过点过点O作作OMAB，垂足为，垂足为M，如图，如图.OMAB，AMBM.ACBD，CMDM.又又OM
17、CD，OCOD.OCD为等腰三角形为等腰三角形总总 结结(1)垂径定理及其推论在圆中涉及弦、弦心距、直径的命题中应用频垂径定理及其推论在圆中涉及弦、弦心距、直径的命题中应用频率较高，虽然我们将其归纳为一个定理三个推论，但应用起来灵活率较高，虽然我们将其归纳为一个定理三个推论，但应用起来灵活多样，是我们在有关圆的命题中证线段相等、证垂直、证角相等时多样，是我们在有关圆的命题中证线段相等、证垂直、证角相等时最常用的依据最常用的依据(2)常见的作辅助线的方法有：若已知圆心，则作垂常见的作辅助线的方法有：若已知圆心，则作垂直于弦的直径；若已知弦、弧的中点，则作弦、弧中点的连线，连直于弦的直径；若已知弦
18、、弧的中点，则作弦、弧中点的连线，连半径等半径等(3)本例中我们只给出利用线段垂直平分线的性质的证明过本例中我们只给出利用线段垂直平分线的性质的证明过程；而利用全等三角形的对应边，则可找出多种三角形的组合，请程；而利用全等三角形的对应边，则可找出多种三角形的组合，请读者自己完成其证法读者自己完成其证法如图，如图， O的直径的直径CD10 cm，AB是是 O的弦，的弦，AMBM，OM OC3 5，则，则AB的长为的长为()A8 cmB. cmC6 cmD2 cm191如图，如图， O的直径为的直径为10，弦，弦AB的长为的长为6，M是弦是弦AB上的上的一个动点，则线段一个动点，则线段OM的长的取值范围是的长的取值范围是()A3OM5 B4OM5C3OM5 D4OM521圆的轴对称性圆的轴对称性 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.2垂径定理：垂径定理： (1)垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分 弦所对的弧弦所对的弧.
