1、第九节离散型随机变量的均值与方差(全国卷5年6考)【知识梳理知识梳理】1.1.离散型随机变量离散型随机变量X X的均值与方差的均值与方差已知离散型随机变量已知离散型随机变量X X的分布列为的分布列为X Xx x1 1x x2 2x xi ix xn nP Pp p1 1p p2 2p pi ip pn n, ,则有则有(1)(1)均值均值( (数学期望数学期望):): 计算公式计算公式:E(X)=_.:E(X)=_. 作用作用: :反映了离散型随机变量取值的反映了离散型随机变量取值的_._. x x1 1p p1 1+x+x2 2p p2 2+x+xi ip pi i+x+xn np pn n
2、平均水平平均水平(2)(2)方差方差: :计算公式计算公式:D(X)=_. :D(X)=_. 作用作用: :刻画了随机变量刻画了随机变量X X与其均值与其均值E(X)E(X)的的_._.(3)(3)标准差标准差:=_.:=_.n2iii 1(xE(X) p平均偏离程度平均偏离程度DX（ ）2.2.均值与方差的性质均值与方差的性质(1)E(aX+b)=_(a,b(1)E(aX+b)=_(a,b为常数为常数).).(2)D(aX+b)=_(a,b(2)D(aX+b)=_(a,b为常数为常数).).aE(X)+baE(X)+ba a2 2D(X)D(X)3.3.几个特殊分布的期望与方差几个特殊分布的
3、期望与方差分布分布期望期望方差方差两点分布两点分布E(X)=pE(X)=pD(X)=p(1-p)D(X)=p(1-p)二项分布二项分布E(X)=npE(X)=npD(X)=np(1-p)D(X)=np(1-p)【常用结论常用结论】1.1.两点分布实际上是两点分布实际上是n=1n=1时的二项分布时的二项分布. .2.2.方差方差D(X)= D(X)= =E(X=E(X2 2)-E)-E2 2(X).(X). n2iii 1xE Xp3.3.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度离均值的平均程度, ,方差或标准差越小方差或标准差越小
4、, ,则偏离均值的则偏离均值的平均程度越小平均程度越小. .【基础自测基础自测】题组一题组一: :走出误区走出误区1.1.判断正误判断正误( (正确的打正确的打“”“”, ,错误的打错误的打“”)”)(1)(1)数学期望是算术平均数概念的推广数学期望是算术平均数概念的推广, ,与概率无关与概率无关. .( () )(2)(2)在投篮比赛中在投篮比赛中, ,投中投中1 1次得次得1 1分分, ,不中得不中得0 0分分. .如果某运如果某运动员投篮命中的概率为动员投篮命中的概率为0.6,0.6,那么他投篮那么他投篮1 1次的得分次的得分X X的的均值为均值为0.6.0.6.( () )(3)(3)
5、均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况况, ,因此它们是一回事因此它们是一回事. . ( () )提示提示: :(1)(1). .数学期望与概率有关数学期望与概率有关. .(2).X(2).X服从两点分布服从两点分布, ,均值为均值为0.6.0.6.(3)(3). .均值反映平均水平均值反映平均水平, ,方差反映稳定性方差反映稳定性. .2.2.某班有某班有1414名学生数学成绩优秀名学生数学成绩优秀, ,若从该班随机找出若从该班随机找出5 5名学生名学生, ,其中数学成绩优秀的学生数其中数学成绩优秀的学生数X XB ,B ,则则E(2X+1
6、)=E(2X+1)=( () )A. A. B. B. C.3C.3D.D. 1(5)4，545272【解析解析】选选D.D.因为因为X XB ,B ,所以所以E(X)= ,E(X)= ,所以所以E(2X+1)=2E(X)+1=2E(2X+1)=2E(X)+1=2 +1= . +1= .1(5)4，5454723.3.随机变量随机变量的取值为的取值为0,1,2.0,1,2.若若P(=0)= ,E()=1,P(=0)= ,E()=1,则则D()=_.D()=_.【解析解析】设设=1=1时的概率为时的概率为p,p,则则E()=0E()=0 +1 +1p+p+2 =1,2 =1,解得解得p= .p=
7、 .故故D()=(0-1)D()=(0-1)2 2 +(1-1) +(1-1)2 2 +(2-1) +(2-1)2 2 = . = .答案答案: : 15151(1 p)5351535152525题组二题组二: :走进教材走进教材1.(1.(选修选修2-3P682-3P68练习练习1 1改编改编) )已知随机变量已知随机变量X X的分布列是的分布列是: :则则D(X)=D(X)=( () )A.0.6A.0.6B.0.8B.0.8C.1C.1D.1.2D.1.2X X1 12 23 3P P0.40.40.20.20.40.4【解析解析】选选B.E(X)=1B.E(X)=10.4+20.4+2
8、0.2+30.2+30.4=2,0.4=2,则则D(X)=(1-2)D(X)=(1-2)2 20.4+(2-2)0.4+(2-2)2 20.2+(3-2)0.2+(3-2)2 20.4=0.8.0.4=0.8.2.(2.(选修选修2-3P68A2-3P68A组组T2T2改编改编) )若随机变量若随机变量X X的分布列为的分布列为: :且且E(X)= ,E(X)= ,则则a=_a=_X X0 01 12 23 3P Pa a b b131676【解析解析】因为因为E(X)= =0E(X)= =0a+1a+1 +2 +2 +3b, +3b,所以所以b= .b= .因为因为P(X=0)+P(X=1)
9、+P(X=2)+P(X=3)=1,P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1,所以所以a+ + + =1,a+ + + =1,所以所以a= .a= .答案答案: : 761316161316161313考点一均值与方差的计算考点一均值与方差的计算【题组练透题组练透】1.1.已知某离散型随机变量已知某离散型随机变量X X的分布列为的分布列为X X0 01 1P Pm m2m2m则随机变量则随机变量X X的方差的方差D(X)D(X)等于等于 ( () ) 1212A. B. C. D.9933【解析解析】选选B.B.方法一方法一: :由由m+2m=1m+2m=1得得m= ,m= ,
10、所以所以E(X)=0E(X)=0 +1 +1 = , = ,D(X)= D(X)= 131323232221222(0)(1)33339 方法二方法二: :由由m+2m=1m+2m=1得得m= ,m= ,根据两点分布的期望和方差公式可得根据两点分布的期望和方差公式可得E(X)= ,D(X)= E(X)= ,D(X)= 13232221339（） 2.2.有有1010张卡片张卡片, ,其中其中8 8张标有数字张标有数字2,22,2张标有数字张标有数字5,5,从中从中任意抽出任意抽出3 3张卡片张卡片, ,设设3 3张卡片上的数字之和为张卡片上的数字之和为X,X,则则X X的的数学期望是数学期望是
11、( () )A.7.8A.7.8B.8B.8C.16C.16D.15.6D.15.6【解析解析】选选A.XA.X的取值为的取值为6,9,12,6,9,12,相应的概率相应的概率P(X=6)= P(X=9)= P(X=6)= P(X=9)= P(X=12)= P(X=12)= E(X)=6E(X)=6 +9 +9 +12 +12 =7.8. =7.8.38310C7C15，2182310C C7C15，1282310C C1C157157151153.3.已知抛物线已知抛物线y=axy=ax2 2+bx(a0)+bx(a0)的对称轴在的对称轴在y y轴的左侧轴的左侧, ,其中其中a,b-3,-2
12、,-1,0,1,2,3,a,b-3,-2,-1,0,1,2,3,在这些抛物线中在这些抛物线中, ,若随机变量若随机变量=|a-b|,=|a-b|,则则D()=D()=( () )A. A. B. B. C. C. D.D. 448189431127【解析解析】选选A.A.对称轴在对称轴在y y轴的左侧轴的左侧(a(a与与b b同号同号) )的抛物线的抛物线有有1818条条,的可能取值为的可能取值为0,1,2.0,1,2.P(=0)= ,P(=1)= ,P(=2)= ,P(=0)= ,P(=1)= ,P(=2)= ,则则E()= ,E()= ,所以所以D()= D()= 134929892221
13、84828(0)(1)(2)39999944814.4.某班举行了一次某班举行了一次“心有灵犀心有灵犀”的活动的活动, ,教师把一张写有教师把一张写有成语的纸条出示给成语的纸条出示给A A组的某个同学组的某个同学, ,这个同学再用身体语言这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学把成语的意思传递给本组其他同学. .若小组内同学甲猜对若小组内同学甲猜对成语的概率是成语的概率是0.4,0.4,同学乙猜对成语的概率是同学乙猜对成语的概率是0.5,0.5,且规定猜且规定猜对得对得1 1分分, ,猜不对得猜不对得0 0分分, ,这两个同学各猜这两个同学各猜1 1次次, ,则他们的得分则他们的得分
14、之和之和X X的数学期望为的数学期望为( () )A.0.9A.0.9B.0.8B.0.8C.1.2C.1.2D.1.1D.1.1【解析解析】选选A.A.由题意由题意,X=0,1,2,X=0,1,2,则则P(X=0)=0.6P(X=0)=0.60.5=0.3,P(X=1)=0.40.5=0.3,P(X=1)=0.40.5+0.60.5+0.60.5=0.5=0.5,P(X=2)=0.40.5,P(X=2)=0.40.5=0.2,0.5=0.2,所以所以E(X)=0E(X)=00.3+10.3+10.5+20.5+20.2=0.9.0.2=0.9.【规律方法规律方法】 求均值与方差的方法技巧求均
15、值与方差的方法技巧技巧技巧方法方法适用题型适用题型巧用特殊巧用特殊分布列分布列利用相应公式直接利用相应公式直接求解求解两点分布、二项分两点分布、二项分布布巧借性质巧借性质利用利用E(aX+b)=aE(X)+bE(aX+b)=aE(X)+bD(aX+b)=aD(aX+b)=a2 2D(X)D(X)两随机变量有明确两随机变量有明确的线性关系的线性关系利用公式利用公式D(X)=E(XD(X)=E(X2 2)-)-E(X)E(X)2 2计算复杂的方差计算复杂的方差考点二二项分布的均值与方差考点二二项分布的均值与方差【典例典例】(1)(2017(1)(2017全国卷全国卷)一批产品的二等品率为一批产品的
16、二等品率为0.02,0.02,从这批产品中每次随机取一件从这批产品中每次随机取一件, ,有放回地抽取有放回地抽取100100次次,X,X表示抽到的二等品件数表示抽到的二等品件数, ,则则D(X)=_.D(X)=_.(2)(2018(2)(2018湖北荆州中学模拟湖北荆州中学模拟) )为响应绿色出行为响应绿色出行, ,某市某市在推出在推出“共享单车共享单车”后后, ,又推出又推出“新能源分时租赁汽新能源分时租赁汽车车”. .其中一款新能源分时租赁汽车其中一款新能源分时租赁汽车, ,每次租车收费的每次租车收费的标准由两部分组成标准由两部分组成: :根据行驶里程数按根据行驶里程数按1 1元元/ /公
17、里计费公里计费; ;行驶时间不超过行驶时间不超过4040分时分时, ,按按0.120.12元元/ /分计费分计费; ;超过超过4040分分时时, ,超出部分按超出部分按0.200.20元元/ /分计费分计费. .已知王先生家离上班地已知王先生家离上班地点点1515公里公里, ,每天租用该款汽车上、下班各一次每天租用该款汽车上、下班各一次. .由于堵由于堵车、红绿灯等因素车、红绿灯等因素, ,每次路上开车花费的时间每次路上开车花费的时间t(t(分分) )是是一个随机变量一个随机变量. .现统计了现统计了5050次路上开车花费时间次路上开车花费时间, ,在各在各时间段内的频数分布情况如下表所示时间
18、段内的频数分布情况如下表所示: :时间时间t(t(分分) ) (20,30(20,30 (30,40(30,40 (40,50(40,50 (50,60(50,60频数频数2 2181820201010将各时间段发生的频率视为概率将各时间段发生的频率视为概率, ,每次路上开车花费的每次路上开车花费的时间视为用车时间时间视为用车时间, ,范围为范围为(20,60(20,60分分. .写出王先生一次租车费用写出王先生一次租车费用y(y(元元) )与用车时间与用车时间t(t(分分) )的的函数关系式函数关系式; ;若王先生一次开车时间不超过若王先生一次开车时间不超过4040分为分为“路段畅通路段畅通
19、”, ,设设表示表示3 3次租用新能源分时租赁汽车中次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通路段畅通”的次数的次数, ,求求的分布列和期望的分布列和期望; ;若公司每月给若公司每月给1 0001 000元的车补元的车补, ,请估计王先生每月请估计王先生每月( (按按2222天计算天计算) )的车补是否足够上、下班租用新能源分时租的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车赁汽车? ?并说明理由并说明理由.(.(同一时段同一时段, ,用该区间的中点值作用该区间的中点值作代表代表) )【解析解析】(1)X(1)XB(100,0.02),B(100,0.02),所以所以D(X)=np(1-p)= D(X
20、)=np(1-p)= 1001000.020.020.98=1.96.0.98=1.96.答案答案: :1.961.96(2)(2)当当20t4020t40时时,y=0.12t+15,y=0.12t+15,当当40t6040t60时时, ,y=0.12y=0.1240+0.2040+0.20(t-40)+15(t-40)+15=0.2t+11.8,=0.2t+11.8,所以所以y=y= 0.12t15 20t400.2t11.8,40t60 ，王先生租用一次新能源分时租赁汽车王先生租用一次新能源分时租赁汽车, ,为为“路段畅通路段畅通”的概率的概率P= P= 可取可取0,1,2,3.0,1,2
21、,3.P(=0)= P(=0)= P(=1)= P(=1)= 2 182.50500332327C () ( )55125，1232354C ()()55125，P(=2)= P(=2)= P(=3)= P(=3)= 的分布列为的分布列为2232336C () ()55125，3303238C () ()55125，0 01 12 23 3P P 8125271255412536125E()=0E()=0 +1 +1 +2 +2 +3 +3 =1.2 =1.2或依题意或依题意B E()=3B E()=3 =1.2, =1.2,81252712554125361252(3,),525王先生租用一
22、次新能源分时租赁汽车上下班王先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班, ,平均用平均用车时间车时间 t=25t=25 +35 +35 +45 +45 +55 +55 =42.6 ( =42.6 (分钟分钟),),每次上下班租车的费用约为每次上下班租车的费用约为0.20.242.6+11.8=20.32(42.6+11.8=20.32(元元),),250185020501050一个月上下班租车费用约为一个月上下班租车费用约为20.3220.3222222=894.081 000.2=894.081 000.估计王先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁估计王先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽
23、车用汽车用. .【规律方法规律方法】与二项分布有关的期望、方差的求法与二项分布有关的期望、方差的求法(1)(1)求随机变量求随机变量的期望与方差时的期望与方差时, ,可首先分析可首先分析是否是否服从二项分布服从二项分布, ,如果如果B(n,p),B(n,p),则用公式则用公式E()=np, E()=np, D()=np(1-p)D()=np(1-p)求解求解, ,可大大减少计算量可大大减少计算量. .(2)(2)有些随机变量虽不服从二项分布有些随机变量虽不服从二项分布, ,但与之具有线性但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布关系的另一随机变量服从二项分布, ,这时这时, ,可以综合应可以
24、综合应用用E(a+b)=aE()+bE(a+b)=aE()+b以及以及E()=npE()=np求出求出E(a+b),E(a+b),同同样还可求出样还可求出D(a+b).D(a+b).【对点训练对点训练】一家面包房根据以往某种面包的销售记录一家面包房根据以往某种面包的销售记录, ,绘制了日销绘制了日销售量的频率分布直方图售量的频率分布直方图. .如图所示如图所示. .将日销售量落入各组的频率视为概率将日销售量落入各组的频率视为概率, ,并假设每天的销并假设每天的销售量相互独立售量相互独立. .(1)(1)求在未来连续求在未来连续3 3天里天里, ,有连续有连续2 2天的日销售量都不低天的日销售量
25、都不低于于100100个且另个且另1 1天的日销售量低于天的日销售量低于5050个的概率个的概率. .(2)(2)用用X X表示在未来表示在未来3 3天里日销售量不低于天里日销售量不低于100100个的天数个的天数, ,求随机变量求随机变量X X的分布列的分布列, ,期望期望E(X)E(X)及方差及方差D(X).D(X).【解析解析】(1)(1)设设A A1 1表示事件表示事件“日销售量不低于日销售量不低于100100个个”, , A A2 2表示事件表示事件“日销售量低于日销售量低于5050个个”,B,B表示事件表示事件“在未在未来连续来连续3 3天里天里, ,有连续有连续2 2天的日销售量
26、都不低于天的日销售量都不低于100100个且个且另另1 1天的日销售量低于天的日销售量低于5050个个”, ,因此因此P(AP(A1 1)=(0.006+0.004+0.002)=(0.006+0.004+0.002)50=0.6,50=0.6,P(AP(A2 2)=0.003)=0.00350=0.15,50=0.15,P(B)=0.6P(B)=0.60.60.60.150.152=0.108.2=0.108.(2)X(2)X可能取的值为可能取的值为0,1,2,3,0,1,2,3,相应的概率为相应的概率为P(X=0)= P(X=0)= (1-0.6)(1-0.6)3 3=0.064,=0.0
27、64,P(X=1)= P(X=1)= 0.6(1-0.6)0.6(1-0.6)2 2=0.288,=0.288,P(X=2)= P(X=2)= 0.60.62 2(1-0.6)=0.432,(1-0.6)=0.432,P(X=3)= P(X=3)= 0.60.63 3=0.216.=0.216.03C13C23C33CX X的分布列为的分布列为: :因为因为X XB(3,0.6),B(3,0.6),所以期望所以期望E(X)=3E(X)=30.6=1.8,0.6=1.8,方差方差D(X)=3D(X)=30.60.6(1-0.6)=0.72.(1-0.6)=0.72.X X0 01 12 23 3
28、P P0.0640.0640.2880.2880.4320.4320.2160.216考点三离散型随机变量均值、方差的求法及应用考点三离散型随机变量均值、方差的求法及应用【明考点明考点知考法知考法】在高考题中在高考题中, ,离散型随机变量均值、离散型随机变量均值、方差是必考的考点方差是必考的考点, ,试题常以解答题形式出现试题常以解答题形式出现, ,考查与互斥考查与互斥事件、相互独立事件概率的计算、离散型随机变量分布列、事件、相互独立事件概率的计算、离散型随机变量分布列、离散型随机变量的均值和方差的计算及其意义的实际应用离散型随机变量的均值和方差的计算及其意义的实际应用. .解题过程中常渗透分
29、类与整合思想解题过程中常渗透分类与整合思想. .命题角度命题角度1 1求离散型随机变量均值、方差求离散型随机变量均值、方差【典例典例】已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组成的四人冲关小组, ,参加某大型户外竞技类闯关活动参加某大型户外竞技类闯关活动, ,活动共有四关活动共有四关, ,设男生闯过第一至第四关的概率依次是设男生闯过第一至第四关的概率依次是 女生闯过第一至第四关的概率依次是女生闯过第一至第四关的概率依次是 5 4 3 26 5 4 3，4 3 2 15 4 3 2，(1)(1)求男生闯过四关的概率求男生闯过四关的概率. .(2)
30、(2)设设X X表示四人冲关小组闯过四关的人数表示四人冲关小组闯过四关的人数, ,求随机变量求随机变量X X的分布列和期望的分布列和期望. .【解析解析】(1)(1)记男生四关都闯过为事件记男生四关都闯过为事件A,A,则则P(A)= P(A)= 5432165433 (2)(2)记女生四关都闯过为事件记女生四关都闯过为事件B,B,则则P(B)= P(B)= 由题意由题意, ,知知X X的所有可能取值为的所有可能取值为0,1,2,3,4.0,1,2,3,4.因为因为P(X=0)= P(X=0)= 4321154325 222464( )( )35225，P(X=1)= P(X=1)= P(X=2
31、)= P(X=2)= P(X=3)= P(X=3)= 12122212414296C( )C( )335553225，2222221222141212C( )( )C( )( )C355333121452C55225 ，12122212114112C( )C( )335553225，P(X=4)= P(X=4)= 所以所以X X的分布列为的分布列为22111( )( )35225X X0 01 12 23 34 4P P 122564225962255222512225所以所以E(X)= E(X)= 64965212101234225225225225225 2401622515【答题模板微课
32、答题模板微课】本例的模板化过程本例的模板化过程: :扫码听名师讲解扫码听名师讲解建模板建模板: :【解析解析】(1)(1)记男生四关都闯过为事件记男生四关都闯过为事件A,A,则则P(A)= P(A)= 5432165433 (2)(2)记女生四关都闯过为事件记女生四关都闯过为事件B,B,则则P(B)= P(B)= 由题意由题意, ,知知X X的所有可能取值为的所有可能取值为0,1,2,3,4.0,1,2,3,4.因为因为P(X=0)= P(X=0)= 4321154325 222464( )( )35225，P(X=1)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=2)= P(X=3)= P(X
33、=3)= 12122212414296C( )C( )335553225，2222221222141212C( )( )C( )( )C355333121452C55225 ，12122212114112C( )C( )335553225，P(X=4)= P(X=4)= 求概率求概率所以所以X X的分布列为的分布列为求分布列求分布列22111( )( ).35225X X0 01 12 23 34 4P P 122564225962255222512225所以所以E(X)= E(X)= 求均值求均值64965212101234225225225225225 24016.22515套模板套模板:
34、 :(2018(2018湘潭模拟湘潭模拟) )某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛运动员参加某运动会的单打资格选拔赛, ,本次选拔赛只本次选拔赛只有出线和未出线两种情况有出线和未出线两种情况. .规定一名运动员出线记规定一名运动员出线记1 1分分, ,未出线记未出线记0 0分分. .假设甲、乙、丙出线的概率分别为假设甲、乙、丙出线的概率分别为他们出线与未出线是相互独立的他们出线与未出线是相互独立的. .2 3 3, ,3 4 5(1)(1)求在这次选拔赛中求在这次选拔赛中, ,这三名运动员至少有一名出线这三名运动员至少有一名出线的概率的
35、概率. .(2)(2)记在这次选拔赛中记在这次选拔赛中, ,甲、乙、丙三名运动员的得分甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量之和为随机变量,求随机变量求随机变量的分布列和数学期望的分布列和数学期望. .【解析解析】(1)(1)记记“甲出线甲出线”为事件为事件A,“A,“乙出线乙出线”为事件为事件B,“B,“丙出线丙出线”为事件为事件C,“C,“甲、乙、丙至少有一名出线甲、乙、丙至少有一名出线”为事件为事件D,D,则则P(D)=1-P( )= P(D)=1-P( )= ABC112291.34530(2)(2)由题意可得由题意可得的所有可能取值为的所有可能取值为0,1,2,3,0,1,2,3,
36、则则P(=0)=P( )= P(=0)=P( )= P(=1)=P(A )+P( )+P( C)P(=1)=P(A )+P( )+P( C) ABC1121;34530BCABCAB21213211313;34534534560P(P(=2)=P(AB )+P(A C)+P( BC)=2)=P(AB )+P(A C)+P( BC) P(P(=3)=P(ABC)= =3)=P(ABC)= 求概率求概率CBA2322131339;345345345202333.34510所以所以的分布列为的分布列为. . 求分布列求分布列E()= E()= 求均值求均值0 01 12 23 3P P 310130
37、1360920113931210123.3060201060 【状元笔记状元笔记】均值与方差的一般计算步骤均值与方差的一般计算步骤(1)(1)理解理解X X的意义的意义, ,写出写出X X的所有可能取的值的所有可能取的值. .(2)(2)求求X X取各个值的概率取各个值的概率, ,写出分布列写出分布列. .(3)(3)根据分布列根据分布列, ,由均值的定义求出均值由均值的定义求出均值E(X),E(X),进一步由进一步由公式公式D(X)= D(X)= 求出求出D(X).D(X). n2iii 1xE Xp命题角度命题角度2 2离散型随机变量均值、方差的实际应用离散型随机变量均值、方差的实际应用【
38、典例典例】(2018(2018太原模拟太原模拟) )某快递公司收取快递费用某快递公司收取快递费用的标准是的标准是: :重量不超过重量不超过1 kg1 kg的包裹收费的包裹收费1010元元; ;重量超过重量超过1 1 kgkg的包裹的包裹, ,除除1 kg1 kg收费收费1010元之外元之外, ,超过超过1 kg1 kg的部分的部分, ,每超每超出出1 kg(1 kg(不足不足1 kg,1 kg,按按1 kg1 kg计算计算) )需再收需再收5 5元元. .该公司将最该公司将最近承揽的近承揽的100100件包裹的重量统计如下件包裹的重量统计如下: :包裹重量包裹重量( (单位单位:kg):kg)
39、1 12 23 34 45 5包裹件数包裹件数4343303015158 84 4公司对近公司对近6060天天, ,每天揽件数量统计如下表每天揽件数量统计如下表: :以上数据已做近似处理以上数据已做近似处理, ,并将频率视为概率并将频率视为概率. .包裹件包裹件数范围数范围0 0100100101101200200201201300300301301400400401401500500包裹件数包裹件数( (近似处理近似处理) )5050150150250250350350450450天数天数6 66 6303012126 6【破题关键点破题关键点】 想到包裹件数在想到包裹件数在10110140
40、0400之间的天数之间的天数X X服从服从二项分布二项分布. . 想到由实际揽件数计算平均每日利润的方想到由实际揽件数计算平均每日利润的方法法 想到先计算实际揽件数的均值想到先计算实际揽件数的均值【听课记录听课记录】(1)(1)样本中包裹件数在样本中包裹件数在101101400400之间的天数为之间的天数为48,48,频率频率f= f= 故可估计概率为故可估计概率为 , ,显然未来显然未来3 3天中天中, ,包裹件数在包裹件数在101101400400之间的天数之间的天数X X服从服从二项分布二项分布, ,即即X XB B 故所求概率为故所求概率为 484605，454(35， )，22341
41、48C( ).55125(2)(2)样本中快递费用及包裹件数如下表样本中快递费用及包裹件数如下表: :包裹重量包裹重量( (单位单位: kg): kg)1 12 23 34 45 5快递费快递费( (单位单位: :元元) )10101515202025253030包裹件数包裹件数4343303015158 84 4故样本中每件快递收取的费用的平均值为故样本中每件快递收取的费用的平均值为 =15(=15(元元),),故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为1515元元. .10 43 15 3020 1525 830 4100 根据题意及根据题意及
42、(2)(2), ,揽件数每增加揽件数每增加1,1,可使前台工资和可使前台工资和公司利润增加公司利润增加 1515 =5( =5(元元),),将题目中的天数转化为频率将题目中的天数转化为频率, ,得得13包裹件包裹件数范围数范围0 0100100101101200200201201300300301301400400401401500500包裹件包裹件数数( (近似近似处理处理) )5050150150250250350350450450天数天数6 66 6303012126 6频率频率0.10.10.10.10.50.50.20.20.10.1若不裁员若不裁员, ,则每天可揽件的上限为则每天可
43、揽件的上限为450450件件, ,公司每日揽件公司每日揽件数情况如下数情况如下: :包裹件数包裹件数( (近似处理近似处理) )5050150150250250350350450450实际揽件数实际揽件数Y Y5050150150250250350350450450频率频率0.10.10.10.10.50.50.20.20.10.1E(Y)E(Y)50500.1+1500.1+1500.1+2500.1+2500.5+0.5+3503500.2+4500.2+4500.1=2600.1=260故公司平均每日利润的期望值为故公司平均每日利润的期望值为2602605-35-3100=100=1 0
44、00(1 000(元元););若裁员若裁员1 1人人, ,则每天可揽件的上限为则每天可揽件的上限为300300件件, ,公司每日揽公司每日揽件数情况如下件数情况如下: :包裹件数包裹件数( (近似处理近似处理) )5050150150250250350350450450实际揽件数实际揽件数Z Z5050150150250250300300300300频率频率0.10.10.10.10.50.50.20.20.10.1E(Z)E(Z)50500.1+1500.1+1500.1+2500.1+2500.5+0.5+3003000.2+3000.2+3000.1=2350.1=235故公司平均每日利
45、润的期望值为故公司平均每日利润的期望值为 2352355-25-2100= 100= 975(975(元元) )因因9751 000,9751 000,故公司将前台工作人员裁员故公司将前台工作人员裁员1 1人对提高公人对提高公司利润不利司利润不利. .【状元笔记状元笔记】均值和方差的意义和应用原则均值和方差的意义和应用原则(1)(1)意义意义: :随机变量的均值反映了随机变量取值的平均随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平水平, ,方差反映了随机变量取值偏离于均值的程度方差反映了随机变量取值偏离于均值的程度, ,它它们从整体和全局上刻画了随机变量们从整体和全局上刻画了随机变量. .(2)(
46、2)应用原则应用原则: :方差越大表明平均偏离程度越大方差越大表明平均偏离程度越大, ,方差越方差越小表示平均偏离程度越小小表示平均偏离程度越小, ,一般先比较均值一般先比较均值, ,若均值相若均值相同同, ,再用方差来决定再用方差来决定. .【对点练对点练找规律找规律】某投资公司在某投资公司在20172017年年初准备将年年初准备将1 0001 000万元投资到万元投资到“低低碳碳”项目上项目上, ,现有两个项目供选择现有两个项目供选择: :项目一项目一: :新能源汽车新能源汽车. .据市场调研据市场调研, ,投资到该项目上投资到该项目上, ,到到年底可能获利年底可能获利30%,30%,也可
47、能亏损也可能亏损15%,15%,且这两种情况发生且这两种情况发生的概率分别为的概率分别为 和和 ; ;7929项目二项目二: :通信设备通信设备. .据市场调研据市场调研, ,投资到该项目上投资到该项目上, ,到年到年底可能获利底可能获利50%,50%,也可能亏损也可能亏损30%,30%,也可能不赔不赚也可能不赔不赚, ,且这且这三种情况发生的概率分别为三种情况发生的概率分别为 针对以上两个投针对以上两个投资项目资项目, ,请你为投资公司选择一个合适的项目请你为投资公司选择一个合适的项目, ,并说明并说明理由理由. .3 11.5 315，和【解析解析】若按若按“项目一项目一”投资投资, ,设
48、获利为设获利为X X1 1万元万元, ,则则X X1 1的分布列为的分布列为X X1 1300300-150-150P P 7929所以所以E(XE(X1 1)=300)=300 +(-150) +(-150) =200( =200(万元万元).).7929若按若按“项目二项目二”投资投资, ,设获利设获利X X2 2万元万元, ,则则X X2 2的分布列为的分布列为X X2 2500500-300-3000 0P P 1153513所以所以E(XE(X2 2)=500)=500 +(-300) +(-300) +0 +0 =200( =200(万元万元).).D(XD(X1 1)=(300-
49、200)=(300-200)2 2 +(-150-200) +(-150-200)2 2 =35 000, =35 000,D(XD(X2 2)=(500-200)=(500-200)2 2 +(-300-200) +(-300-200)2 2 +(0-200) +(0-200)2 2 =140 000. =140 000.所以所以E(XE(X1 1)=E(X)=E(X2 2),D(X),D(X1 1)D(X)D(X2 2),),115351379293513115这说明虽然项目一、项目二获利相等这说明虽然项目一、项目二获利相等, ,但项目一更稳妥但项目一更稳妥. .综上所述综上所述, ,建议
50、该投资公司选择项目一投资建议该投资公司选择项目一投资. . 数学能力系列数学能力系列3232离散型随机变量的均值与方差中离散型随机变量的均值与方差中体现的应用意识体现的应用意识 【能力诠释能力诠释】 应用意识指能综合应用所学数学知识、应用意识指能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题思想和方法解决问题, ,包括解决相关学科、生产、生活包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题中简单的数学问题; ;能理解对问题陈述的材料能理解对问题陈述的材料, ,并对所并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类提供的信息资料进行归纳、整理和分类, ,将实际问题抽将实际问题抽象为数学问题象为数学问题. .解答离
