1、7.1.2 全概率公式讲课人：邢启强2问题问题1 1：从有从有a a个红球和个红球和b b个蓝球的袋子中个蓝球的袋子中, ,每次随机摸出每次随机摸出1 1个球个球, ,摸出的摸出的球不再放回球不再放回. .显然显然, ,第第1 1次摸到红球的概率为次摸到红球的概率为 . .那么第那么第2 2次摸到次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？aab用用 Ri表示事件表示事件“第第i次摸到红球次摸到红球”,Bi表示事件表示事件“第第i次摸到蓝球次摸到蓝球”,i=1,2.事件事件R2可按第可按第1次可能的摸球结果次可能的摸球结果(红红球或蓝球球或蓝球)表示为两个
2、互斥事件的并表示为两个互斥事件的并,即即R2=R1R2UB1R2.利用概率的加法公式和乘法公式利用概率的加法公式和乘法公式,得得1()P R1()P B1R1B2R2B2R2B12R R12R B12B R12B BP(RP(R2 2|R|R1 1) )P(BP(B2 2|R|R1 1) )P(RP(R2 2|B|B1 1) )P(BP(B2 2|B|B1 1) )新课引入新课引入按照某种标准按照某种标准, ,将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并, ,再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率。讲课人
3、：邢启强3全概率公式学习新知学习新知讲课人：邢启强4分分析析：第：第2 2天去天去哪哪家餐厅用餐的概率受第家餐厅用餐的概率受第1 1天在哪家餐厅用餐的影响天在哪家餐厅用餐的影响, ,可根据第可根据第1 1天可能去的餐厅天可能去的餐厅, ,将将样本空间表示为样本空间表示为“第第1 1天去天去A A餐厅餐厅”和和“第第1 1天去天去B B餐厅餐厅”两个互斥事件的并两个互斥事件的并, ,利用全概率公式求解。利用全概率公式求解。例例1:1:某学校有某学校有A,BA,B两家餐厅两家餐厅, ,王同学第王同学第1 1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐天午餐时随机地选择一家餐厅用餐. .如果第如果第1 1天去天去
4、A A餐厅餐厅, ,那么第那么第2 2天去天去A A餐厅的概率为餐厅的概率为0.60.6；如果第；如果第1 1天去天去B B餐厅餐厅, ,那么第那么第2 2天去天去A A餐厅的概率为餐厅的概率为0.8.0.8.计算王同学第计算王同学第2 2天去天去A A餐厅用餐的概率餐厅用餐的概率. .P(A1)=P(B1)=0.5, P(A2|A1)=0.6, P(A2|B1)=0.8,由全概率公式由全概率公式,得得P(A2)= P(A1) P(A2|A1)+ P(B1) P(A2|B1)=0.50.6+0.50.8=0.7因此因此,王同学第王同学第2天去天去A餐厅用餐得概率为餐厅用餐得概率为0.7.例题讲
5、评例题讲评讲课人：邢启强5A A1 1A A2 2A A3 3A A3 3B BA A1 1B BA A2 2B B例2:有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.(1)任取一个零件,计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率.例题讲评例题讲评分析:取到的零件可能来自第1台车床,也可能来自第2台或第3台车床,有3种可能.设B=“任取一零件为次品”,Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),如图所
6、示,可将事件B表示为3个两两互斥事件的并,利用全概率公式可以计算出事件B的概率,讲课人：邢启强6A A1 1A A2 2A A3 3A A3 3B BA A1 1B BA A2 2B B例2:有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.(1)任取一个零件,计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率.例题讲评例题讲评(1)(1)由全概率公式由全概率公式, ,得得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)
7、P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3) =0.250.06+0.30.05+0.450.05=0.0525讲课人：邢启强7A A1 1A A2 2A A3 3A A3 3B BA A1 1B BA A2 2B B例2:有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.(1)任取一个零件,计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率.例题讲评例题讲评(2)“如果取到得零件是次品如果取到得零件是次品,计算它是第计
8、算它是第i(i =1,2,3)台车床加工的概率台车床加工的概率”, 就是计算在就是计算在B发生的条件下发生的条件下,事件事件Ai发生的概率发生的概率.讲课人：邢启强8问题问题2：例：例5中中P(Ai), P(Ai|B)得实际意义是什么？得实际意义是什么？* *贝叶斯公式：贝叶斯公式：12121( )0(|)(|)(|),( )(|)nniiiiiiniiiA AAAAAP BP BP BP BP BP B ，一般地，设，是一组两两互斥的事件，有，且P(A )0,i=1,2, ,n,则对任意的事件B，有P AAP AAAi=1,2, ,nP AA学习新知学习新知讲课人：邢启强9例例6:在数字通信
9、中在数字通信中,信号是由数字信号是由数字0和和1组成的序列。由于随机因素的干组成的序列。由于随机因素的干扰扰,发送的信号发送的信号0或或1有可能被错误地接收为有可能被错误地接收为1或或0.已知发送信号已知发送信号0时时,接收接收为为0和和1的概率分别为的概率分别为0.9和和0.1；发送信号；发送信号1时时,接收为接收为1和和0的概率分别为的概率分别为0.95和和0.05.假设发送信号假设发送信号0和和1是等可能的是等可能的.(1)分别求接收的信号为分别求接收的信号为0和和1的概率；的概率；*(2)已知接收的信号为已知接收的信号为0,求发送的信号是求发送的信号是1的概率的概率.发送发送0(A)接
10、收接收0(B)例题讲评例题讲评分析:设A=“发送的信号为0”,B=“接收到的信号为0”.为便于求解,我们可将目中所包含的各种信息用图直观表示。讲课人：邢启强10例例6:在数字通信中在数字通信中,信号是由数字信号是由数字0和和1组成的序列。由于随机因素的干组成的序列。由于随机因素的干扰扰,发送的信号发送的信号0或或1有可能被错误地接收为有可能被错误地接收为1或或0.已知发送信号已知发送信号0时时,接收接收为为0和和1的概率分别为的概率分别为0.9和和0.1；发送信号；发送信号1时时,接收为接收为1和和0的概率分别为的概率分别为0.95和和0.05.假设发送信号假设发送信号0和和1是等可能的是等可
11、能的.(1)分别求接收的信号为分别求接收的信号为0和和1的概率；的概率；*(2)已知接收的信号为已知接收的信号为0,求发送的信号是求发送的信号是1的概率的概率.例题讲评例题讲评讲课人：邢启强11巩固练习巩固练习CD讲课人：邢启强122车险中考虑两类投保人的问题.如果假设易出事故的人在一年内出事故的概率为0.4，不易出事故的人则为0.2,且第一类人占总人口的比例是30%，(1)那么随机选取一名投保人，他会在一年内出事故的概率是多少？(2)假设他在一年内出了事故，则他属于易出事故的人的概率为多少？巩固练习巩固练习讲课人：邢启强13 3.现有编号为，的三个口袋，其中号袋内装有两个1号球，一个2号球与
12、一个3号球；号袋内装有两个1号球与一个3号球；号袋内装有三个1号球与两个2号球现在先从号袋内随机地取一个球，放入与球上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球的概率最大，为什么？巩固练习巩固练习分析先记事件，求出相关事件的概率，再代入全概率公式求解讲课人：邢启强14(1)求仪器的不合格率；(2)如果已发现一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大巩固练习巩固练习讲课人：邢启强15 解答记事件B“仪器不合格”，Ai“仪器上有i个部件不是优质品”，i0,1,2,3，显然A0，A1，A2，A3构成一个完备事件组，且P(B|A0)0，P(B|A1)0.2，P(B|A2
13、)0.6，P(B|A3)0.9，P(A0)0.80.70.90.504，P(A1)0.20.70.90.80.30.90.80.70.10.398，P(A3)0.20.30.10.006，P(A2)1P(A0)P(A1)P(A3)0.092.讲课人：邢启强16讲课人：邢启强17课堂小结课堂小结1.1.全概率公式全概率公式12121( )(|)nniniiiA AAAAAP BP B ，一般地，设，是一组两两互斥的事件，有，且P(A )0,i=1,2, ,n,则对任意的事件B，有P AA我们称上面的公式为全概率公式。2 2* *贝叶斯公式：贝叶斯公式：12121( )0(|)(|)(|),( )
14、(|)nniiiiiiniiiA AAAAAP BP BP BP BP BP B ，一般地，设，是一组两两互斥的事件，有，且P(A )0,i=1,2, ,n,则对任意的事件B，有P AAP AAAi=1,2, ,nP AA讲课人：邢启强18应用全概率公式的关键是寻找与该事件相关的完备事件组当事件的发生与相继两个试验有关，第一次试验的各种结果直接对第二次试验产生影响，因此从第一次试验入手，找出完备事件组当事件的发生是由诸多两两互不相容的原因A1，A2，An，引起的，且只能在原因A1，A2，An，下发生，那么这些原因就是一个完备事件组在选择完备事件组的时候，一定要把产生结果的原因全找出来，不能遗漏，并且保证A1，A2，An，为两两互不相容事件课堂小结课堂小结全概率公式为复杂事件的概率计算提供了一条有效途径，是概率论中一个有效的分析工具，其重要意义在于：对于一个复杂的事件B，若无法直接求出它的概率P(B)，则可以“化整为零”，通过选择样本空间的划分将复杂事件B分解为若干个简单事件来进行处理，从而使分析问题的思路变得清晰条理，计算化繁为简，化难为易
