1、 2 充分条件与必要条件第1课时 充分条件与必要条件充分条件与必要条件真命题pqp推出q充分条件必要条件思考：若p是q的充分条件，p是唯一的吗？提示：不唯一，凡是能使q成立的条件都是它的充分条件，如x3是x0的充分条件，x5，x10等都是x0的充分条件. 【知识点拨】1.充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”的理解由定义知“pq”表示有p必有q,所以p是q的充分条件,这点容易理解.q是p的必要条件说明没有q就没有p,q是p成立的必不可少的条件，但有q未必一定有p.充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的.必要性：必要就是必须，必不可少.2.常用的命题的条件和结论之间的关系(1)若pq，则
2、p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)若qp，则q是p的充分条件，p是q的必要条件.(3)若pq，但q p，则p是q的充分不必要条件.(4)若qp，但p q,则p是q的必要不充分条件.(5)若pq，且qp，则p是q的充分必要条件.(6)若p q,且q p，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件. 类型一 用定义法判断充分条件与必要条件【典型例题】1.(2012浙江高考改编)设aR,则“a=1”是“直线l 1:ax+2y-1=0与直线l 2:x+(a+1)y+4=0平行”的_条件.2.分别指出下列各组命题中p是q的什么条件.(1)p:(x+1)(x-2)=0,q:x+1=0.(2)p:x
3、=y,q:sin x=sin y.【解题探究】1.充分条件和必要条件是如何定义的？2.判断充分条件和必要条件的依据是什么？探究提示：1.如果“若p,则q”形式的命题为真命题，即pq,称p是q的充分条件，q是p的必要条件.2.依据是充分条件和必要条件的定义.【解析】1.当a=1时，直线l1为x+2y-1=0,直线l2为x+2y+4=0,显然l1l2,a=1是l1与l2平行的充分条件.若l1l2， a=-2或a=1.答案：充分不必要a21,1a 142.(1)(x+1)(x-2)=0,x1=-1或x2=2,由(x+1)(x-2)=0 x+1=0,由x+1=0(x+1)(x-2)=0.p是q的必要不
4、充分条件.(2)由x=ysin x=sin y,pq.sin x=sin y x=y,p是q的充分不必要条件. 【拓展提升】1.用定义法判断充分条件和必要条件的一般步骤(1)确定谁是条件，谁是结论.(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件.(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件2.“条件”和“结论”中均有否定词的充分条件和必要条件的判断方法对于条件和结论中含有否定词的判断，应从它的等价命题即逆否命题判断.【变式训练】指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(1)p:x1,q:x21.(2)p:ABC有两个角相等，q:A
5、BC是正三角形.【解析】(1)由x1x21,pq.x21,x1或x-1,q p,p是q的充分不必要条件.(2)ABC有两个角相等，则ABC是等腰三角形，不一定是正三角形，所以p q;若ABC是正三角形，则三个角均相等，即任意两个角都相等，所以qp,故p是q的必要不充分条件.类型二 用集合法判断充分条件与必要条件【典型例题】1.p:A=x|x是正方形，q:B=x|x是菱形，则p是q的_条件.2.下列各题中，p是q的什么条件？(1)p:A=x|x(x-1)0，q:B=x|0 x3.(2)p:A=x|12x2,q:B=251x|xx0.66 【解题探究】1.两个集合A,B之间具有几种关系？分别是如何
6、定义的？2.用集合法判断充分条件和必要条件的依据是什么？探究提示：1.两个集合A,B之间具有包含关系和相等关系.(1)一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，就说集合A包含于集合B，记作AB,此时A是B的子集.(2)对于两个集合A与B，如果AB,并且AB,就说集合A是集合B的真子集，记作A B.(3)对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，这时就说集合A与B相等，记作A=B.2.集合间的包含关系.【解析】1.正方形一定是菱形，菱形不一定是正方形，p是q的充分不必要条件.答案：充分不必要2.
7、(1)由集合A得，0 x1，A B，p是q的充分不必要条件.(2)由集合A得，0 x1，由集合B得B A，p是q的必要不充分条件.11x32 ，【互动探究】改变题2中的集合A如下，p是q的什么条件?(1)p:A=q:B=x|0 x3.(2)p:A=q:B=【解题指南】先对每个集合进行化简，然后利用集合间的关系进行判断.xx|0 x 1，12x|logx 30 ，251x|xx0.66 【解析】(1) 0 x(x-1)0且x10 x1，A=x|0 x1.AB且BA.p是q的既不充分也不必要条件.xx 1(2) (x-3)1，A=x|x4，又AB且BA，p是q的既不充分也不必要条件.12log25
8、111xx0 x.6632 11B x|x,32 【拓展提升】从集合的角度判断充分、必要条件的方法p:A=x|p(x)成立,q:B=x|q(x)成立.若若A AB B，则，则p p是是q q的充分条件，的充分条件，若若A AB B，则，则p p是是q q的充分不必要条的充分不必要条件件若若B BA A，则，则p p是是q q的必要条件，的必要条件，若若B BA A，则，则p p是是q q的必要不充分条的必要不充分条件件 若若A=BA=B，则，则p,qp,q互为充分条件和互为充分条件和必要必要条件条件类型三 充分条件与必要条件的应用【典型例题】1.已知p:A=x|x3,q:B=x|xm,p是q的
9、充分不必要条件，则m的范围是_.2.已知p:x2+x-6=0和q:mx+1=0,且p是q的必要不充分条件，求实数m的值.【解题探究】1.已知充分条件和必要条件求参数的范围的关键是什么？2.在化简含参数的集合时，要注意什么？探究提示：1.关键是根据条件的充分性和必要性找出集合间的关系.2.要注意分类讨论思想的应用，即考虑所化简的集合是否可能为空集.【解析】1.p是q的充分不必要条件,即当x3时，xm成立，但当xm时，x3不一定成立,m的范围是m3.答案：(3,+)2.p:xx|x2+x-6=0,即p:x2,-3,q:xx|mx+1=0,p是q的必要条件，但不是充分条件,x|mx+1=02,-3.
10、当x|mx+1=0= 时成立，即m=0;当x|mx+1=0 时，当 时，m= 当 = -3时, 或m=0.1x;m12m1;21m1m.311mm23或【拓展提升】充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：根据充分条件与必要条件的定义，既可以判断条件的充分性和必要性，也可以根据条件的充分性和必要性进行相关问题的求解，比如求参数的范围等.(2)常用方法:首先根据条件的充分性和必要性找到条件构成的集合之间的关系，然后构建满足条件的不等式(组)，再进行求解.【变式训练】是否存在实数p,使“4x+p0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；若不存在，请说明理由.是否存在实数p,使“4x+p0”的必要条
11、件？如果存在，求出p的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】由x2-x-20 x2或x-1;4x+p0 x当 -1,即p4时，由x -1x0，故当p4时，“4x+p0”的充分条件.由于x2-x-20 4x+p0，所以不存在实数p,使“4x+p0”的必要条件.p.4p4p4【易错误区】弄错两个集合间的关系而致误【典例】(2013临沂高二检测)已知P=x|x-a|4,Q=x|x2-4x+30,且xP是xQ的必要条件，但不是充分条件，则实数a的取值范围是_.【解析】|x-a|4,-4x-a4,a-4xa+4,P=x|a-4xa+4.又x2-4x+30,(x-1)(x-3)0,1x3,Q=x|1x3
12、.xP是xQ的必要条件，但不是充分条件.QP, a-41 a-41 a5， a3 a+43 a-1, a-1,答案:-1，5或即或-1a5.【误区警示】【防范措施】1.集合关系中等号的处理在已知两集合间的关系求参数的值或范围时，等号问题常有以下两种处理方法：一是借助数轴分析法，二是假设等号成立求出字母的值，再验证其是否符合题意.如本例中a-41,a+43都能够取到等号.2.转化思想的应用在由充分和必要条件转化为集合间的关系时，要分清是包含关系还是真包含关系，如本例应是Q P.【类题试解】已知不等式x2-2x-a2+10成立的一个充分条件是0 x3,则实数a的取值范围为_.【解析】注意两种说法“
13、p是q的充分条件”与“q的充分条件是p”是等价的.由题意可知当0 x3时，使x2-2x-a2+10成立，令f(x)=x2-2x-a2+1,即f(x)=(x-1)2-a2,由图可知， f(0)0, f(3)0，所以实数a的取值范围是(-,-22,+).答案：(-,-22,+)得到a(-,-22,+)，1.“x2-1=0”是“x-1=0”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选B.x2-1=0,x=1,x2-1=0时不能推出x-1=0.反之x-1=0时，x2-1=0,选B.2.a0,b0的一个必要条件为( )A.a+b0 B.(a+1)2+
14、(b+3)2=0C. 1 D. -1abab【解析】选A.由题意知，可由a0,b0推导出选项.对于A,当a0,b0时，由同向不等式的性质，a+b0显然成立，A正确.对于B,当a0,b0时，(a+1)2+(b+3)2=0不恒成立，如a=-1,b=-1.B不正确.对于C,当a0,b0时， 1不恒成立，如a=-1,b=-2.C不正确.对于D,当a0,b0时， 0, -1不成立，D不正确，故选A.ababab3.“m= ”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的( )A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【解析】
15、选B.当m= 时，两直线变为 和 两直线斜率之积为-1，两直线垂直.而当m=-2时，两直线变为-6y+1=0和-4x-3=0，仍然垂直.当m= 时，可推出两直线垂直，而若两直线垂直m至少还可以为-2，为充分不必要条件.121253xy 1 022 35xy 3 0.22 124.mn0是一次函数 的图像过一、三、四象限的_条件.【解析】y= 的图像过一、三、四象限， m0， n0，m1xnnm0,n10,nm1yxnn m0, m0, n0, n0故为必要不充分条件.答案：必要不充分由mn0不能推出而由可推出mn0.05.若向量a=(x,3)(xR)，则“x=4”是“|a|=5”的_条件.【解析】|a|=5, x=4.x=4|a|=5,|a|=5 x=4,所以“x=4”是“|a|=5”的充分不必要条件.答案：充分不必要2x95, 6.已知p:(x-1)(x-2)0,q:x-a0.若p是q的充分条件，求a的取值范围.【解析】(x-1)(x-2)0,1x2.x-a0,xa. p是q的充分条件，a2.
