1、2019 年湖南省娄底市中考数学模拟试卷（二）年湖南省娄底市中考数学模拟试卷（二） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，个小题，/每小题每小题 3 分，满分分，满分 36 分分.每小题给出的四个选项中，只每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题设要求的，请把你认为符合题目要求的选项填在下表中相应的题号下）有一项是符合题设要求的，请把你认为符合题目要求的选项填在下表中相应的题号下） 1（3 分）5 的绝对值是（ ） A5 B5 C D 2（3 分）下列运算正确的是（ ） A.x3 x 3x B（ab3）2ab6 Cx8x4x2 D（2x）38x3 3（3 分）下列生态环保标
2、志中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 4（3 分）已知 A 组四人的成绩分别为 90、60、90、60，B 组四人的成绩分别为 70、80、 80、70，用下列哪个统计知识分析区别两组成绩更恰当（ ） A平均数 B中位数 C众数 D方差 5（3 分）据经济日报2018 年 5 月 21 日报道：目前，世界集成电路生产技术水平最高 已达到 7nm（1nm109m），主流生产线的技术水平为 1428nm，中国大陆集成电路 生产技术水平最高为 28nm将 28nm 用科学记数法可表示为（ ） A28109m B2.8108m C28109m D2.8108m 6（3 分）在下列几何体中，主
3、视图是圆的是（ ） A B C D 7（3 分）如图，点 A，B，C，D 都在O 上，AC，BD 相交于点 E，则ABD（ ） AACD BADB CAED DACB 8（3 分）将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，得到如图所示的图形，已知CED55，则 BAD的大小是（ ） A30 B35 C45 D60 9（3 分）若关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c0 的两个实数根分别为 x12，x24，则 b+c 的值是（ ） A10 B10 C6 D1 10（3 分）已知反比例函数 y的图象上有两点 A（x1，y1），B（x2，y2），当 x1 0x2时，有 y1y2，则 m 的取值范围是（ ）
4、 Am0 Bm0 Cm Dm 11（3 分）程大位是我国明朝商人，珠算发明家他 60 岁时完成的直指算法统宗是 东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法书中有如下问题： 一百馒头一百僧，大僧三个更无争， 小僧三人分一个，大小和尚得几丁 意思是：有 100 个和尚分 100 个馒头，如果大和尚 1 人分 3 个，小和尚 3 人分 1 个，正 好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确的是（ ） A大和尚 25 人，小和尚 75 人 B大和尚 75 人，小和尚 25 人 C大和尚 50 人，小和尚 50 人 D大、小和尚各 100 人 12（3 分）抛物线 yax2+bx+c（a
5、0）的对称轴为直线 x1，与 x 轴的一个交点 A 在 点（3，0）和（2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：4acb20；2a b0；a+b+c0；点 M（x1，y1）、N（x2，y2）在抛物线上，若 x1x2，则 y1 y2，其中正确结论的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 13（3 分）函数中自变量 x 的取值范围是 14（3 分）已知点 M（3，2），将它先向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位后得到 点 N，则点 N 的坐标是 15（3 分）如
6、图，已知 ABCD，BE 平分ABC，CDE150，则C 16 （3 分） 如图， 正六边形 ABCDEF 内接于半径为 3 的圆 O， 则劣弧 AB 的长度为 17（3 分）在9，6，3，1，2，3，6，8，11 这九个数中，任取一个作为 a 值，能 够使关于 x 的一元二次方程 x2+ax+90 有两个不相等的实数根的概率是 18（3 分）记 Sna1，+a2+an，令 Tn，则称 Tn为 a1，a2，an这 列数的“凯森和”，已知 a1，a2，a500的“凯森和”为 2004，那么 1，a1，a2，a500 的“凯森和”为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 2 个小题，每小题个小
7、题，每小题 6 分，满分分，满分 12 分）分） 19（6 分）计算 20（6 分）先化简，再求值：（a2b）（a+2b）（a2b）2+8b2，其中 a6，b 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 2 个小题，每小题个小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 21（8 分）为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主 题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数 分布表和频数分布直方图的一部分如下： 课外阅读时间 （单位：小时） 频数（人数） 频率 0t2 2 0.04 2t4 3 0.06 4t6 15 0.30 6t8
8、a 0.50 t8 5 b 请根据图表信息回答下列问题： （1）频数分布表中的 a ，b ； （2）将频数分布直方图补充完整； （3） 学校将每周课外阅读时间在 8 小时以上的学生评为 “阅读之星” ， 请你估计该校 2000 名学生中评为“阅读之星”的有多少人？ 22（8 分）如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地 所在山坡 AE 的长度她先在山脚下点 E 处测得山顶 A 的仰角是 30，然后，她沿着坡 度是 i1：1（即 tanCED1）的斜坡步行 15 分钟抵达 C 处，此时，测得 A 点的俯角 是 15已知小丽的步行速度是 18 米/分，图中点 A、B、E
9、、D、C 在同一平面内，且点 D、E、B 在同一水平直线上求出娱乐场地所在山坡 AE 的长度（参考数据：1.41， 结果精确到 0.1 米） 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 2 个小题，每小题个小题，每小题 9 分，满分分，满分 18 分）分） 23（9 分）从甲市到乙市乘坐高铁列车的路程为 180 千米，乘坐普通列车的路程为 240 千 米，高铁列车的平均速度是普通列车的平均速度的 3 倍，高铁列车的乘车时间比普通列 车的乘车时间缩短了 2 小时 （1）求高铁列车的平均速度是每小时多少千米； （2）某日王老师要去距离甲市大约 405m 的某地参加 14：00 召开的会议，如果他买到
10、当 日 10：40 从甲市至该地的高铁票，而且从该地高铁站到会议地点最多需要 1.5h，试问在 高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前到达吗？ 24（9 分）如图，在ABC 中，BAC90，线段 AC 的垂直平分线交 AC 于 D 点，交 BC 于 E 点，过点 A 作 BC 的平行线交直线 ED 于 F 点，连接 AE，CF （1）求证：四边形 AECF 是菱形； （2）若 AB10，ACB30，求菱形 AECF 的面积 六、综合探究题（本大题共六、综合探究题（本大题共 2 个小题，每小题个小题，每小题 10 分，满分分，满分 20 分）分） 25（10 分）如图，已知 AB 是O 的直径，
11、点 C 在O 上，过点 C 的直线与 AB 的延长线 交于点 P，ACPC，COB2PCB （1）求证：PC 是O 的切线； （2）求证：BCAB； （3）点 M 是的中点，CM 交 AB 于点 N，若 AB4，求 MNMC 的值 26（10 分）如图，顶点坐标为（2，1）的抛物线 yax2+bx+c（a0）与 y 轴交于点 C （0，3），与 x 轴交于 A、B 两点 （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴与直线 BC 交于点 D，连接 AC、AD，求ACD 的面积； （3）点 E 为直线 BC 上一动点，过点 E 作 y 轴的平行线 EF，与抛物线交于点 F问是 否存在点 E，使
12、得以 D、E、F 为顶点的三角形与BCO 相似？若存在，求点 E 的坐标； 若不存在，请说明理由 2019 年湖南省娄底市中考数学模拟试卷（二）年湖南省娄底市中考数学模拟试卷（二） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，个小题，/每小题每小题 3 分，满分分，满分 36 分分.每小题给出的四个选项中，只每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题设要求的，请把你认为符合题目要求的选项填在下表中相应的题号下）有一项是符合题设要求的，请把你认为符合题目要求的选项填在下表中相应的题号下） 1（3 分）5 的绝对值是（ ） A5 B5 C D 【分
13、析】根据绝对值的性质求解 【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|5|5 故选：A 【点评】此题主要考查的是绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝 对值是它的相反数；0 的绝对值是 0 2（3 分）下列运算正确的是（ ） A.x3 x 3x B（ab3）2ab6 Cx8x4x2 D（2x）38x3 【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方、同底数幂的除法进行计算即可 【解答】解：A、x3 x 3x6，故 A 错误； B、（ab3）2a2b6，故 B 错误； C、x8x4x4，故 C 错误； D、（2x）38x3，故 D 正确； 故选：D 【点评】本题考查了同底数幂的
14、乘法，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的除法，掌握运 算法则是解题的关键 3（3 分）下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项正确； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项错误 故选：B 【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合 4（3 分）已知 A 组四人的成绩分别为 90、60、90、60，B 组四人的成绩分别为 70、80、 80、70，用下列哪个统计知
15、识分析区别两组成绩更恰当（ ） A平均数 B中位数 C众数 D方差 【分析】根据平均数、中位数、众数以及方差的意义进行选择即可 【解答】解：75，75； 甲的中位数为 75，乙的中位数为 75； 甲的众数为 90，60，乙的众数为 80，70； 通过平均数、中位数、众数不能区别两组成绩， 应通过方差区别两组成绩更恰当， 故选：D 【点评】本题考查了统计量的选择，掌握平均数、中位数、众数以及方差的意义是解题 的关键 5（3 分）据经济日报2018 年 5 月 21 日报道：目前，世界集成电路生产技术水平最高 已达到 7nm（1nm109m），主流生产线的技术水平为 1428nm，中国大陆集成电路
16、 生产技术水平最高为 28nm将 28nm 用科学记数法可表示为（ ） A28109m B2.8108m C28109m D2.8108m 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n，与较大 数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数 字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：28nm28109m2.8108m 故选：B 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n，其中 1|a|10， n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 6（3 分）在下列几何体中，主视图是圆的是（ ） A B C
17、D 【分析】找到从正面看所得到的图形比较即可 【解答】解：A、主视图是三角形，错误； B、主视图是矩形，错误； C、主视图是等腰梯形，错误； D、主视图是圆，正确 故选：D 【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图 7（3 分）如图，点 A，B，C，D 都在O 上，AC，BD 相交于点 E，则ABD（ ） AACD BADB CAED DACB 【分析】根据圆周角定理即可判断 A、B、D，根据三角形外角性质即可判断 C 【解答】解：A、ABD 对的弧是弧 AD，ACD 对的弧也是 AD， ABDACD，故 A 选项正确； B、ABD 对的弧是弧 AD，ADB 对的弧也是
18、 AB，而已知没有说， ABD 和ACD 不相等，故 B 选项错误； C、AEDABD，故 C 选项错误； D、ABD 对的弧是弧 AD，ACB 对的弧也是 AB，而已知没有说， ABD 和ACB 不相等，故 D 选项错误； 故选：A 【点评】本题考查了圆周角定理和三角形外角性质的应用，注意：在同圆或等圆中，同 弧或等弧所对的圆周角相等 8（3 分）将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，得到如图所示的图形，已知CED55，则 BAD的大小是（ ） A30 B35 C45 D60 【分析】由题意推出DED125，得DAD55，所以BAD35 【解答】解：如图所示EDAEDA， DDDAE90， CE
19、D55， DED125， DAD55， BAD35 故选：B 【点评】本题主要考查翻折变换的性质、正方形的性质、四边形内角和定理，解题的关 键在于求出DAD的度数 9（3 分）若关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c0 的两个实数根分别为 x12，x24，则 b+c 的值是（ ） A10 B10 C6 D1 【分析】根据根与系数的关系得到2+4b，24c，然后可分别计算出 b、c 的 值，进一步求得答案即可 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c0 的两个实数根分别为 x12，x24， 根据根与系数的关系，可得2+4b，24c， 解得 b2，c8 b+c10 故选：A 【点评】
20、此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关 系：x1+x2，x1x2 10（3 分）已知反比例函数 y的图象上有两点 A（x1，y1），B（x2，y2），当 x1 0x2时，有 y1y2，则 m 的取值范围是（ ） Am0 Bm0 Cm Dm 【分析】先根据当 x10x2时，有 y1y2，判断出 12m 的符号，求出 m 的取值范围 即可 【解答】解：反比例函数 y的图象上有两点 A（x1，y1），B（x2，y2），当 x1 0x2时，有 y1y2， 反比例函数的图象在一三象限， 12m0，解得 m 故选：C 【点评】 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点， 先根
21、据题意判断出反比例函数 y 的图象在一、三象限是解答此题的关键 11（3 分）程大位是我国明朝商人，珠算发明家他 60 岁时完成的直指算法统宗是 东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法书中有如下问题： 一百馒头一百僧，大僧三个更无争， 小僧三人分一个，大小和尚得几丁 意思是：有 100 个和尚分 100 个馒头，如果大和尚 1 人分 3 个，小和尚 3 人分 1 个，正 好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确的是（ ） A大和尚 25 人，小和尚 75 人 B大和尚 75 人，小和尚 25 人 C大和尚 50 人，小和尚 50 人 D大、小和尚各 100 人 【分析】根
22、据 100 个和尚分 100 个馒头，正好分完大和尚一人分 3 个，小和尚 3 人分 一个得到等量关系为：大和尚的人数+小和尚的人数100，大和尚分得的馒头数+小和尚 分得的馒头数100，依此列出方程即可 【解答】解：设大和尚有 x 人，则小和尚有（100x）人， 根据题意得：3x+100， 解得 x25 则 100x1002575（人） 所以，大和尚 25 人，小和尚 75 人 故选：A 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，关键以和尚数和馒头数作为等量关系列出方 程 12（3 分）抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，与 x 轴的一个交点 A 在 点（3，0）和（2，0）
23、之间，其部分图象如图，则下列结论：4acb20；2a b0；a+b+c0；点 M（x1，y1）、N（x2，y2）在抛物线上，若 x1x2，则 y1 y2，其中正确结论的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据函数与 x 中轴的交点的个数，以及对称轴的解析式，函数值的符号的确定 即可作出判断 【解答】解：函数与 x 轴有两个交点，则 b24ac0，即 4acb20，故正确； 函数的对称轴是 x1，即1，则 b2a，2ab0，故正确； 当 x1 时，函数对应的点在 x 轴下方，则 a+b+c0，则正确； 则 y1和 y2的大小无法判断，则错误 故选：C 【点评】本题考查了
24、二次函数的性质，主要考查了利用图象求出 a，b，c 的范围，以及 特殊值的代入能得到特殊的式子 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 13（3 分）函数中自变量 x 的取值范围是 x4 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于 0，分母不等于 0，列不 等式求解 【解答】解：根据题意得：x40，解得 x4 【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0二次根式有意义，被开方数是 非负数 14（3 分）已知点 M（3，2），将它先向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位后得到 点 N，则点 N
25、的坐标是 （1，2） 【分析】将点 M 的横坐标减去 2，纵坐标加上 4 即可得到点 N 的坐标 【解答】解：点 M（3，2），将它先向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位后得 到点 N， 点 N 的坐标是（32，2+4），即（1，2）， 故答案为（1，2） 【点评】本题考查了坐标与图形变化平移：解题关键是要懂得左右平移点的纵坐标不 变，而上下平移时点的横坐标不变，平移变换是中考的常考点，平移中点的变化规律是： 横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减 15（3 分）如图，已知 ABCD，BE 平分ABC，CDE150，则C 120 【分析】本题主要利用邻补角互补，平行线性质及角平分线
26、的性质进行做题 【解答】解：CDE150， CDB180CDE30， 又ABCD， ABDCDB30； BE 平分ABC， ABC60， C18060120 故答案为：120 【点评】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等，同旁内角互补 16（3 分）如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 3 的圆 O，则劣弧 AB 的长度为 【分析】求出圆心角AOB 的度数，再利用弧长公式解答即可 【解答】解：如图，连接 OA、OB， ABCDEF 为正六边形， AOB36060， 的长为 故答案为： 【点评】本题主要考查正多边形的性质和弧长公式，熟练掌握正多边形的性质是解题的 关键 17（
27、3 分）在9，6，3，1，2，3，6，8，11 这九个数中，任取一个作为 a 值，能 够使关于 x 的一元二次方程 x2+ax+90 有两个不相等的实数根的概率是 【分析】列举出所有情况，让能够使关于 x 的一元二次方程 x2+ax+90 有两个不相等的 实数根的情况数除以总情况数即为所求的概率 【解答】解：在9，6，3，1，2，3，6，8，11 这九个数中，任取一个作为 a 值 每个数被抽到的机会相同，因而是列举法求概率的问题，方程 x2+ax+90 有两个不相等 的实数根的条件是 a2360，就是要看一下在9，6，3，1，2，3，6，8，11 中有 3 个满足 a2360 P（能够使关于
28、x 的一元二次方程 x2+ax+90 有两个不相等的实数根） 【点评】正确理解列举法求概率的条件以及一元二次方程根的判定方法是解决问题的关 键用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 18（3 分）记 Sna1，+a2+an，令 Tn，则称 Tn为 a1，a2，an这 列数的“凯森和”，已知 a1，a2，a500的“凯森和”为 2004，那么 1，a1，a2，a500 的“凯森和”为 2001 【分析】先根据已知求出 T500的值，再设出新的凯森和 Tx，列出式子，把得数代入，即 可求出结果 【解答】解：Tn， T5002004， 设新的“凯森和”为 Tx， 501Tx1501+500T5
29、00， Tx（1501+500T500）501 （1501+5002004）501 1+5004 2001 故答案为：2001 【点评】此题考查了数字的变化类，解题的关键是掌握“凯森和”这个新概念，找出其 中的规律，再根据新概念对要求的式子进行变形整理即可 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 2 个小题，每小题个小题，每小题 6 分，满分分，满分 12 分）分） 19（6 分）计算 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简 得出答案 【解答】解：原式1+1+33 1+1+3 3 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 20（6 分）先化
30、简，再求值：（a2b）（a+2b）（a2b）2+8b2，其中 a6，b 【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式计算，去括号合并得到最简结果，把 a 与 b 的值代入计算即可求出值 【解答】解：原式a24b2a2+4ab4b2+8b24ab， 当 a6，b时，原式8 【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 2 个小题，每小题个小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 21（8 分）为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主 题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行
31、调查，绘制出频数 分布表和频数分布直方图的一部分如下： 课外阅读时间 （单位：小时） 频数（人数） 频率 0t2 2 0.04 2t4 3 0.06 4t6 15 0.30 6t8 a 0.50 t8 5 b 请根据图表信息回答下列问题： （1）频数分布表中的 a 25 ，b 0.10 ； （2）将频数分布直方图补充完整； （3） 学校将每周课外阅读时间在 8 小时以上的学生评为 “阅读之星” ， 请你估计该校 2000 名学生中评为“阅读之星”的有多少人？ 【分析】（1）由阅读时间为 0t2 的频数除以频率求出总人数，确定出 a 与 b 的值即 可； （2）补全条形统计图即可； （3）由阅读
32、时间在 8 小时以上的百分比乘以 2000 即可得到结果 【解答】解：（1）根据题意得：20.0450（人）， 则 a50（2+3+15+5）25；b5500.10； 故答案为：25；0.10； （2）阅读时间为 6t8 的学生有 25 人，补全条形统计图，如图所示： （3）根据题意得：20000.10200（人）， 则该校 2000 名学生中评为“阅读之星”的有 200 人 【点评】此题考查了频率（数）分布表，条形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中 的数据是解本题的关键 22（8 分）如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地 所在山坡 AE 的长度她先在山脚下点
33、 E 处测得山顶 A 的仰角是 30，然后，她沿着坡 度是 i1：1（即 tanCED1）的斜坡步行 15 分钟抵达 C 处，此时，测得 A 点的俯角 是 15已知小丽的步行速度是 18 米/分，图中点 A、B、E、D、C 在同一平面内，且点 D、 E、 B 在同一水平直线上 求出娱乐场地所在山坡 AE 的长度 （参考数据：1.41， 结果精确到 0.1 米） 【分析】根据速度乘以时间得出 CE 的长度，通过坡度得到ECF30，作辅助线 EF AC，通过平角减去其他角从而得到AEF45即可求出 AE 的长度 【解答】解：作 EFAC， 根据题意，CE1815270 米， tanCED1， CE
34、DDCE45， ECF90451530， EFCE135 米， CEF60，AEB30， AEF18045603045， AE135190.4 米 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是作辅助线 EFAC，以及坡 度和坡角的关系 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 2 个小题，每小题个小题，每小题 9 分，满分分，满分 18 分）分） 23（9 分）从甲市到乙市乘坐高铁列车的路程为 180 千米，乘坐普通列车的路程为 240 千 米，高铁列车的平均速度是普通列车的平均速度的 3 倍，高铁列车的乘车时间比普通列 车的乘车时间缩短了 2 小时 （1）求高铁列车的平均速度是每小
35、时多少千米； （2）某日王老师要去距离甲市大约 405m 的某地参加 14：00 召开的会议，如果他买到当 日 10：40 从甲市至该地的高铁票，而且从该地高铁站到会议地点最多需要 1.5h，试问在 高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前到达吗？ 【分析】（1）设普通列车平均速度每小时 x 千米，则高速列车平均速度每小时 3x 千米， 根据题意可得，坐高铁走 180 千米比坐普通车 240 千米少用 2 小时，据此列方程求解； （2）求出王老师所用的时间，然后进行判断 【解答】解：（1）设普通列车平均速度每小时 x 千米，则高速列车平均速度每小时 3x 千米， 根据题意得，2， 解得：x90，
36、 经检验，x90 是所列方程的根， 则 3x390270 答：高速列车平均速度为每小时 270 千米； （2）4052701.5， 则坐车共需要 1.5+1.53（小时）， 王老师到达会议地点的时间为 13 点 40 故他能在开会之前到达 【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出 合适的等量关系，列方程求解，注意检验 24（9 分）如图，在ABC 中，BAC90，线段 AC 的垂直平分线交 AC 于 D 点，交 BC 于 E 点，过点 A 作 BC 的平行线交直线 ED 于 F 点，连接 AE，CF （1）求证：四边形 AECF 是菱形； （2）若 AB10
37、，ACB30，求菱形 AECF 的面积 【分析】（1）只要证明 AFFCCEEA，即可判断四边形 AECF 是菱形； （2）求出菱形的对角线的长，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可 【解答】（1）证明：EF 垂直平分 AC， FAFC，EAEC， AFBC， 12 AECE， 23 13 EFAC， ADFADE90 1+490，3+590 45 AFAE， AFFCCEEA， 四边形 AECF 是菱形 （2）解：BACADF90， ABFE， AFBE， 四边形 ABEF 为平行四边形， AB10， FEAB10， ACB30， AC10， 【点评】本题考查菱形的判定和性质、相等的垂
38、直平分线的性质、锐角三角函数等知识， 解题的关键是熟练掌握菱形的判定，属于基础题，中考常考题型 六、综合探究题（本大题共六、综合探究题（本大题共 2 个小题，每小题个小题，每小题 10 分，满分分，满分 20 分）分） 25（10 分）如图，已知 AB 是O 的直径，点 C 在O 上，过点 C 的直线与 AB 的延长线 交于点 P，ACPC，COB2PCB （1）求证：PC 是O 的切线； （2）求证：BCAB； （3）点 M 是的中点，CM 交 AB 于点 N，若 AB4，求 MNMC 的值 【分析】（1）已知 C 在圆上，故只需证明 OC 与 PC 垂直即可；根据圆周角定理，易得 PCB+
39、OCB90，即 OCCP；故 PC 是O 的切线； （2）AB 是直径；故只需证明 BC 与半径相等即可； （3）连接 MA，MB，由圆周角定理可得ACMBCM，进而可得MBNMCB， 故 BM2MNMC；代入数据可得 MNMCBM28 【解答】（1）证明：OAOC， AACO 又COB2A，COB2PCB， AACOPCB 又AB 是O 的直径， ACO+OCB90 PCB+OCB90 即 OCCP， OC 是O 的半径 PC 是O 的切线 （2）证明：ACPC， AP， AACOPCBP 又COBA+ACO，CBOP+PCB， COBCBO， BCOC BCAB （3）解：连接 MA，MB
40、， 点 M 是的中点， ， ACMBCM ACMABM， BCMABM BMNBMC， MBNMCB BM2MNMC 又AB 是O 的直径， AMB90，AMBM AB4， BM2 MNMCBM28 【点评】此题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质 的应用 26（10 分）如图，顶点坐标为（2，1）的抛物线 yax2+bx+c（a0）与 y 轴交于点 C （0，3），与 x 轴交于 A、B 两点 （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴与直线 BC 交于点 D，连接 AC、AD，求ACD 的面积； （3）点 E 为直线 BC 上一动点，过点 E 作 y 轴的
41、平行线 EF，与抛物线交于点 F问是 否存在点 E，使得以 D、E、F 为顶点的三角形与BCO 相似？若存在，求点 E 的坐标； 若不存在，请说明理由 【分析】（1）已知抛物线的顶点，可先将抛物线的解析式设为顶点式，再将点 C 的坐标 代入上面的解析式中，即可确定待定系数的值，由此得解 （2）可先求出 A、C、D 三点坐标，求出ACD 的三边长后，可判断出该三角形的形状， 进而得到该三角形的面积（也可将ACD 的面积视为梯形与两个小直角三角形的面积 差） （3） 由于直线 EF 与 y 轴平行， 那么OCBFED， 若OBC 和EFD 相似， 则EFD 中，EDF 和EFD 中必有一角是直角，
42、可据此求出点 F 的横坐标，再代入直线 BC 的 解析式中，即可求出点 E 的坐标 【解答】解：（1）依题意，设抛物线的解析式为 ya（x2）21，代入 C（O，3） 后，得： a（02）213，a1 抛物线的解析式：y（x2）21x24x+3 （2）由（1）知，A（1，0）、B（3，0）； 设直线 BC 的解析式为：ykx+3，代入点 B 的坐标后，得： 3k+30，k1 直线 BC：yx+3； 由（1）知：抛物线的对称轴：x2，则 D（2，1）； AD，AC，CD2， 即：AC2AD2+CD2，ACD 是直角三角形，且 ADCD； SACDADCD 22 （3）由题意知：EFy 轴，则FE
43、DOCB，若OCB 与FED 相似，则有： DFE90，即 DFx 轴； 将点 D 纵坐标代入抛物线的解析式中，得： x24x+31，解得 x2； 当 x2+时，yx+31 ； 当 x2时，yx+31+； E1（2+ ，1）、E2（2，1+） EDF90； 易知，直线 AD：yx1，联立抛物线的解析式有： x24x+3x1， x25x+40， 解得 x11、x24； 当 x1 时，yx+32； 当 x4 时，yx+31； E3（1，2）、E4（4，1） 综上，存在符合条件的点 E，且坐标为：（2+，1）、（2，1+）、（1， 2）或（4，1） 【点评】此题主要考查了函数解析式的确定、图形面积的解法以及相似三角形的判定和 性质等知识；需要注意的是，已知两个三角形相似时，若对应边不相同，那么得到的结 果就不一定相同，所以一定要进行分类讨论
