1、 1 / 49 20142014 年中考数学分类汇编年中考数学分类汇编运动变化类的压轴题运动变化类的压轴题 2014 年运动变化类的压轴题，题目展示涉及：单一（双）动点在三角形、四边形上运 动；在直线、抛物线上运动；几何图形整体运动问题.知识点涉及：全等三角形的判定与性 质；特殊四边形形的判定和性质；圆的相关性质；解直角三角形，勾股定理，相似三角形的 性质.数学思想涉及：分类讨论；数形结合；方程思想. 解答这类问题的关键是正确分类画出 直观图形.现选取部分省市的 2014 年中考题展示，以飨读者. 一、单动点问题一、单动点问题 【题 1】(2014 年江苏徐州第 28 题)如图，矩形 ABCD
2、 的边 AB=3cm，AD=4cm，点 E 从 点 A 出发，沿射线 AD 移动，以 CE 为直径作圆 O，点 F 为圆 O 与射线 BD 的公共点，连接 EF、CF，过点 E 作 EGEF，EG 与圆 O 相交于点 G，连接 CG （1）试说明四边形 EFCG 是矩形； （2）当圆 O 与射线 BD 相切时，点 E 停止移动，在点 E 移动的过程中， 矩形 EFCG 的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不 存在，说明理由； 求点 G 移动路线的长 【考点】 ： 圆的综合题；垂线段最短；直角三角形斜边上的中线；矩形的判定与性质；圆 周角定理；切线的性质；相似三角形的
3、判定与性质 【专题】 ： 压轴题；运动变化型 【分析】 ： （1）只要证到三个内角等于 90 即可 （2）易证点 D 在O 上，根据圆周角定理可得FCE=FDE，从而证到CFEDAB， 根据相似三角形的性质可得到 S矩形ABCD=2SCFE= 然后只需求出 CF 的范围就可求出 S 矩形ABCD的范围根据圆周角定理和矩形的性质可证到GDC=FDE=定值，从而得到点 G 的移动的路线是线段，只需找到点 G 的起点与终点，求出该线段的长度即可 【解答】 ： 解： （1）证明：如图 1， 2 / 49 CE 为O 的直径， CFE=CGE=90 EGEF， FEG=90 CFE=CGE=FEG=90
4、 四边形 EFCG 是矩形 （2）存在 连接 OD，如图 2， 四边形 ABCD 是矩形， A=ADC=90 点 O 是 CE 的中点， OD=OC 点 D 在O 上 FCE=FDE，A=CFE=90 ， CFEDAB =（）2 AD=4，AB=3， BD=5， SCFE=（）2SDAB = 3 4 = S矩形ABCD=2SCFE = 四边形 EFCG 是矩形， FCEG FCE=CEG GDC=CEG，FCE=FDE， 3 / 49 GDC=FDE FDE+CDB=90 ， GDC+CDB=90 GDB=90 当点 E 在点 A（E）处时，点 F 在点 B（F）处，点 G 在点 D（G处，如
5、图 2所示 此时，CF=CB=4 当点 F 在点 D（F）处时，直径 FGBD， 如图 2所示， 此时O 与射线 BD 相切，CF=CD=3 当 CFBD 时，CF 最小，此时点 F 到达 F， 如图 2所示 SBCD= BCCD= BDCF 4 3=5 CF CF= CF4 S矩形ABCD=， （）2S矩形ABCD 42 S矩形ABCD12 矩形 EFCG 的面积最大值为 12，最小值为 GDC=FDE=定值，点 G 的起点为 D，终点为 G， 点 G 的移动路线是线段 DG GDC=FDE，DCG=A=90 ， DCGDAB = = DG= 4 / 49 点 G 移动路线的长为 【点评】
6、： 本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、直角 三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂线段定理等知识，考查了动点的移动的路线长，综 合性较强而发现CDG=ADB 及FCE=ADB 是解决本题的关键 【题 2】 （2014湖州第 24 题）已知在平面直角坐标系 xOy 中，O 是坐标原点，以 P（1， 1）为圆心的P 与 x 轴，y 轴分别相切于点 M 和点 N，点 F 从点 M 出发，沿 x 轴正方向以 每秒 1 个单位长度的速度运动，连接 PF，过点 PEPF 交 y 轴于点 E，设点 F 运动的时间 是 t 秒（t0） （1）若点 E 在 y 轴的负半轴上（如图所示
7、） ，求证：PE=PF； （2）在点 F 运动过程中，设 OE=a，OF=b，试用含 a 的代数式表示 b； （3）作点 F 关于点 M 的对称点 F，经过 M、E 和 F三点的抛物线的对称轴交 x 轴于点 Q， 连接 QE在点 F 运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点 Q、O、E 为顶点的三角形与 以点 P、M、F 为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出 t 的值；若不 存在，请说明理由 【分析】 ： （1）连接 PM，PN，运用PMFPNE 证明， （2）分两种情况当 t1 时，点 E 在 y 轴的负半轴上，0t1 时，点 E 在 y 轴的正半轴或原点上，再根据（1）求解， 5 / 49
8、 （3）分两种情况，当 1t2 时，当 t2 时，三角形相似时还各有两种情况，根据比例式 求出时间 t 【解答】 ： 证明： （1）如图，连接 PM，PN， P 与 x 轴，y 轴分别相切于点 M 和点 N， PMMF，PNON 且 PM=PN， PMF=PNE=90 且NPM=90 ，PEPF， NPE=MPF=90 MPE， 在PMF 和PNE 中，PMFPNE（ASA） ， PE=PF， （2）解：当 t1 时，点 E 在 y 轴的负半轴上，如图， 由（1）得PMFPNE，NE=MF=t，PM=PN=1， b=OF=OM+MF=1+t，a=NEON=t1， ba=1+t（t1）=2，b=
9、2+a， 0t1 时，如图 2，点 E 在 y 轴的正半轴或原点上， 同理可证PMFPNE， b=OF=OM+MF=1+t，a=ONNE=1t， b+a=1+t+1t=2， b=2a， （3）如图 3， （）当 1t2 时， F（1+t，0） ，F 和 F关于点 M 对称， F（1t，0） 经过 M、E 和 F三点的抛物线的对称轴交 x 轴于点 Q， Q（1 t，0）OQ=1 t， 由（1）得PMFPNE NE=MF=t，OE=t1 当OEQMPF=， 6 / 49 解得，t=，当OEQMFP 时，=， =，解得，t=， （）如图 4，当 t2 时， F（1+t，0） ，F 和 F关于点 M
10、对称， F（1t，0） 经过 M、E 和 F三点的抛物线的对称轴交 x 轴于点 Q， Q（1 t，0）OQ= t1， 由（1）得PMFPNE NE=MF=t，OE=t1 当OEQMPF=，无解， 当OEQMFP 时，=，=，解得，t=2， 所以当 t=，t=，t=2时，使得以点 Q、O、E 为顶点的三角形与以点 P、M、F 为顶点的三角形相似 【点评】 ：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角 形相结合找出线段关系 【题 3】 (2014 年四川省绵阳市第 24 题)如图 1，矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，把矩 形沿直线 AC 折叠，使点 B 落在点
11、E 处，AE 交 CD 于点 F，连接 DE （1）求证：DECEDA； （2）求 DF 的值； （3）如图 2，若 P 为线段 EC 上一动点，过点 P 作AEC 的内接矩形，使其定点 Q 落在线 段 AE 上， 定点 M、 N 落在线段 AC 上， 当线段 PE 的长为何值时， 矩形 PQMN 的面积最大？ 并求出其最大值 7 / 49 【考点】 ： 四边形综合题 【分析】 ： （1）由矩形的性质可知ADCCEA，得出 AD=CE，DC=EA， ACD=CAE，从而求得DECEDA； （2）根据勾股定理即可求得 （3） ） 有矩形PQMN的性质得PQCA， 所以， 从而求得PQ， 由PNE
12、G， 得出=， 求得 PN，然后根据矩形的面积公式求得解析式，即可求得 【解答】 ： （1）证明：由矩形的性质可知ADCCEA， AD=CE，DC=EA，ACD=CAE， 在ADE 与CED 中 DECEDA（SSS） ； （2）解：如图 1，ACD=CAE， AF=CF， 设 DF=x，则 AF=CF=4x， 在 RTADF 中，AD2+DF2=AF2， 即 32+x2=（4x）2， 解得；x= ， 即 DF= （3）解：如图 2，由矩形 PQMN 的性质得 PQCA 又CE=3，AC=5来源:163文库 设 PE=x（0x3） ，则，即 PQ= 过 E 作 EGAC 于 G，则 PNEG，
13、 = 来源:学#科#网 又在 RtAEC 中，EGAC=AECE，解得 EG= 8 / 49 =，即 PN= （3x） 设矩形 PQMN 的面积为 S 则 S=PQPN= x2+4x=+3（0x3） 所以当 x= ，即 PE= 时，矩形 PQMN 的面积最大，最大面积为 3 【点评】 ： 本题考查了全等三角形的判定和性质， 勾股定理的应用， 平行线分线段成比例 定理 【题 4】(2014 年浙江绍兴第 25 题)如图，在平面直角坐标系中，直线 l 平行 x 轴，交 y 轴于点 A，第一象限内的点 B 在 l 上，连结 OB，动点 P 满足APQ=90 ，PQ 交 x 轴于点 C （1）当动点
14、P 与点 B 重合时，若点 B 的坐标是（2，1） ，求 PA 的长 （2）当动点 P 在线段 OB 的延长线上时，若点 A 的纵坐标与点 B 的横坐标相等，求 PA： PC 的值 （3）当动点 P 在直线 OB 上时，点 D 是直线 OB 与直线 CA 的交点，点 E 是直线 CP 与 y 轴的交点，若ACE=AEC，PD=2OD，求 PA：PC 的值 【考点】 ： 相似形综合题；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判 定与性质； 勾股定理； 矩形的判定与性质； 平行线分线段成比例； 相似三角形的判定与性质 【专题】 ： 压轴题 【分析】 ： （1）易得点 P 的坐标是（2，
15、1） ，即可得到 PA 的长 （2）易证AOB=45 ，由角平分线的性质可得 PA=PC，然后通过证明ANPCMP 即可 求出 PA：PC 的值 （3） 可分点P在线段OB的延长线上及其反向延长线上两种情况进行讨论 易证PA： PC=PN： PM，设 OA=x，只需用含 x 的代数式表示出 PN、PM 的长，即可求出 PA：PC 的值 【解答】 ： 解： （1）点 P 与点 B 重合，点 B 的坐标是（2，1） ， 点 P 的坐标是（2，1） 9 / 49 PA 的长为 2 （2）过点 P 作 PMx 轴，垂足为 M，过点 P 作 PNy 轴，垂足为 N，如图 1 所示 点 A 的纵坐标与点
16、B 的横坐标相等， OA=AB OAB=90 ， AOB=ABO=45 AOC=90 ， POC=45 PMx 轴，PNy 轴， PM=PN，ANP=CMP=90 NPM=90 APC=90 APN=90 APM=CPM 在ANP 和CMP 中， APN=CPM，PN=PM，ANP=CMP， ANPCMP PA=PC PA：PC 的值为 1：1 （3）若点 P 在线段 OB 的延长线上， 过点 P 作 PMx 轴，垂足为 M，过点 P 作 PNy 轴，垂足为 N， PM 与直线 AC 的交点为 F，如图 2 所示 APN=CPM，ANP=CMP， ANPCMP来源:学*科*网 Z*X*X*K
17、ACE=AEC， AC=AE APPC， EP=CP PMy 轴， 10 / 49 AF=CF，OM=CM FM= OA 设 OA=x， PFOA， PDFODA PD=2OD， PF=2OA=2x，FM= x PM= x APC=90 ，AF=CF， AC=2PF=4x AOC=90 ， OC=x PNO=NOM=OMP=90 ， 四边形 PMON 是矩形 PN=OM=x PA：PC=PN：PM=x： x= 若点 P 在线段 OB 的反向延长线上， 过点 P 作 PMx 轴，垂足为 M，过点 P 作 PNy 轴，垂足为 N， PM 与直线 AC 的交点为 F，如图 3 所示 同理可得：PM=
18、 x，CA=2PF=4x，OC=x PN=OM= OC=x PA：PC=PN：PM=x： x= 综上所述：PA：PC 的值为或 11 / 49 【点评】 ： 本题考查了角平分线的性质、 全等三角形的判定与性质、 相似三角形的判定与 性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线等分线段定理、勾股定理等知 识，综合性非常强 【题 5】 （2014无锡第 28 题）如图 1，已知点 A（2，0） ，B（0，4） ，AOB 的平分线 交 AB 于 C， 一动点 P 从 O 点出发， 以每秒 2 个单位长度的速度， 沿 y 轴向点 B 作匀速运动， 过点 P 且平行于 AB 的直线交 x 轴于
19、 Q，作 P、Q 关于直线 OC 的对称点 M、N设 P 运动 的时间为 t（0t2）秒 （1）求 C 点的坐标，并直接写出点 M、N 的坐标（用含 t 的代数式表示） ； （2）设MNC 与OAB 重叠部分的面积为 S 试求 S 关于 t 的函数关系式； 在图 2 的直角坐标系中，画出 S 关于 t 的函数图象，并回答：S 是否有最大值？若有，写 出 S 的最大值；若没有，请说明理由 【考点】 ： 相似形综合题 【分析】 ： （1）如答图 1，作辅助线，由比例式求出点 D 的坐标； （2）所求函数关系式为分段函数，需要分类讨论 答图 21，答图 22 表示出运动过程中重叠部分（阴影）的变化，
20、分别求 解； 画出函数图象，由两段抛物线构成观察图象，可知当 t=1 时，S 有最大 值 【解答】 ： 解： （1）如答图 1，过点 C 作 CFx 轴于点 F，CEy 轴于点 E， 由题意，易知四边形 OECF 为正方形，设正方形边长为 x 12 / 49 CEx 轴， ，即，解得 x= C 点坐标为（ ， ） ； PQAB， ，即， OP=2OQ P（0，2t） ， Q（t，0） 对称轴 OC 为第一象限的角平分线， 对称点坐标为：M（2t，0） ，N（0，t） （2）当 0t1 时，如答图 21 所示，点 M 在线段 OA 上，重叠部分面 积为 SCMN SCMN=S四边形CMONSOM
21、N =（SCOM+SCON）SOMN =（ 2t + t ） 2tt =t2+2t； 当 1t2 时，如答图 22 所示，点 M 在 OA 的延长线上，设 MN 与 AB 交于点 D，则重叠部分面积为 SCDN 设直线 MN 的解析式为 y=kx+b，将 M（2t，0） 、N（0，t）代入得， 13 / 49 解得， y= x+t； 同理求得直线 AB 的解析式为：y=2x+4 联立 y= x+t 与 y=2x+4，求得点 D 的横坐标为 SCDN=SBDNSBCN = （4t） （4t） = t22t+ 综上所述，S= 画出函数图象，如答图 23 所示： 观察图象，可知当 t=1 时，S 有
22、最大值，最大值为 1 【点评】 ： 本题是运动型综合题，涉及二次函数与一次函数、待定系数法、相似、图形 面积计算、动点问题函数图象等知识点难点在于第（2）问，正确地进行 分类讨论，是解决本题的关键 【题 6】 （2014杭州第 22 题）菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AC=4， BD=4，动点 P 在线段 BD 上从点 B 向点 D 运动，PFAB 于点 F，四边形 PFBG 关于 BD 对称，四边形 QEDH 与四边形 PEBG 关于 AC 对称设菱形 ABCD 被这两个四边形盖住部 分的面积为 S1，未被盖住部分的面积为 S2，BP=x （1）用含 x 的代数式分别表
23、示 S1，S2； （2）若 S1=S2，求 x 的值 14 / 49 【考点】 ： 四边形综合题；菱形的性质；轴对称的性质；轴对称图形；特殊角的三角函数 值 【专题】 ： 综合题；动点型；分类讨论来源:学&科&网 【分析】 ： （1）根据对称性确定 E、F、G、H 都在菱形的边上，由于点 P 在 BO 上与点 P 在 OD 上求 S1和 S2的方法不同，因此需分情况讨论 （2）由 S1=S2和 S1+S2=8可以求出 S1=S2=4然后在两种情况下分别建 立关于 x 的方程，解方程，结合不同情况下 x 的范围确定 x 的值 【解答】 ： 解： （1）当点 P 在 BO 上时，如图 1 所示 四
24、边形 ABCD 是菱形，AC=4，BD=4， ACBD，BO= BD=2，AO= AC=2， 且 S菱形ABCD= BDAC=8 tanABO= ABO=60 在 RtBFP 中， BFP=90 ，FBP=60 ，BP=x， sinFBP=sin60 = FP=x BF= 15 / 49 四边形 PFBG 关于 BD 对称， 四边形 QEDH 与四边形 PEBG 关于 AC 对称， SBFP=SBGP=SDEQ=SDHQ S1=4SBFP =4 x = S2=8 当点 P 在 OD 上时，如图 2 所示 AB=4，BF= ， AF=ABBF=4 在 RtAFM 中， AFM=90 ，FAM=3
25、0 ，AF=4 tanFAM=tan30 = FM=（4 ） SAFM= AFFM = （4 ）（4 ） =（4 ）2 四边形 PFBG 关于 BD 对称， 四边形 QEDH 与四边形 PEBG 关于 AC 对称， SAFM=SAEM=SCHN=SCGN S2=4SAFM =4（4 ）2 =（x8）2 S1=8S2=8（x8）2 综上所述： 16 / 49 当点 P 在 BO 上时，S1=，S2=8； 当点 P 在 OD 上时，S1=8（x8）2，S2=（x8）2 （2）当点 P 在 BO 上时，0x2 S1=S2，S1+S2=8， S1=4 S1=4 解得：x1=2，x2=2 22，20，
26、当点 P 在 BO 上时，S1=S2的情况不存在 当点 P 在 OD 上时，2x4 S1=S2，S1+S2=8， S2=4 S2=（x8）2=4 解得：x1=8+2，x2=82 8+24，2824， x=82 综上所述：若 S1=S2，则 x 的值为 82 【点评】 ： 本题考查了以菱形为背景的轴对称及轴对称图形的相关知识， 考查了菱形的性 质、特殊角的三角函数值等知识，还考查了分类讨论的思想 【题 7】 （2014.福州第 21 题）如图 1，点 O 在线段 AB 上，AO=2，OB=1， OC 为射线， 且BOC=60 . 动点 P 以每秒 2 个单位长度的速度从点 O 出发，沿射线 OC
27、 做匀速运动. 设 运动时间为 t 秒. （1）当 1 t 2 时，则 OP= ， ABP S ； （2）当ABP 是直角三角形时，求 t 的值； （3）如图 2，当 AP=AB 时，过点 A 作 AQBP，并使得QOP=B，求证：AP BP3. 17 / 49 【考点】 ：1.单动点问题；2. 锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.相似三角形的判 定和性质；5.分类思想的应用. 【答案】 （1）1， 3 3 4 ； （2）1 秒或 133 8 秒； （3）证明见解析 【解析】 （3）AP=AB，APB=B. 18 / 49 【题 8】 （2014成都第 28 题）如图，已知抛物线 y
28、= （x+2） （x4） （k 为常数，且 k 0）与 x 轴从左至右依次交于 A，B 两点，与 x 轴交于点 C，经过点 B 的直线 y=x+b 与抛物线的另一交点为 D （1）若点 D 的横坐标为5，求抛物线的函数表达式； （2）若在第一象限内的抛物线上有点 P，使得以 A，B，P 为顶点的三角形与ABC 相似，求 k 的值； （3）在（1）的条件下，设 F 为线段 BD 上一点（不含端点） ， 连接 AF，一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位 的速度运动到 F，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止，当点 F 的坐标是多少时，点 M 在整个运动
29、过程中用时最少？ 【考点】 ： 二次函数综合题 【分析】 ： （1）首先求出点 A、B 坐标，然后求出直线 BD 的解析式，求得点 D 坐标， 代入抛物线解析式，求得 k 的值； （2）因为点 P 在第一象限内的抛物线上，所以ABP 为钝角因此若两个三 角形相似，只可能是ABCAPB 或ABCABP如答图 2，按照以上 两种情况进行分类讨论，分别计算； 19 / 49 （3）由题意，动点 M 运动的路径为折线 AF+DF，运动时间：t=AF+ DF如 答图 3，作辅助线，将 AF+ DF 转化为 AF+FG；再由垂线段最短，得到垂线 段 AH 与直线 BD 的交点，即为所求的 F 点 【解答】
30、 ： 解： （1）抛物线 y= （x+2） （x4） ， 令 y=0，解得 x=2 或 x=4，A（2，0） ，B（4，0） 直线 y=x+b 经过点 B（4，0） ， 4+b=0，解得 b=， 直线 BD 解析式为：y=x+ 当 x=5 时，y=3，D（5，3） 点 D（5，3）在抛物线 y= （x+2） （x4）上， （5+2） （54）=3， k= （2）由抛物线解析式，令 x=0，得 y=k，C（0，k） ，OC=k 因为点 P 在第一象限内的抛物线上，所以ABP 为钝角 因此若两个三角形相似，只可能是ABCAPB 或ABCABP 若ABCAPB，则有BAC=PAB，如答图 21 所示
31、 设 P（x，y） ，过点 P 作 PNx 轴于点 N，则 ON=x，PN=y tanBAC=tanPAB，即：，y= x+k D（x， x+k） ，代入抛物线解析式 y= （x+2） （x4） ， 20 / 49 得 （x+2） （x4）= x+k，整理得：x26x16=0， 解得：x=8 或 x=2（与点 A 重合，舍去） ， P（8，5k） ABCAPB， ，即， 解得：k= 若ABCABP，则有ABC=PAB，如答图 22 所示 与同理，可求得：k= 综上所述，k=或 k= （3）由（1）知：D（5，3） ， 如答图 22，过点 D 作 DNx 轴于点 N，则 DN=3，ON=5，BN
32、=4+5=9， tanDBA=，DBA=30 过点 D 作 DKx 轴，则KDF=DBA=30 过点 F 作 FGDK 于点 G，则 FG= DF 由题意，动点 M 运动的路径为折线 AF+DF，运动时间：t=AF+ DF， t=AF+FG，即运动时间等于折线 AF+FG 的长度 由垂线段最短可知， 折线 AF+FG 的长度的最小值为 DK 与 x 轴之间的垂线段 过点 A 作 AHDK 于点 H，则 t最小=AH，AH 与直线 BD 的交点，即为所求之 F 点 21 / 49 A 点横坐标为2，直线 BD 解析式为：y=x+， y= （2）+=2， F（2，2） 综上所述，当点 F 坐标为（
33、2，2）时，点 M 在整个运动过程中用时最少 【点评】 ： 本题是二次函数压轴题，难度很大第（2）问中需要分类讨论，避免漏解； 在计算过程中，解析式中含有未知数 k，增加了计算的难度，注意解题过程中 的技巧；第（3）问中，运用了转化思想使得试题难度大大降低，需要认真体 会 【题 9】 （2014黄冈第 25 题）已知：如图，在四边形 OABC 中，ABOC，BCx 轴于 点 C，A（1，1） ，B（3，1） ，动点 P 从点 O 出发，沿着 x 轴正方向以每秒 2 个单位长 度的速度移动过点 P 作 PQ 垂直于直线 OA，垂足为点 Q，设点 P 移动的时间 t 秒（0t 2） ，OPQ 与四
34、边形 OABC 重叠部分的面积为 S （1）求经过 O、A、B 三点的抛物线的解析式，并确定顶点 M 的坐标； （2）用含 t 的代数式表示点 P、点 Q 的坐标； （3）如果将OPQ 绕着点 P 按逆时针方向旋转 90 ，是否存在 t，使得OPQ 的顶点 O 或 顶点 Q 在抛物线上？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由； （4）求出 S 与 t 的函数关系式 【考点】 ： 二次函数综合题 【专题】 ： 压轴题 【分析】 ： （1）设抛物线解析式为 y=ax2+bx（a0） ，然后把点 A、B 的坐标代入求出 a、 b 的值，即可得解，再把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点
35、M 的 坐标； 22 / 49 （2）根据点 P 的速度求出 OP，即可得到点 P 的坐标，再根据点 A 的坐标求 出AOC=45 ，然后判断出POQ 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形 的性质求出点 Q 的坐标即可； （3）根据旋转的性质求出点 O、Q 的坐标，然后分别代入抛物线解析式，求 解即可； （4）求出点 Q 与点 A 重合时的 t=1，点 P 与点 C 重合时的 t=1.5，t=2 时 PQ 经过点 B， 然后分0t1 时， 重叠部分的面积等于POQ 的面积， 1t1.5 时，重叠部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积的差，1.5t2 时， 重叠部分的面积等于梯形的面积减去一个等
36、腰直角三角形的面积分别列式整 理即可得解 【解答】 ： 解： （1）设抛物线解析式为 y=ax2+bx（a0） ， 把点 A（1，1） ，B（3，1）代入得， ， 解得， 抛物线解析式为 y= x2 x， y= x2 x= （x2）2 ， 顶点 M 的坐标为（2， ） ； （2）点 P 从点 O 出发速度是每秒 2 个单位长度， OP=2t，来源:学+科+网 点 P 的坐标为（2t，0） ， A（1，1） ， AOC=45 ， 点 Q 到 x 轴、y 轴的距离都是 OP= 2t=t， 点 Q 的坐标为（t，t） ； （3）OPQ 绕着点 P 按逆时针方向旋转 90 ， 23 / 49 旋转后点
37、 O、Q 的对应点的坐标分别为（2t，2t） ， （3t，t） ， 若顶点 O 在抛物线上，则 （2t）2 （2t）=2t， 解得 t= ， 若顶点 Q 在抛物线上，则 （3t）2 （3t）=t， 解得 t=1， 综上所述，存在 t= 或 1，使得OPQ 的顶点 O 或顶点 Q 在抛物线上； （4）点 Q 与点 A 重合时，OP=1 2=2，t=2 2=1， 点 P 与点 C 重合时，OP=3，t=3 2=1.5， t=2 时，OP=2 2=4，PC=43=1，此时 PQ 经过点 B， 所以，分三种情况讨论： 0t1 时，S= （2t）=t2， 1t1.5 时，S= （2t） （t）2=2t1
38、； 1.5t2 时，S= （2+3） 1 1（2t3）2=2（t2）2+ ； 所以，S 与 t 的关系式为 S= 【点评】 ： 本题是二次函数综合题型， 主要利用了待定系数法求二次函数解析式， 等腰直 角三角形的性质， 二次函数图象上点的坐标特征， 三角形的面积， 难点在于 （4） 随着运动时间的变化， 根据重叠部分的形状的不同分情况讨论， 作出图形更形 象直观 24 / 49 二、双动点问题二、双动点问题 【题 1】 （2014 年山东烟台第 25 题）在正方形 ABCD 中，动点 E，F 分别从 D，C 两点 同时出发，以相同的速度在直线 DC，CB 上移动 （1）如图，当点 E 自 D
39、向 C，点 F 自 C 向 B 移动时，连接 AE 和 DF 交于点 P，请你写 出 AE 与 DF 的位置关系，并说明理由； （2）如图，当 E，F 分别移动到边 DC，CB 的延长线上时，连接 AE 和 DF， （1）中的结 论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明） （3）如图，当 E，F 分别在边 CD，BC 的延长线上移动时，连接 AE，DF， （1）中的结 论还成立吗？请说明理由； （4）如图，当 E，F 分别在边 DC，CB 上移动时，连接 AE 和 DF 交于点 P，由于点 E， F 的移动，使得点 P 也随之运动，请你画出点 P 运动路径的草图若 AD=2，试求出线
40、段 CP 的最小值 【分析】 ： （1）AE=DF，AEDF先证得ADEDCF由全等三角形的性质得 AE=DF， DAE=CDF，再由等角的余角相等可得 AEDF； （2）是四边形 ABCD 是正方形，所以 AD=DC，ADE=DCF=90 ，DE=CF，所以 ADEDCF，于是 AE=DF，DAE=CDF，因为CDF+ADF=90 ，DAE+ ADF=90 ，所以 AEDF； （3）成立由（1）同理可证 AE=DF，DAE=CDF，延长 FD 交 AE 于点 G，再由等角 的余角相等可得 AEDF； （4）由于点 P 在运动中保持APD=90 ，所以点 P 的路径是一段以 AD 为直径的弧，
41、设 AD 的中点为 O，连接 OC 交弧于点 P，此时 CP 的长度最小，再由勾股定理可得 OC 的长，再求 CP 即可 【解答】解： （1）AE=DF，AEDF理由：四边形 ABCD 是正方形， AD=DC，ADC=C=90 DE=CF，ADEDCF 25 / 49 AE=DF，DAE=CDF，由于CDF+ADF=90 ， DAE+ADF=90 AEDF； （2）是； （3）成立 理由：由（1）同理可证 AE=DF，DAE=CDF 延长 FD 交 AE 于点 G， 则CDF+ADG=90 ， ADG+DAE=90 AEDF； （4）如图： 由于点 P 在运动中保持APD=90 ， 点 P 的
42、路径是一段以 AD 为直径的弧， 设 AD 的中点为 O，连接 OC 交弧于点 P，此时 CP 的长度最小， 在 RtODC 中，OC=， CP=OCOP= 【点评】 ： 本题主要考查了四边形的综合知识综合性较强，特别是第（4）题要认真分 析 【题 2】 （2014温州第 24 题）如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为（ 3，0） ， （0，6） 动点 P 从点 O 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位的速度运动，同时动点 C 从 B 出发，沿射线 BO 方向以每秒 2 个单位的速度运动，以 CP，CO 为邻边构造PCOD， 在线段 OP 延长线上取点 E，使 PE=AO，设
43、点 P 运动的时间为 t 秒 （1）当点 C 运动到线段 OB 的中点时，求 t 的值及点 E 的坐标 （2）当点 C 在线段 OB 上时，求证：四边形 ADEC 为平行四边形 （3）在线段 PE 上取点 F，使 PF=1，过点 F 作 MNPE，截取 FM=2，FN=1，且点 M，N 分别在一，四象限，在运动过程中PCOD 的面积为 S 当点 M，N 中有一点落在四边形 ADEC 的边上时，求出所有满足条件的 t 的值； 若点 M，N 中恰好只有一个点落在四边形 ADEC 的内部（不包括边界）时，直接写出 S 的取值范围 26 / 49 【考点】 ： 四边形综合题 【分析】 ： （1）由 C
44、 是 OB 的中点求出时间，再求出点 E 的坐标， （2）连接 CD 交 OP 于点 G，由PCOD 的对角线相等，求四边形 ADEC 是平 行四边形 （3） 当点 C 在 BO 上时， 第一种情况， 当点 M 在 CE 边上时， 由EMFECO 求解，第二种情况，当点 N 在 DE 边上时，由EFNEPD 求解， 当点 C 在 BO 的延长线上时，第一种情况，当点 M 在 DE 边上时，由 EMFEDP 求解，第二种情况，当点 N 在 CE 边上时，由EFNEOC 求解， 当 1t 时和当 t5 时，分别求出 S 的取值范围， 【解答】 ： 解： （1）OB=6，C 是 OB 的中点， BC
45、= OB=3， 2t=3 即 t= ， OE= +3= ，E（ ，0） （2）如图，连接 CD 交 OP 于点 G， 在PCOD 中，CG=DG，OG=PG， AO=PO， AG=EG， 27 / 49 四边形 ADEC 是平行四边形 （3）（）当点 C 在 BO 上时， 第一种情况：如图，当点 M 在 CE 边上时， MFOC，来源:163文库 EMFECO， =，即=， t=1， 第二种情况：当点 N 在 DE 边 NFPD， EFNEPD， = ， t= ， （）当点 C 在 BO 的延长线上时， 第一种情况：当点 M 在 DE 边上时， 28 / 49 MFPD， EMFEDP， = 即 = ， t= ， 第二种情况：当点 N 在 CE 边上时， NFOC， EFNEOC， =即 =， t=5 S 或S20 当 1t 时， S=t（62t）=2（t ）2+ ， t= 在 1t 范围内， S ， 当 t5 时，S=t（2t6）=2（t ）2 ， 29 / 49 S20 【点评】 ： 本题主要是考查了四边形的综合题，解题
