1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 5 3 等比数列及其前 n 项和 知识梳理 1等比数列的有关概念 (1)等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于 同一常数 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比 ，公比通常用字母 q(q0) 表示数学语言表达式： anan 1 q(n2) ， q 为常数， q0. (2)等比中项 如果 a， G， b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项即： G 是 a 与 b 的等比中项?a， G， b 成等比数列 ?G2 ab. 2等比数列的通项公式及前 n 项和公式 (1)若等比数列 an的首项为
2、a1，公比是 q，则其通项公式为 an a1qn 1；可推广为 anamqn m. (2)等比数列的前 n 项和公式：当 q 1 时， Sn na1；当 q1 时， Sn a1?1 qn?1 q a1 anq1 q . 3等比数列的相关性质 设数列 an是等比数列， Sn是其前 n 项和 (1)若 m n p q，则 aman apaq，其中 m， n， p， q N*. 特别地，若 2s p r，则 apar a2s，其中 p， s， r N*. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ak， ak m， ak 2m， ? 仍是等比数列，公比为 qm(k， m N*) (3)若数列
3、an， bn是两个项数相同的等比数列，则数列 ban， pan qbn和 ? ?panqbn(其中 b， p， q 是非零常数 )也是等比数列 (4)Sm n Sn qnSm Sm qmSn. (5)当 q 1 或 q 1 且 k 为奇数时， Sk， S2k Sk， S3k S2k， ? 是等比数列，公比为qk.当 q 1 且 k 为偶 数时， Sk， S2k Sk， S3k S2k， ? 不是等比数列 (6)若 a1 a2? an Tn，则 Tn， T2nTn， T3nT2n， ? 成等比数列 =【 ;精品教育资源文库 】 = (7)若数列 an的项数为 2n，则 S偶S奇 q；若项数为 2
4、n 1，则 S奇 a1S偶 q. 诊断自测 1概念思辨 (1)如果 an为等比数列， bn a2n 1 a2n，则数列 bn也是等比数列 ( ) (2)如果数列 an为等比数列，则数列 ln an是等差数列 ( ) (3)在等比数列 an中，如果 m n 2k(m， n， k N*)，那么 am an a2k.( ) (4)数列 an的通项公式是 an an，则其前 n 项和为 Sn a?1 an?1 a .( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(必修 A5P53T1)若等比数列 an满足 a1 a3 20， a2 a4 40，则公比 q ( ) A 1 B 2 C
5、2 D 4 答案 B 解析 由题意，得? a1 a1q2 20，a1q a1q3 40， 解得 ? a1 4，q 2. 故选 B. (2)(必修 A5P56例 1)设 an是公比为正数的等比数列，若 a1 1， a5 16，则数列 an的前 7 项和为 _ 答案 127 解析 a5 a1q4得 q 2， 所以 S7 1 271 2 127. 3小题热身 (1)(2018 华师一附中联考 )在等比数列 an中， a2a3a4 8， a7 8，则 a1 ( ) A 1 B 1 C 2 D 2 答案 A 解析 因为数列 an是等比数列，所以 a2a3a4 a33 8，所以 a3 2，所以 a7 a3
6、q4 2q4 8，所以 q2 2， a1 a3q2 1.故选 A. (2)(2018 安徽芜湖联考 )在等比数列 an中， a3 7，前 3 项之和 S3 21，则公比 q 的值为 ( ) A 1 B 12 C 1 或 12 D 1 或 12 答案 C 解析 根据已知条件得? a1q2 7， a1 a1q a1q2 21， 得1 q q2q2 3.整理得 2q2 q=【 ;精品教育资源文库 】 = 1 0，解得 q 1 或 q 12.故选 C. 题型 1 等比数列基本量的运算 典例 1 (2017 广东惠州第二次调研 )已知 an为等比数列， a4 a7 2， a5a6 8，则 a1 a10
7、( ) A 7 B 5 C 5 D 7 方程组法 答案 D 解析 由 a5a6 a4a7，得 a4a7 8，解? a4 a7 2，a4a7 8 得 a4 4， a7 2 或 a4 2， a7 4， q3 12或 q3 2. 当 q3 12时， a1 a10 a4q3 a4q6 4 12 4 ? ? 12 2 7； 当 q3 2 时， a1 a10 a4q3 a4q6 2 2 ( 2)( 2)2 7.故选 D. 典例 2 (2017 金凤区四模 )设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S5 10， S10 50，则 S20等于 ( ) A 90 B 250 C 210 D 850 方程思想
8、即 “ 知三求二 ” 答案 D 解析 由题意数列的公比 q1 ，设首项为 a1，则 S5 10， S10 50， a1?1 q5?1 q 10，a1?1 q10?1 q 50， 两式相除可得 1 q5 5， q5 4， =【 ;精品教育资源文库 】 = a11 q 103 ， S20 a1?1 q20?1 q 103 (1 256) 850.故选 D. 方法技巧 等比数列的基本运算方法及数学思想 1等比数列的基本运算方法 (1)对于等比数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程 (组 )求出 a1， q.如果再给出第三个条件就可以完成 an， a1， q， n， Sn的 “ 知三求二 ” 问题
9、 (2)对称设元法：一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为 ? ， xq， x， xq， ? ；连续偶数个项成等比数列，可设为 ? ， xq3， xq， xq， xq3， ?( 注意：此时公比 q20，并不适合所有情况 )这样即可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便 2基本量计算过程中涉及的数学思想方法 (1)方程思想，即 “ 知三求二 ” (2)分类讨论思想，即分 q 1 和 q1 两种情况，此处是常考易错点，一定要引起重视 (3)整体思想应用等比数列前 n 项和 时，常把 qn， a11 q当成整体求解见典例 2. 冲关针对训练 (2017 江苏高考 )等比数列 an的各项均为实数，其前
10、 n 项和为 Sn.已知 S3 74， S6 634 ，则 a8 _. 答案 32 解析 设 an的首项为 a1，公比为 q， 当 q 1 时，显然不符合题意，舍去；当 q1 时，由等比数列前 n 项和公式可得 ? a1?1 q3?1 q 74，a1?1 q6?1 q 634 ，解得? a114，q 2，所以 a8 142 7 25 32. 题型 2 等比数列的判断与证明 典例 已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且对任意的 n N*有 an Sn n. (1)设 bn an 1，求证：数列 bn是等比数列； (2)设 c1 a1且 cn an an 1(n2) ，求 cn的通项公式 =【
11、;精品教育资源文库 】 = 本题用定 义法 解 (1)证明：由 a1 S1 1 及 a1 S1，得 a1 12. 又由 an Sn n 及 an 1 Sn 1 n 1，得 an 1 an an 1 1， 2an 1 an 1. 2(an 1 1) an 1，即 2bn 1 bn. 数列 bn是以 b1 a1 1 12为首项， 12为公比的等比数列 (2)由 (1)知 2an 1 an 1. 2an an 1 1(n2) 2an 1 2an an an 1. 2cn 1 cn(n2) 又 c1 a1 12， a2 a1 a2 2， a2 34. c2 34 12 14， c2 12c1. 数列
12、cn是首项为 12，公比为 12的等比数列 cn 12 ? ?12 n 1 ? ?12 n. 条件探究 将典例条件 “ an Sn n” 变为 “ a1 1， Sn 1 4an 2，若 bn an 1 2an” ， (1)求证 bn是等比数列，并求 an的通项公式； (2)若 cn an3n 1，证明 cn为等比数列 解 (1)an 2 Sn 2 Sn 1 4an 1 2 4an 2 4an 1 4an. bn 1bn an 2 2an 1an 1 2an ?4an 1 4an? 2an 1an 1 2an 2an 1 4anan 1 2an 2， 数列 bn是公比为 2 的等比数列，首项为
13、a2 2a1. S2 a1 a2 4a1 2， a2 5， b1 a2 2a1 3. bn 32 n 1 an 1 2an， an 12n 1 an2n 2 3. 数列 ? ?an2n 2 是等差数列，公差为 3，首项为 2. an2n 2 2 (n 1)3 3n 1. an (3n 1)2 n 2. (2)证明：由 (1)知 an (3n 1)2 n 2，所以 cn 2n 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 cn 1cn 2n 12n 2 2.又 c1a131 112， 所以数列 cn是首项为 12，公比为 2 的等比数列 方法技巧 等比数列的判定方法 1定义法：若 an 1an
14、q(q 为非零常数， n N*)或 anan 1 q(q 为非零常数且 n2 ， n N*)，则 an是等比数列见典例 2等比中项公式法：若数列 an中， an0 且 a2n 1 an an 2(n N*)，则数列 an是等比数列 3通项公式法：若数列通项公式可写成 an c qn(c， q 均是不为 0 的常数， n N*)，则 an是等比数列 4前 n 项和公式法：若数列 an的前 n 项和 Sn k qn k(k 为常数且 k0 ， q0,1) ，则 an是等比数列 提醒： (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定 (2)若 要判定一个
15、数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可 冲关针对训练 (2016 全国卷 )已知数列 an的前 n 项和 Sn 1 a n，其中 0. (1)证明 an是等比数列，并求其通项公式； (2)若 S5 3132，求 . 解 (1)由题意得 a1 S1 1 a 1， 故 1 ， a1 11 ， a10. 由 Sn 1 a n， Sn 1 1 a n 1得 an 1 a n 1 a n，即 an 1( 1) a n.由 a10 ， 0 得 an0 ，所以 an 1an 1. 因此 an是首项为 11 ，公比为 1的等比数列，于是 an 11 ? ? 1 n 1. (2)由 (1)得 Sn 1 ? ? 1 n. 由 S5 3132得 1 ? ? 1 5 3132， 即 ? ? 1 5 132. 解得
