1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 5.4 数列求和 知识梳理 1基本数列求和公式法 (1)等差数列求和公式： Sn n?a1 an?2 na1 n?n 1?2 d. (2)等比数列求和公式： Sn? na1， q 1，a1 anq1 q a1?1 qn?1 q ， q1.2非基本数列求和常用方法 (1)倒序相加法； (2)分组求和法； (3)并项求和法； (4)错位相减法； (5)裂项相消法 常见的裂项公式 ： 1n?n k? 1k? ?1n 1n k ； 1?2n 1?2n 1? 12? ?12n 1 12n 1 ； 1n?n 1?n 2? 12? ?1n?n 1? 1?n 1?n 2? ；
2、 1n n k 1k( n k n) 3常用求和公式 (1)1 2 3 4 n n?n 1?2 ； (2)1 3 5 7 (2n 1) n2； (3)12 22 32 n2 n?n 1?2n 1?6 ； (4)13 23 33 n3 ? ?n?n 1?2 2. 诊断自测 1概念辨析 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)已知等差数列 an的公差为 d，则有 1anan 1 1d? ?1an 1an 1.( ) (2)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得 sin21 sin22 sin23 sin288 sin289 44.5.( ) (3)求 Sn a 2a2 3a3 n
3、an时只要把上式等号两边同时乘以 a即可根据错位 相减法求得 ( ) (4)若数列 a1， a2 a1， ， an an 1是 (n1， n N*)首项为 1，公比为 3 的等比数列，则数列 an的通项公式是 an 3n 12 .( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(必修 A5 P47T4)数列 an中， an 1n?n 1?，若 an的前 n项和为 20172018，则项数 n为 ( ) A 2014 B 2015 C 2016 D 2017 答案 D 解析 an 1n 1n 1， Sn 1 1n 1 nn 1，又前 n 项和为 20172018，所以 n 201
4、7.故选 D. (2)(必修 A5 P61T4)已知数列： 112， 214， 318， ， ? ?n 12n ， ，则其前 n 项和关于 n 的表达式为 _ 答案 n?n 1?2 1 12n 解析 将通项式分组转化为等差与等比两数列分别求和，即 Sn (1 2 3 n)?12122 12n n?n 1?2 112n. 3小题热身 (1)数列 an的通项公式为 an ncosn2 ，其前 n 项和为 Sn，则 S2018等于 ( ) A 1010 B 2018 C 505 D 1010 答案 A 解析 易知 a1 cos 2 0， a2 2cos 2， a3 0， a4 4， . 所以数列 a
5、n的所有奇数项为 0，前 2016 项中所有偶数项 (共 1008 项 )依次为 2,4，6,8， ， 2014,2016.故 S2016 0 ( 2 4) ( 6 8) ( 2014 2016) 1008.a2017 0， a2018 2018cos 20182 2018， S2018 S2016 a2018 1008 2018 1010.故选 A. (2)设 Sn是数列 an的前 n 项和，且 a1 1， an 1 SnSn 1，则 Sn _. 答案 1n =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 an 1 Sn 1 Sn， Sn 1 Sn Sn 1Sn，又由 a1 1，知 Sn0 ， 1S
6、n 1Sn 1 1， ? ?1Sn是等差数列，且公差为 1，而 1S1 1a1 1， 1Sn 1 (n 1)( 1) n， Sn 1n. 题型 1 错位相减法求和 典例 已知数列 an的前 n 项和 Sn 3n2 8n， bn是等差数列，且 an bn bn 1. (1)求数列 bn的通项公式； (2)令 cn ?an 1?n 1?bn 2?n ，求数列 cn的前 n 项和 Tn. 利用 an Sn Sn 1(n2) 、方程思想、错位相减法 解 (1)由题意知，当 n2 时， an Sn Sn 1 6n 5. 当 n 1 时， a1 S1 11，所以 an 6n 5. 设数列 bn的公差为 d
7、. 由? a1 b1 b2，a2 b2 b3， 即 ? 11 2b1 d，17 2b1 3d， 可解得 b1 4， d 3，所以 bn 3n 1. (2)由 (1)知 cn ?6n 6?n 1?3n 3?n 3(n 1)2n 1. 又 Tn c1 c2 cn， 得 Tn 322 2 32 3 (n 1)2 n 1， 2Tn 322 3 32 4 (n 1)2 n 2， 两式作差，得 Tn 322 2 23 24 2n 1 (n 1)2 n 2 3 ? ?4 4?1 2n?1 2 ?n 1?2n 2 3n2 n 2，所以 Tn 3n2n 2. 方法技巧 利用错位相减法的一般类型及思路 1适用的数
8、列类型： anbn，其中数列 an是公差为 d 的等差数列， bn是公比为 q1的等比数 列 2思路：设 Sn a1b1 a2b2 anbn， (*) 则 qSn a1b2 a2b3 an 1bn anbn 1， (*) (*) (*)得： (1 q)Sn a1b1 d(b2 b3 bn) anbn 1，就转化为根据公式可求的和 提醒：用错位相减法求和时容易出现以下两点错误： =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号 (2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的 n 1 项和当作 n 项和 冲关针对训练 已知首项都是 1 的两个数列 an， bn(b
9、n0 ， n N*)满足 anbn 1 an 1bn 2bn 1bn 0. (1)令 cn anbn，求数列 cn的通项公式； (2)若 bn 3n 1，求数列 an的前 n 项和 Sn. 解 (1)因为 anbn 1 an 1bn 2bn 1bn 0(bn0 ， n N*)， 所以 an 1bn 1 anbn 2，即 cn 1 cn 2. 所以数列 cn是以 1 为首项， 2 为公差的等差数列， 故 cn 2n 1. (2)由 bn 3n 1知 an cnbn (2n 1)3n 1， 于是数列 an的 前 n 项和 Sn 13 0 33 1 53 2 (2n 1)3 n 1， 3Sn 13
10、1 33 2 (2n 3)3 n 1 (2n 1)3 n， 相减得 2Sn 1 2(3 1 32 3n 1) (2n 1)3 n 2 (2n 2)3n， 所以 Sn (n 1)3n 1. 题型 2 裂项相消法求和 典例 Sn为数列 an的前 n 项和，已知 an0， a2n 2an 4Sn 3. (1)求 an的通项公式； (2)设 bn 1anan 1，求数列 bn的前 n 项和 利用递推公式， an Sn Sn 1(n2) 求通项，裂项相消求和 解 (1)由 a2n 2an 4Sn 3，可知 a2n 1 2an 1 4Sn 1 3. 可得 a2n 1 a2n 2(an 1 an) 4an
11、1， 即 2(an 1 an) a2n 1 a2n (an 1 an)(an 1 an) 由于 an0，所以 an 1 an 2. 又由 a21 2a1 4a1 3，解得 a1 1(舍去 )或 a1 3. 所以 an是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an 2n 1. (2)由 an 2n 1 可知 bn 1anan 1 1?2n 1?2n 3? 12? ?12n 1 12n 3 . 设数列 bn的前 n 项和为 Tn，则 =【 ;精品教育资源文库 】 = Tn b1 b2 bn 12? ? ?13 15 ? ?15 17 ? ? ?12n 1 12n 3 n3?2n 3?. 条
12、件探究 将典例中的条件变为：已知等差数列 an的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且S1， S2， S4成等比数列 求解仍为 (1)求 an的通项公式； (2)设 bn 1anan 1，求数列 bn的前 n 项和 解 (1)因为 S1 a1， S2 2a1 212 2 2a1 2， S4 4a1 432 2 4a1 12， 由题意得 (2a1 2)2 a1(4a1 12)， 解得 a1 1，所以 an 2n 1. (2)由 an 2n 1 可知 bn 1anan 1 1?2n 1?2n 1? 12? ?12n 1 12n 1 . 设数列 bn的前 n 项和为 Tn，则 Tn b1 b2 bn
13、12? ? ?1 13 ? ?13 15 ? ?15 17 ? ?12n 1 12n 1 n2n 1. 结论探究 条件探究中的条件不变，求解 (2)变为：令 bn ( 1)n 1 4nanan 1，求数列 bn的前 n 项和 Tn. 解 bn ( 1)n 1 4nanan 1 ( 1)n 1 4n?2n 1?2n 1? ( 1)n 1? ?12n 1 12n 1 . 当 n 为偶数时， Tn ? ?1 13 ? ?13 15 ? ?12n 3 12n 1 ? ?12n 1 12n 1 1 12n 1 2n2n 1. 当 n为奇数时， Tn ? ?1 13 ? ?13 15 ? ?12n 3 1
14、2n 1 ? ?12n 1 12n 1 1 12n 1 2n 22n 1. 所以 Tn? 2n 22n 1， n为奇数，2n2n 1， n为偶数?或 Tn2n 1 ? 1?n 12n 1 . 方法探究 几种常见的裂项相消及解题策略 (1)常见的裂项方法 (其中 n 为正整数 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)利用裂项 相消法求和时，应注意抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使前后相等 冲关针对训练 已知数列 an的前 n 项和为 Sn， a1 2，且满足 Sn 12an 1 n 1(n N*) (1)
15、求数列 an的通项公式； (2)若 bn log3( an 1)，设数列 ? ?1bnbn 2的前 n 项和为 Tn，求证： Tn0(n N*)， a1a3 4，且 a3 1 是 a2和 a4的等差中项，若 bn log2an 1. (1)求数列 bn的通项公式； (2)若数列 cn满足 cn an 1 1b2n 1 b2n 1，求数列 cn的前 n 项和 分组求和，裂项相消法 解 (1)设等比数列 an的公比为 q，且 q0， 在等比数列 an中，由 an0， a1a3 4 得， a2 2， 又 a3 1 是 a2和 a4的等差中项， 所以 2(a3 1) a2 a4， 把 代入 得， 2(2q 1) 2 2q2，解得 q 2 或 q 0(舍去 )，所以 an a2qn 2
