1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 2 9 函数模型及其应用 知识梳理 1七类常见函数模型 2指数、对数、幂函数模型的性质 =【 ;精品教育资源文库 】 = 3解函数应用问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型 (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型 (3)解模：求解数学模型，得出数学结论 (4)还原：将数学问题还原为实际问题 以上过程用框图表示如下： 特别提醒： (1)“ 直线上升 ” 是匀速增长，其增长量固定不变； “ 指数增长 ” 先慢后快 ，其增长量成倍增加，常用 “ 指数爆炸 ” 来形容；
2、 “ 对数增长 ” 先快后慢，其增长速度缓慢 (2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键 (3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性 诊断自测 1概念思辨 (1)在 (0， ) 上，随着 x 的增大， y ax(a1)的增长速度会超过并远远大于 y x ( 0)=【 ;精品教育资源文库 】 = 的增长速度 ( ) (2)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题 ( ) (3)当 a1 时，不存在 实数 x0，使 .( ) (4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律 ( ) 答
3、案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(必修 A1P59T6)如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比 1995 年翻两番的年份大约是 (lg 2 0.3010， lg 3 0.4771， lg 109 2.0374， lg 0.09 2.9543)( ) A 2015 年 B 2011 年 C 2010 年 D 2008 年 答案 B 解析 设 1995 年总值为 a，经过 x 年翻两番，则 a(1 9%)x 4a. x 2lg 2lg 1.0916.故选 B. (2)(必修 A1P107T1)在某种新型材料的研制中
4、，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是 ( ) x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.0418 7.5 12 18.01 A y 2x 2 B y 12(x2 1) C y log2x D y log12x 答案 B 解析 由题意得，表中数据 y 随 x 的变化趋势，函数在 (0， ) 上是增函数，且 y 的变化随 x 的增大越来越快 A 中函数是线性增加的函数， C 中函数是比线性增加还缓慢的函数， D 中函数是减函数， 排除 A， C， D， B 中函数 y 12(x2 1)符合题意故选 B.
5、3小题热身 (1) (2018 湖北八校联考 )某人根据经验绘制了 2018 年春节前后，从 1 月 25 日至 2月 11 日自己种植的西红 柿的销售量 y(千克 )随时间 x(天 )变化的函数图象，如图所示，则此人在 1 月 30 日大约卖出了西红柿 _千克 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 1909 解析 前 10 天满足一次函数关系，设为 y kx b，将点 (1， 10)和点 (10,30)代入函数解析式，得? 10 k b，30 10k b， 解得 k 209 ， b 709 ，所以 y 209x 709 ，则当 x 6 时 ， y 1909 . (2)(2017 朝阳区模拟
6、 )某商场 2017 年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型： f(x) p qx(q0， q1) ； f(x) logpx q(p0， p1) ； f(x) x2 px q. 能较准确反映商场月销售额 f(x)与月份 x关系的函数模型为 _(填写相应函数的序号 )，若所选函数满足 f(1) 10， f(3) 2，则 f(x) _. 答案 x2 8x 17 解析 ( )因为 f(x) p qx， f(x) logqx q 是单调函数， f(x) x2 px q 中， f( x) 2x p，令 f( x) 0，得 x p2， f(x)出现一个递增区间和一个递减区间，所
7、以模拟函数应选 f(x) x2 px q. ( ) f(1) 10， f(3) 2， ? 1 p q 10，9 3p q 2， 解得 p 8， q 17， f(x) x2 8x 17，故答案为 ； x2 8x 17. 题型 1 二次函数及分段函数模型 典例为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本 y( 元 ) 与月处理量 x( 吨 ) 之间的函数关系可近似地表示为 y =【 ;精品教育资源文库 】 = ? 13x3 80x2 5040x， x 120， 144?，12x2 200x 8
8、0000， x 144， 500，且每处理一吨二氧化 碳得到可利用的化工产品价值为 200 元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿 (1)当 x 200,300时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？ (2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 本题用函数法，再由均值定理解之 解 (1)当 x 200,300时，设该项目获利为 S， 则 S 200x ? ?12x2 200x 80000 12x2 400x 80000 12(x 400)2， 所以当 x 200,300时， S0，因此该单位不会获利 当 x 300 时
9、， S 取得最大值 5000， 当 x 200 时， S 取最小值 20000，所以国家每月补偿数额的范围是 5000,20000 (2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为 yx ? 13x2 80x 5040， x 120， 144?，12x80000x 200， x 144， 500. 当 x 120,144)时， yx13x2 80x 5040 13(x 120)2 240， 所以当 x 120 时， yx取得最小值 240. 当 x 144,500时， yx12x80000x 2002 12x80000x 200 200， 当且仅当 12x 80000x ，即 x 400 时， yx
10、取得最小值 200. 因为 200240，所以当每月的处理量为 400 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 方法技巧 一次函数、二次函数及分段函数模型的选取与应用策略 1在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线 (或其一部分 )，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解 2实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线 (或抛物线的一部分 )等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式 结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决见典例 =【 ;精品教育资源文库 】 = 3实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给
11、出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解，但应关注以下两点： (1)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏； (2)分段函数的最值是各段的最大 (或最小 )值中的最大 (或最小 )值 提醒： (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域 (2)对构建的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解 冲关针对训 练 (2017 广州模拟 )某企业生产 A， B 两种产品，根据市场调查与预测， A 产品的利润与投资成正比，其关系如图 1； B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图 2(注：利润和投资单位：万元 )
12、(1)分别将 A， B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到 18 万元资金，并将全部投入 A， B 两种产品的生产 若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ 如果你是厂长，怎样分配这 18 万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ 解 (1)设 A， B 两种产品分别投资 x 万元 (x 0)，所得利润分别为 f(x)， g(x)万元 由题意可设 f(x) k1x， g(x) k2 x(x0) ，所以根据图象可解得 f(x) 0.25x(x0) ，g(x) 2 x(x0) (2) 由 (1)得 f(9) 2.25， g(9) 2 9 6，所以总
13、利润 y 8.25 万元 设 B 产品投入 x 万元， A 产品投入 (18 x)万元，该企业可获总利润为 y 万元 则 y 14(18 x) 2 x， 0 x18. 令 x t， t 0,3 2 ， 则 y 14( t2 8t 18) 14(t 4)2 172. 所以当 t 4 时， ymax 172 8.5， 此时 x 16,18 x 2，所以当 A， B 两种产品分别投入 2 万元、 16 万元时，可使该企业获得最大利润，约为 8.5 万元 =【 ;精品教育资源文库 】 = 题型 2 指数函数模型 典例(2017 西安模拟 )我国加入 WTO 后，根据达成的协议，若干年内某产品的关税与
14、市场供应量 P 的关系近似满足： y P(x) 2(1 kt)(x b)2(其中 t 为关税的税率，且 t ? ?0， 12 ， x 为市场价格， b， k 为正常数 )，当 t 18时的市场供应量曲线如图： (1)根据图象求 b， k 的值； (2)若市场需求量为 Q，它近似满足 Q(x) 211 x2.当 P Q 时的市场价格称为市场平衡价格为使市场平衡价格控制在不低于 9 元的范围内，求税率 t 的最小 值 本题用函数思想，采用换元法 解 =【 ;精品教育资源文库 】 = 方法技巧 构建指数函数模型的关注点 1指数函数模型常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决 2应用指数函数模型时关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型 3 y a(1 x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解 冲关针对训练 某城市现有人口总数为 100 万人，如果年自然增长率为 1.2%，试解答以下问题： =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)写出该城市人口总数 y(单 位：万人 )与年份 x(单位：年 )的函数关系式； (2)计算 10 年以后该城市人口总数 (精确到 0.1 万人 )； (3)计算大约多
