1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 4 1 平面向量的概念及线性运算 知识梳理 1向量的有关概念 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2向量的线性运算 =【 ;精品教育资源文库 】 = 3共线向量定理 向量 a(a0) 与 b 共线，当且仅当有唯一的一个实数 ，使得 b a. 特别提醒： (1)限定 a0 的目的是保证实数 的存在性和唯一性 (2)零向量与任何向量共线 (3)平行向量与起点无关 (4)若存在非零实数 ，使得 AB AC或 AB BC或 AC BC，则 A， B， C 三点共线 诊断自测 1概念思辨 (1) ABC 中， D 是 BC 中点， E 是 AD 的中点，则 AE 14(A
2、C AB) ( ) (2)若 a b， b c，则 a c.( ) (3)向量 AB与 向量 CD是共线向量，则 A， B， C， D 四点在一条直线上 ( ) (4)当两个非零向量 a， b 共线时，一定有 b a，反之成立 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(必修 A4P78A 组 T5)设 D 为 ABC 所在平面内一点， BC 3CD，则 ( ) A.AD 13AB 43ACB.AD 13AB 43ACC.AD 43AB 13ACD.AD 43AB 13AC答案 A 解析 AD AB BD AB 43BC AB 43(AC AB) 13AB 43AC.故选
3、 A. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)(必修 A4P92A 组 T12)已知 ?ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O，且 OA a， OB b，则 DC_， BC _(用 a， b 表示 ) 答案 b a a b 解析 如图， DC AB OB OA b a， BC OC OB OA OB a b. 3小题热身 (1)(2017 周口模拟 )设 a0为单位向量， 若 a 为平面内的某个向量，则 a |a|a0； 若 a 与 a0平行，则 a |a|a0； 若 a 与 a0平行且 |a| 1，则 a a0.上述命题中，假命题的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 答
4、案 D 解析 向量是既有大小又有方向的量， a 与 |a|a0 的模相等，但方向不一定相同，故 是假命题；若 a 与 a0平行，则 a 与 a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a |a|a0，故 也是假命题综上所 述，假命题的个数是 3.故选 D. (2)设 e1， e2是两个不共线的向量，且 a e1 e2与 b 13e2 e1共线，则实数 _. 答案 13 解析 a e1 e2与 b 13e2 e1共线， 存在实数 t，使得 b ta，即 13e2 e1t(e1 e2)， 13e2 e1 te1 t e2， t 1， t 13， 即 13. 题型 1 平面 向量的基本概念 典
5、例 判断下列各命题是否正确： (1)单位向量都相等； (2)|a|与 |b|是否相等，与 a， b 的方向无关； (3)若 A， B， C， D 是不共线的四点，则 AB DC是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件； (4)若 a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线； =【 ;精品教育资源文库 】 = (5)两向量 a， b 相等的充要条件是 |a| |b|且 a b. 根据向量的 相关概念判定 解 (1)不正确 (2)正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同 (3)正确， AB DC， |AB| |DC|且 AB DC. 又 A， B， C， D 是不共线的
6、四点， 四边形 ABCD 是平行四边形反之，若四边形 ABCD 是平行四边形，则 AB 綊 DC，且 AB与 DC方向相同因此 AB DC. (4)不正确，当 b 0 时， a 与 c 可以不共线 (5)不正确，当 a b，但方向相反时，即使 |a| |b|，也不能得到 a b. 方法技巧 解决向量的概念问题应关注五点 1相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性 2共线向量即平行向量，它们均与起点无关 相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量 3向量可以平移，平移后的向量与原向 量是相等向量解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈 4非零向
7、量 a 与 a|a|的关系： a|a|是 a 方向上的单位向量 5向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小 冲关针对训练 下列 4 个命题： (1)若向量 a 与 b 同向，且 |a|b|，则 ab； (2)由于零向量方向不确定，故零向量不能与任意向量平行； (3) ， 为实数，若 a b，则 a 与 b 共线； (4)两向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 其中错误命题的序 号为 _ 答案 (1)(2)(3) 解析 (1)不正确因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小 (2)不正确由零向量方向性质可
8、得 0 与任一向量平行 (3)不正确当 0 时， a 与 b 可能不共线 =【 ;精品教育资源文库 】 = (4)正确 题型 2 平面向量的线性运算 典例 1 (2017 长沙模拟 )若 O， E， F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF OF OEB.EF OF OEC.EF OF OED.EF OF OE向量加、减法定义 答案 B 解析 利用向量加、减法的运算性质易知，选 B. 典例 2 如图所示，在正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC 的一个三等分点，那么 EF等于 ( ) A.12AB 13ADB.14AB 12ADC.12AB 12D
9、AD.12AB 23AD综合利用向量的加法、减法和数乘运算 答案 D =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 在 CEF 中，有 EF EC CF. 因为点 E 是 DC 的中点，所以 EC 12DC. 因为点 F 为 BC 的一个三等分点，所以 CF 23CB. 所以 EF 12DC 23CB 12AB 23DA 12AB 23AD.故选 D. 条件探究 若典例 1 中加入 EA AF，则如何用 OE， OF表示 OA. 解 如图， OA OE EA OE 12EF OE 12? ?OF OE 12(OE OF) 方法技巧 平面向量线性运算问题的求解策略 1进行向量运算时，要尽可能地将它们转
10、化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来 2向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用 3用几 个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： 观察各向量的位置； 寻找相应的三角形或多边形； 运用法则找关系； 化简结果 冲关针对训练 1 (2017 潍坊模拟 )在 ABC 中， P， Q 分别是 AB， BC 的三等分点，且 AP 13AB， BQ13BC.若 AB a， AC b，则 PQ ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.13
11、a 13b B 13a 13b C.13a 13b D 13a 13b 答案 A 解析 PQ PB BQ 23AB 13BC 23AB 13(AC AB) 13AB 13AC 13a 13b.故选 A. 2 (2018 昆明模拟 )在 ABC 中， AB 2， BC 3， ABC 60 ， AD 为 BC 边上的高， O为 AD 的中点，若 AO AB BC，则 等于 ( ) A 1 B.12 C.13 D.23 答案 D 解析 AD AB BD AB 13BC， 2AO AB 13BC，即 AO 12AB 16BC. 故 12 16 23.故选 D. 题型 3 共线向量定理及其应用 角度 1
12、 解决三点共线问题 典例 已知 O， A， B 是不共线的三点，且 OP mOA nOB(m， n R) (1)若 m n 1，求证： A， P， B 三点共线； (2)若 A， P， B 三点共线，求证： m n 1. 本题用转化法、向量问题实数化 证明 (1)若 m n 1， 则 OP mOA (1 m)OB OB m(OA OB)， OP OB m(OA OB)， 即 BP mBA， BP与 BA共线 又 BP与 BA有公共点 B， A， P， B 三点共线 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)若 A， P， B 三点共线，存在实数 ，使 BP BA， OP OB (OA OB) 又
13、 OP mOA nOB. 故有 mOA (n 1)OB OA OB， 即 (m )OA (n 1)OB 0. O， A， B 不共线 ， OA， OB不共线， ? m 0，n 1 0， m n 1. 角度 2 利用共线求参数的取值 典例 (2018 南京模拟 )已知如图，平行四边形 ABCD 中， E， F 分别是 BC， CD 的中点，连接 AE， BF 相交于 P，连接 DP，并延长交 AB 的延长线于点 G，若 AP xAE， BP yBF， AGzAB，则 x _， y _， z _. 本题需作辅助线 答案 45 25 43 解析 如图，过 E 作 EQ 平行于 AB，交 BF 于点
14、Q，因为 E 为 BC 的中点，所以 EQ 平行于CD，且 EQ 12CF，又因为点 F 为 CD 的中点，所以 QPPB EPPA EQAB12CFAB 14， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 AP 45AE，所以 x 45. 因为点 Q 为 FB 的中点， 所以 BP 44 1 5BF 25BF， 所以 y 25.因为 DFBG FPPB 64， 所以 BG 23DF 13AB， 所以 AG 43AB，即 z 43. 所以 x 45， y 25， z 43. 角度 3 共线定理与三角形的面积 典例 (2017 沈阳一模 )在 ABC 中， O 为其内部一点，且满足 OA OC 3OB 0，则 AOB 和 AOC 的面积比是 ( ) A 3 4 B 3 2 C 1 1 D 1 3 本题采用并项法 答案 D 解析 根据题意，如图，在 ABC 中， M 为 AC 的中点， 则 OA OC 2OM
