1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 6.2 二元一次不等式 (组 )与简单的线性规划问题 知识梳理 1二元一次不等式 (组 )表示的平面区域 不等式 表示区域 Ax By C 0 直线 Ax By C 0 某一侧的所有点组成的平面区域 不包括边界直线 Ax By C 0 包括 边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的 公共部分 2线性规划相关概念 名称 意义 约束条件 由变量 x， y 组成的一次不等式 线性约束条件 由 x， y 的 一次 不等式 (或方程 )组成的不等式组 目标函数 欲求 最大值 或 最小值 的函数 线性目标函数 关于 x， y 的 一次 解析式 可行解 满足 线性约束
2、条件 的解 可行域 所有 可行解 组成的集合 最优解 使目标函数取得 最大值 或 最小值 的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的 最大值 或 最小值 问题 3重要结论 (1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线； 特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取 (0,1)或 (1,0)来验证 (2)利用 “ 同号上，异号下 ” 判断二元一次不等式表示的平面区域： 对于 Ax By C0 或 Ax By C0 时，区域为直线 Ax By C 0 的上方； 当 B(Ax By C)0 表示的平面区域一定在直线 Ax By C 0
3、的上方 ( ) (2)不等式 x2 y2 0 表示的平 面区域是一、三象限角平分线和二、四象限角平分线围成的含有 y 轴的两块区域 ( ) (3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的 ( ) (4)目标函数 z ax by(b0) 中， z 的几何意义是直线 ax by z 0 在 y 轴上的截距 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(必修 A5P86T3)不等式组? x 3y 60 ，x y 2 0 表示的平面区域是 ( ) 答案 B 解析 x 3y 60 表示直线 x 3y 6 0 及其下方部分， x y 2 0 表示直线 x y 2 0 上方部分，故不等式表示的
4、平面区域为选项 B.故选 B. (2)(必修 A5P93B 组 T1)若实数 x， y 满足? x 3y 30 ，x0 ，y0 ，=【 ;精品教育资源文库 】 = 则不等式组表示区域的面积为 _， z y 2x 1的取值范围是 _ 答案 32 ( ， 2 1， ) 解析 如右图所示，不等式组表示区域面积为 12 13 32， z y 2x 1理解为区域上的点P(x， y)与点 Q(1， 2)连线所在直线斜率的变化范围， kAQ 0 23 1 1， kOQ 2 1 2，结合图形分析知 z y 2x 1的取值范围为 ( ， 2 1， ) 3小题热身 (1)(2017 河北衡水中学五调 )若不等式组
5、? x y0 ，2x y 2 ，y0 ，x y a表 示的平面区域的形状是三角形，则 a 的取值范围是 ( ) A a 43 B 0 a1 C 1 a 43 D 0 a1 或 a 43 答案 D =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 作出不等式组 ? x y0 ，2x y2 ，y0表示的平面区域 (如图中阴影部分 )由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线 l： x y a 在 l1、 l2之间 (包含 l2，不包含 l1)或 l3上方 (包含 l3)故选 D. (2)(2017 天津高考 )设变量 x， y 满足约束条件? 2x y0 ，x 2y 20 ，x0 ，y3
6、 ，则目标函数 z x y 的最大值为 ( ) A.23 B 1 C.32 D 3 答案 D 解析 画出可行域，如图中阴影所示 又目标函数 z x y， =【 ;精品教育资源文库 】 = 结合图象易知 y x z 过 (0,3)点时 z 取得最大值， 即 zmax 0 3 3.故选 D. 题型 1 二元一次不等式 (组 )表示的 平面区域 典例 (2016 浙江高考 )在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影由区域? x 20 ，x y0 ，x 3y 40中的点在直线 x y 2 0 上的投影构成的线段记为 AB，则 |AB| ( ) A 2 2 B 4
7、 C 3 2 D 6 转化为求线段 CD 的长 答案 C 解析 由不等式组画出可行域，如图 中的阴影部分所示因为直线 x y 2 0 与直线x y 0平行，所以可行域内的点在直线 x y 2 0上的投影构成的线段的长 |AB|即为 |CD|.易得 C(2， 2)， D( 1,1)，所以 |AB| |CD| ?2 1?2 ? 2 1?2 3 2.故选 C. 结论探究 若典例条件不变，则平面区域的面积是 _ 答案 6 解析 由? x 2 0，x 3y 4 0 得其交点坐标为 (2,2)，交点到直线 x y 0 的距离为 d42，故面积为12423 2 6. 方法技巧 与平面区域有关的计算方法 1画
8、出不等式组表示的平面区域，并计算端点的坐标 2根据平面区域的形状特点，选择合适的公式计算线段的长度、图形的面积，不规则=【 ;精品教育资源文库 】 = 的图形可用分割法求其面积见典例答案解法 3注意转化思想方法的应用，如把面积最大、最小问题转化为两点间的距离、点到直线的距离等 冲关针对训练 (2015 重庆高考 )若不等式组? x y 20 ，x 2y 20 ，x y 2m0表示的平面区域为三角形，且其面积等于 43，则 m 的值为 ( ) A 3 B 1 C.43 D 3 答案 B 解析 如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则 2m 2，则 m 1， 由? x y 2 0，x y 2m
9、 0， 解得? x 1 m，y 1 m， 即 A(1 m,1 m) 由? x 2y 2 0，x y 2m 0， 解得 ? x 23 43m，y 23 23m，即 B? ?23 43m， 23 23m ，所围成的区域为 ABC，则 S ABC S ADC S BDC 12(2 2m)(1 m) 12(2 2m) 23(1 m) 13(1 m)2 43， 解得 m 3(舍去 )或 m 1.故选 B. 题型 2 线性规划中的最值问题 =【 ;精品教育资源文库 】 = 角度 1 求线性目标函数的最值 典例 (2017 全国卷 )设 x， y 满足约束条件? 2x 3y 30 ，2x 3y 30 ，y
10、30 ，则 z 2x y 的最小值是 ( ) A 15 B 9 C 1 D 9 用转化法 答案 A 解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示 将目标函数 z 2x y 化为 y 2x z，作出直线 y 2x，并平移该直线，知当直线y 2x z 经过点 A( 6， 3)时， z 有最小值，且 zmin 2( 6) 3 15.故选 A. 角度 2 由目标函数最值求参数 典例 (2013 全国卷 )已知 a 0， x， y 满足约束条件? x1 ，x y3 ，y a?x 3?.若 z 2x y 的最小值为 1，则 a ( ) A.14 B.12 C 1 D 2 将参数当成常数，根据目标函数确定最
11、小值，从而求出 a 值 答案 B =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由约束条件画出可行域 (如图所示的 ABC 及其内部 )， 由? x 1，y a?x 3? 得 A(1， 2a)， 当直线 2x y z 0 过点 A 时， z 2x y 取得最小值， 所以 1 21 2a，解得 a 12，故选 B. 角度 3 非线性目标函数的最值问题 典例 已知? x y 20 ，x y 40 ，2x y 50 ，求： (1)z x2 y2 10y 25 的最小值； (2)z 2y 1x 1 的范围 根据目标函数的几何意义进行转化 解 作出可行域，如图阴影部分所示 通过联立 方程，解得 A(1,3)，
12、 B(3,1)， C(7,9) (1)z x2 (y 5)2表示可行域内点 (x， y)到点 M(0,5)的距离的平方 =【 ;精品教育资源文库 】 = 过点 M 作 AC 的垂线，垂足为点 N，故 |MN| |0 5 2|1 ? 1?2 3 22 ， |MN|2 ? ?3 22 2 92. 故 z 的最小值为 92. (2)z 2y ? ? 12x ? 1?表示可行域内点 (x， y)与定点 Q? 1， 12 连线斜率的 2 倍 因为 kQA 74， kQB 38，所以 z 的范围是 ? ?34， 72 . 方法技巧 求线性目标函数最值问题及线性规划应用题的解题策略 1求线性目标函数的最值线
13、性目标函数的最优解一般在平面区 域的顶点或边界处取得，所以我们可以直接解出可行域的顶点，然后代入目标函数以确定目标函数的最值如角度 1 典例 2由目标函数的最值求参数的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数如角度 2 典例 3求非线性目标函数最值问题的解题策略 解决此类问题时需充分把握好目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义有： (1)对形如 z (x a)2 (y b)2型的目标函数均可化为
14、可行域内的点 (x， y)与点 (a， b)间距离的平方的最值问题如角度 3 典例 (2)对形如 z ay bcx d(ac0) 型的目标函数，可先变形为 z acy ? ? bax ? ? dc的形式，将问题化为求可行域内的点 (x， y)与点 ? ? dc， ba 连线的斜率的 ac倍的取值范围、最值等如角度 3 典例 (3)对形如 z |Ax By C|型的目标，可先变形为 z A2 B2 |Ax By C|A2 B2 的形式，将问题化为求可行域内的点 (x， y)到直线 Ax By C 0 的距离的 A2 B2倍的最值 冲关针对训练 (2017 全国卷 )若 x， y 满足约束条件? x y0 ，x y 20 ，y0 ，则 z 3x 4y 的最小值为 _ 答案 1 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 不等式组? x y0 ，x y 20 ，y0表示的可行域如图阴影部分所示 由 z 3x 4y 得 y 34x 14z. 平移
