1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 6 3 基本不等式 基础送分 提速狂刷练 一、选择题 1若 x 0，则 x 2x的最小值是 ( ) A 2 B 4 C. 2 D 2 2 答案 D 解析 由基本不等式可得 x 2x2 x 2x 2 2，当且仅当 x 2x即 x 2时取等号，故最小值是 2 2.故选 D. 2若函数 f(x) x 1x 2(x 2)在 x a 处取最小值，则 a 等于 ( ) A 1 2 B 1 3 C 3 D 4 答案 C 解析 当 x2 时， x 20， f(x) (x 2) 1x 2 22 x 1x 2 2 4，当且仅当 x 2 1x 2(x 2)，即 x 3 时取等号，即
2、当 f(x)取得最小值时，即 a 3.故选 C. 3 (2018 河南平顶山一模 )若对任意 x0， xx2 3x 1 a 恒成立，则 a 的取值范围是( ) A a 15 B a 15 C a 15 D a 15 答案 A 解析 因为对任意 x0， xx2 3x 1 a 恒成立， 所以对 x (0， ) ， a ? ?xx2 3x 1 max， 而对 x (0， ) ， xx2 3x 11x 1x 3 12 x 1x 3 15， 当且仅当 x 1 时等号成立， a 15.故选 A. 4在方程 |x| |y| 1 表示的曲线所围成的区域内 (包括边界 )任取一点 P(x， y)，则 z xy
3、的最大值为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.12 B.13 C.14 D.18 答案 C 解析 根据题意如图所示， 要保证 z 最大，则 P 应落在第一或第三象限内，不妨设 P 点落在线段 AB 上，故 z xyx(1 x) ? ?x 1 x2 2 14，当且仅当 x 12时，等号成立，故 z 的最大值为 14.故选 C. 5 (2018 福建四地六校联考 )已知函数 f(x) x ax 2 的值域为 ( ， 0 4， ) ，则 a 的值是 ( ) A.12 B.32 C 1 D 2 答案 C 解析 由题意可得 a0， 当 x0 时， f(x) x ax 22 a 2，当且仅当
4、x a时取等号； 当 x0， b0，且 ab 1，若不等式 (x y) ? ?ax by m，对任意的正实数 x， y恒成立，则实数 m 的取值范围是 ( ) A 4， ) B ( ， 1 =【 ;精品教育资源文库 】 = C ( ， 4 D ( ， 4) 答案 D 解析 因为 a， b， x， y 为正实数，所以 (x y) ? ?ax by a b ayx bxy a b 22 ab 2 4，当且仅当 a b， ayx bxy ，即 a b， x y 时等号成立，故只要 m0， b0，O 为坐标原点 )，若 A， B， C 三点共线，则 2a 1b的最小值是 ( ) A 4 B.92 C
5、8 D 9 答案 D 解析 AB OB OA (a 1,1)， AC OC OA ( b 1,2)， 若 A， B， C 三点共线，则有 AB AC ， (a 1)2 1( b 1) 0， 2a b 1， 又 a0， b0， 2a 1b ? ?2a 1b (2 a b) 5 2ba 2ab 5 2 2ba 2ab 9， 当且仅当? 2ba 2ab ，2a b 1，即 a b 13时等号成立故选 D. =【 ;精品教育资源文库 】 = 10 (2018 河南洛阳统考 )设二次函数 f(x) ax2 bx c 的导函数为 f( x)若 ? xR，不等式 f(x) f( x)恒成立，则 b2a2 2
6、c2的最大值为 ( ) A. 6 2 B. 6 2 C 2 2 2 D 2 2 2 答案 B 解析 由题意得 f( x) 2ax b，由 f(x) f( x)在 R 上恒成立得 ax2 (b 2a)x c b0 在 R 上恒成立，则 a0 且 0 ，可得 b24 ac 4a2， 则 b2a2 2c24ac 4a2a2 2c2 4? ?ca 12? ?ca 2 1， 且 4ac 4a20 ， 4 ca 40 ， ca 10 ，令 t ca 1，则 t0. 当 t 0 时， b2a2 2c2 4t2t2 4t 3 42t 3t 4 42 6 4 6 2? ?当且仅当 t 62 时等号成立 ，当 t
7、 0 时， b2a2 2c2 0，故b2a2 2c2的最大值为 6 2.故选B. 二、填空题 11 (2014 福建高考 )要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是_(单位：元 ) 答案 160 解析 设底面的相邻两边长分别为 x m， y m，总造价为 T 元，则 V xy1 4?xy 4. T 420 (2x 2y)110 80 20(x y)80 202 xy 80 204 160.(当且仅当 x y 时取等号 ) 故该容器的最低总造价是 160 元 12 (2018 河南百校
8、联盟模拟 )已知正实数 a， b 满足 a b 4，则 1a 1 1b 3的最小值为 _ 答案 12 解析 a b 4， a 1 b 3 8， 1a 1 1b 3 18(a 1) (b 3)? ?1a 1 1b 3 18? ?2 b 3a 1 a 1b 3 18(2 2) 12， 当且仅当 a 1 b 3，即 a 3， b 1 时取等号， 1a 1 1b 3的最小值为 12. =【 ;精品教育资源文库 】 = 13 (2018 泰安模拟 )正实数 a、 b满足 2a 2b 12a b 6，则 4a 5b的最小值是 _ 答案 32 解析 正实数 a、 b 满足 2a 2b 12a b 6， 令
9、a 2b m,2a b n，则正数 m， n 满足 2m 1n 6， 则 4a 5b 2m n 16(2m n) ? ?2m 1n 16? ?5 2nm 2mn 16? ?5 2 2nm 2mn 32， 当且仅当 2nm 2mn 即 m n 12时取等号， 此时 a b 16，故 4a 5b 的最小值为 32. 14已 知 x， y 满足约束条件? x y0 ，x 2y0 ，2x y 20 ，且目标函数 z ax by(a， b 0)的最大值为 4，则 4a 2b的最小值为 _ 答案 3 2 2 解析 画区域如图， 易知目标函数在点 A 处取得最大值，由 ? x y 0，2x y 2 0， 解
10、得? x 2，y 2， 所以 2a 2b 4，即 a b 2， 所以 4a 2b a ba a bb 2 2ba ab 1 3 2ba ab3 2 2ba ab 3 2 2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 当且仅当 2ba ab，即 ? a 4 2 2，b 2 2 2时，取等号 故 4a 2b的最小值为 3 2 2. 三、解答题 15 (2017 太原期末 )如图，围建一个面积为 100 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙 (旧墙需维修 )，其余三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2 m的进出口，已知旧墙的维修费用为 56 元 /米，新墙的造价为 200 元 /米，
11、设利用的旧墙长度为x(单位：米 )，修建此矩形场地围墙的总费用 y(单位：元 ) (1)将 y 表示为 x 的函数； (2)求当 x 为何值时， y 取得最小值，并求出此最小值 解 (1)由题意得矩形场地的另一边长为 100x 米， y 56x ? ?x 2 100x 2 200 256x 40000x 400(x 0) (2)由 (1)得 y 256x 40000x 400 2 256x 40000x 400 6000， 当且仅当 256x 40000x 时，等号成立， 即当 x 252 米时， y 取得最小值 6000 元 16 (2018 南昌模拟 )已知 ABC 中，内角 A， B，
12、C 的对边分别为 a， b， c，且 tanA，tanB 是关于 x 的方程 x2 (1 p)x p 2 0 的两个实根， c 4. (1)求角 C 的大小： (2)求 ABC 面积的取值范围 解 (1)由题意得 tanA tanB 1 p， tanAtan B p 2，所以 tan(A B)tanA tanB1 tanAtanB 1 p1 p 1， 故 ABC 中， A B 4 ，所以 C 34 . (2)由 C 34 ， c 4 及 c2 a2 b2 2abcosC， =【 ;精品教育资源文库 】 = 可得 42 a2 b2 2ab ? ? 22 ， 整理得 16 a2 b2 2ab，即 16 2ab a2 b2， 又 a0， b0，所以 16 2ab a2 b22 ab， 得 ab 162 2，当且仅当 a b 时取等号， 所以 ABC 的面积 S 12absinC 12 ab 22 12 162 2 22 4 22 2 4 2 4， 所以 ABC 面积的取值范围为 (0,4 2 4
