1、北京市东城区20212022学年度第二学期高三综合练习（一） 高 三 数 学 2022.4本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，则（A） （B） （C） （D）（2）下列函数中，定义域与值域均为的是（A） （B） （C） （D）（3）已知复数满足，则的虚部为（A） （B） （C） （D）（4）已知数列的前项和，则是（A）公差为的等差数列 （B）公差为的等差数列（C）公比
2、为的等比数列（D）公比为的等比数列（5）已知，则 （A） （B） （C） （D）（6）已知正方体的棱长为1， E为BC上一点，则三棱锥的体积为（A） （B） （C） （D）（7）在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首. 北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上 “二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧.墩墩同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国的朋友，则这3个节气中含有“立春”的概率为（A） （B） （C） （D）（8）已知，则 “”是“”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（9）在平面直角坐标系中，直线（）与轴和轴分
3、别交于，两点，若，则当，变化时，点到点（1，1）的距离的最大值为（A） （B） （C） （D）（10）李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过天后，用户人数，其中为常数. 已知小程序发布经过10天后有2 000名用户，则用户超过50 000名至少经过的天数为（本题取）（A）31（B） （C）（D）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共 5小题，每小题5分，共25分。 （11）在的展开式中，常数项为 . （用数字作答）（12）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格上小正方形的边长为1，则=_ （13）已知抛物线过点， 则_ ；若点，在上，为的焦点，且,成等比数列，则_ _
4、（14）已知函数 若，则不等式的解集为_ _；若恰有两个零点，则的取值范围为_ _（15）某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动.如图1所示，线段表示角楼的高，为三个可供选择的测量点，点，在同一水平面内，与水平面垂直. 现设计能计算出角楼高度的测量方案，从以下六组几何量中选择三组进行测量，则可 以选择的几何量的编号为_（只需写出一种方案）图1 两点间的距离； 两点间的距离； 由点观察点的仰角， 由点观察点的仰角； 和； 和三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）已知函数(，). 从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定.
5、（）求的解析式；（）设，求函数在上的单调递增区间.条件：；条件：为偶函数；条件： 的最大值为1；条件： 图象的相邻两条对称轴之间的距离为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（I）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分（17）（本小题14分）如图，在三棱柱中，平面， 为线段上的一点 （）求证：； （）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离. （18）（本小题13分）根据Z市2020年人口普查的数据，在该市15岁及以上常住人口中，各种受教育程度人口所占比例（精确到0.01）如下表所示： 受教育程度性别 未上学小学初中高中大学专科大学本科硕士研究生博士研究生男0.000.0
6、30.140.110.070.110.030.01女0.010.040.110.110.080.120.030.00合计0.010.070.250.220.150.230.060.01（）已知Z市15岁及以上常住人口在全市常住人口中所占的比例约为85%，从全市常住人口中随机选取1人，试估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率. （）从Z市15岁及以上常住人口中随机选取2人，记这2人中受教育程度为大学本科及以上的人数为X，求X的分布列和数学期望.（）若受教育程度为未上学、小学、初中、高中、大学专科及以上的受教育年限分别为0年、6年、9年、12年、16年，设Z市15岁及以上男性与
7、女性常住人口的平均受教育年限分别为a年和b年，依据表中的数据直接写出a与b的大小关系. （结论不要求证明）（19）（本小题15分）已知函数（）若曲线在点处的切线斜率为，求的值； （）若在上有最大值，求的取值范围（20）（本小题15分）已知椭圆的离心率为，焦距为.（）求椭圆的方程；（）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点.是否存在常数，使得直线与直线的交点在之间，且总有？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.（21）（本小题15分）设数列（）.如果，且当时，则称数列具有性质P. 对于具有性质P的数列A，定义数列，其中.（）对，写出所有具有性质P的数列；（）对数列（），其中，证明：存在具有性质P的数列
8、，使得与为同一个数列；（）对具有性质P的数列A，若且数列满足，求证这样的数列A有偶数个.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市东城区20212022学年度第二学期高三综合练习（一） 高三数学参考答案及评分标准 2022.4一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）D（2）C（3）B（4）A （5）C （6）D（7）B（8）A（9）B （10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）64 （12）5（13）4； （14）；（15）（答案不唯一）三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（）. 选择条件： 因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离
9、为，所以，即. 所以. 因为，所以，即. 所以. 7分选择条件： 因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，即. 所以. 因为函数的最大值为1，所以，即. 所以. 7分（）. 因为在上单调递增，所以.所以.所以函数在上的单调递增区间为和. 13分（17）（共14分）解：（）因为平面，所以，. 因为，所以平面.所以.因为在三棱柱中，所以.又因为，所以四边形为正方形. 连结，则. 又因为，所以平面.因为平面，所以. 6分 （）因为AB，AC，两两垂直，所以如图建立空间直角坐标系.可得，则，.设，则 .设为平面的法向量， 则 即令，则，可得则.解得，则.因为，所以点到平面的距离为. 14分（1
10、8）（共13分）解：（）设事件A“该市民年龄为15岁及以上”.事件B“该市民受教育程度为硕士研究生”.依题意，.由概率的乘法公式可得，.因此，从全市常住人口中随机选取1人，该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率约为0.051. 3分（） 从Z市15岁及以上的常住人口中随机选取1人，受教育程度为大学本科及以上的概率为0.230.060.010.3.X的所有可能取值为0，1，2. ， 所以X的分布列为X012P0.490.420.09 故X的数学期望. 11分（III）ab. 3分（19）（共15分）解：（）函数的定义域为由得.则，解得 5分 （）令， 当时，因此恒成立，所以.所以
11、在上单调递减，没有最大值 当时，恒成立，所以.所以在上单调递减，没有最大值 当时，方程的两个根为，.由得，且当时有+极大值函数在处取得最大值综上，的取值范围为15分（20）（共15分）解：（）由题设，得解得.所以椭圆的方程为 5分（）存在直线符合题意.直线的方程为.由得.由得.设，则，.设直线与直线交于点，因为，所以.由题设，知，.所以，. 所以.整理，得所以.解得.所以存在直线符合题意. 15分（21）（共15分）解：（）； ； . 4分（）由于数列，其中，不妨设中恰有s项为1，若，则符合题意；若，则符合题意；若，则设这s项分别为：，构造数列，令分别为，数列其余各项分别.经验证，数列符合题意. 9分（III）对于符合题意的数列.当n为奇数时，存在数列符合题意，且数列与不同，与相同，按这样的方式可由数列构造出数列.所以n为奇数时，这样的数列A有偶数个.当时，这样的数列A也有偶数个.当n为偶数时，如果是数列中不相邻两项，交换与得到数列符合题意，且数列与不同，与相同，按这样的方式可由数列构造出数列.所以这样的数列A有偶数个. 如果是数列中的相邻两项，由题设知，必有， .除这三项外，是一个项的符合题意的数列.由可知，这样的数列有偶数个.综上，这样的数列有偶数个. 15分数学 第 14 页（共 14 页）
