1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8 8 曲线与方程 基础送分 提速狂刷练 一、选择题 1 (2017 上海模拟 )图中曲线的方程可以是 ( ) A (x y 1)( x2 y2 1) 0 B. x y 1( x2 y2 1) 0 C (x y 1) x2 y2 1 0 D. x y 1 x2 y2 1 0 答案 C 解析 由图象可知曲线的方程可以是 x2 y2 1 或 x y 1 0(x2 y21) ，故选 C. 2 (2017 保定二模 )若点 P(x， y)坐标满足 ln ? ?1y |x 1|，则点 P 的轨迹图象大致是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 B 解析 由题意
2、， x 1 时， y 1，故排除 C， D；令 x 2，则 y 1e，排除 A.故选 B. 3 (2018 安徽模拟 )点集 (x， y)|(|x| 1)2 y2 4表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是 ( ) A.163 2 3 B.163 4 3 C.243 2 3 D.243 4 3 答案 A =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 点集 (x， y)|(|x| 1)2 y2 4表示的图形是一条封闭的曲线，关于 x， y 轴对称，如图所示 由图可得面积 S S 菱形 43S 圆 122 32 434 163 2 3.故选 A. 4 (2018 沈阳月考 )在 ABC
3、 中， B( 5， 0)， C( 5， 0)， AB， AC 边上的中线长之和为 9.则 ABC 重心 G 的轨迹方程是 ( ) A.x24y29 1(y0) B.x29y24 1(y0) C.x24 y2 1(y0) D x2 y24 1(y0) 答案 B 解析 设 AB， AC 边上的中线分别为 CD， BE， BG 23BE， CG 23CD， BG CG 23(BE CD) 6(定值 ) 因此， G 的轨迹为以 B， C 为焦点的椭圆， 2a 6， c 5， a 3， b 2，可得椭圆的方程为 x29y24 1. 当 G 点在 x 轴上时， A， B， C 三点共线，不能构成 ABC.
4、 G 的纵坐标不能是 0，可得 ABC 的重心 G 的轨迹方程为 x29y24 1(y0) 故选 B. =【 ;精品教育资源文库 】 = 5 (2018 大武口期末 )已知抛物线 y2 4x，焦点为 F，顶点为 O，点 P 在抛物线上 移动，Q 是 OP 的中点， M 是 FQ 的中点，则点 M 的轨迹方程是 ( ) A y2 x 1 B y2 2? ?x 12 C y2 2(x 1) D y2 x 12 答案 D 解析 设 M(x， y)， P(x1， y1)， Q(x2， y2)，易求 y2 4x 的焦点 F 的坐标为 (1,0) M 是 FQ 的中点， ? x 1 x22 ，y y22?
5、 x2 2x 1，y2 2y， 又 Q 是 OP 的中点， ? x2 x12，y2 y12? x1 2x2 4x 2，y1 2y2 4y. P 在抛物线 y2 4x 上， (4y)2 4(4x 2)， 所以 M 点的轨迹方程为 y2 x 12.故选 D. 6 (2017 河北衡水中学期中 )已 知 A( 1,0)， B 是圆 F： x2 2x y2 11 0(F 为圆心 )上一动点，线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P，则动点 P 的轨迹方程为 ( ) A.x212y211 1 B.x236y235 1 C.x23y22 1 D.x23y22 1 答案 D =【 ;精品教育资源文库 】 =
6、 解析 将圆 F 改写成标准方程 (x 1)2 y2 12，则圆心 F 的坐标为 (1,0)，半径 r 2 3，由题意可知 |PA| |PB|.又点 P 在圆 F 的半径 BF 上，故 |PA| |PF| |PB| |PF| |BF|2 32 |AF|，所以动点 P 的轨迹是以 A， F 为焦点， 2 3为长轴长的椭圆，则 2a 2 3， 2c 2，所以 b 2.故动点 P 的轨迹方程为 x23y22 1.故选 D. 7 (2018 宜城期末 )已知过定点 C(2， 0)的直线 l 与抛物线 y2 2x 相交于 A， B 两点，作 OE AB 于 E.则点 E 的轨迹方程是 ( ) A x2
7、y2 2x 0(x0) B x2 y2 2x 0(y0) C x2 y2 4x 0 D x2 y2 4x 0(y0) 答案 A 解析 直线 l 过定点 C(2,0)， O(0,0)， C(2,0)， OE CE， OEC 为直角三角形， 点 E 的轨迹是以线段 OC 为直径的圆除去点 O， 故点 E 的轨迹方程为 (x 1)2 y2 1(x0) ，即 x2 y2 2x 0(x0) 故选 A. 8 (2017 津南模拟 )平面直角坐标系中，已知两点 A(3,1)， B( 1,3)，若点 C 满足 OC 1OA 2OB(O 为原点 )，其中 1， 2 R，且 1 2 1，则点 C 的轨迹是 ( )
8、 =【 ;精品教育资源文库 】 = A直线 B椭圆 C圆 D双曲线 答案 A 解析 设 C(x， y)，因为 OC 1OA 2OB，所以 (x， y) 1(3,1) 2( 1， 3)，即? x 3 1 2，y 1 3 2， 解得 ? 1 y 3x10 ， 2 3y x10 ，又 1 2 1，所以 y 3x10 3y x10 1，即 x 2y 5，所以点 C 的轨迹为直线，故选 A. 9 (2017 湖北期中 )已知方程 x24 ty2t 1 1 表示的曲线为 C，给出以下四个判断： 当 14 或 t4. 其中判断正确的个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案 B 解析 由 4 t
9、t 1，可得 t 52，方程 x24 ty2t 1 1 表示圆，故 不正确； 由双曲线的定义可知：当 (4 t)(t 1)4 时，方程 x24 ty2t 1 1 表示双曲线，故 正确； 由椭圆定义可知：当椭圆在 x 轴上时，满足 4 tt 10，即 10，t 1 2， A1( 2， 0)， A2( 2， 0)，则有 直线 A1P 的方程为 y y1x1 2(x 2)， 直线 A2Q 的方程为 y y1x1 2(x 2)， 联立 ，解得? x 2x1，y 2y1x1，? x1 2x，y1 2yx ， x0 ，且 |x|e2)，则 e1 2e2的最小值为 _ 答案 3 2 24 解析 设动圆 M
10、的半径为 R.动圆 M 与圆 O1和圆 O2都相切有两种情况，一是与圆 O1内切、与圆 O2外切，二是与圆 O1和圆 O2都内切相切都可以转化为圆心距问题第一种情况， dMO1 4 R， dMO2 r R， dMO1 dMO2 4 r，为定值，且 O1O2 2.故由椭圆的定义可知， M 的轨迹为一个椭圆， a 4 r2 ， c 1. 同理，第二种情况， M 的轨迹为一个椭圆， a 4 r2 ， c 1. 两个椭圆的离心率分别为 e1和 e2(e1e2)， =【 ;精品教育资源文库 】 = e1 24 r， e2 24 r. e1 2e2 24 r 44 r r r r r 24 2r16 r2
11、 r r 2 r 128 2 r 12812 r 24 2 2 r 12812 r 24 2 16 2 24 2 2 34 ， 当且仅当 12 r 12812 r，即 r 12 8 2时，取 “ ” 所以 e1 2e2的最小值为 3 2 24 . 三、解答题 15 (2018 安徽合肥模拟 )如图，抛物线 E： y2 2px(p0)与圆 O： x2 y2 8 相交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标为 2.过劣弧 AB 上动点 P(x0， y0)作圆 O 的切线交抛物线 E 于 C， D 两点，分别以 C， D 为切点作抛物线 E 的切线 l1， l2， l1与 l2相交于点 M. (1)求
12、p 的值； (2)求动点 M 的轨迹方程 解 (1)由点 A 的横坐标为 2，可得点 A 的坐标为 (2,2)，代入 y2 2px，解得 p 1. (2)设 C? ?y212， y1 ， D?y222， y2 ， y10 ， y20. 设切线 l1： y y1 k? ?x y212 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 代入 y2 2x 得 ky2 2y 2y1 ky21 0，由 0， 解得 k 1y1， l1的方程为 y 1y1x y12， 同理， l2的方程为 y 1y2x y22. 联立? y 1y1x y12，y 1y2x y22，解得? x y1 y22 ，y y1 y22 . 直线
13、 CD 的方程为 x0x y0y 8，其中 x0， y0满足 x20 y20 8， x0 2,2 2 ， 由? y2 2x，x0x y0y 8， 得 x0y2 2y0y 16 0， 则? y1 y2 2y0x0，y1 y2 16x0. 由 可得? x 8x0，y y0x0，则? x0 8x，y0 8yx ，代入 x20 y20 8 得 x28 y2 1. 考虑到 x0 2,2 2 ，则 x 4， 2 2 ， 动点 M 的轨迹方程为 x28 y2 1， x 4， 2 2 16 (2016 全国卷 )已知抛物线 C： y2 2x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1，l2分别交 C 于 A
14、， B 两点，交 C 的准线于 P， Q 两点 (1)若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中 点，证明 AR FQ； (2)若 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程 解 由题知 F? ?12， 0 .设 l1： y a， l2： y b，则 ab0 ， 且 A? ?a22， a ， B?b22， b ， P? 12， a ， Q? 12， b ， R? 12 ， ?a b2 .记过 A， B 两点的直线为 l，则 l 的方程为 2x (a b)y ab 0. (1)证明：由于 F 在线段 AB 上，故 1 ab 0. 记 AR 的斜率为 k1， FQ 的斜率为 k2，则 k1 a b1 a2 a ba2 ab 1a aba b k2.
