1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 53 讲 曲线与方程 考纲要求 考情分析 命题趋势 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 . 2017 全国卷 ， 20 2016 全国卷 ， 20(1) 2016 全国卷 ， 20(2) 求满足条件的动点轨迹及轨迹方程，用直接法和定义法较为普遍 . 分值： 3 5 分 1曲线与方程 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x， y) 0 的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是 _这个方程 _的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是 _曲线上 _的点 那么，这 个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线 曲线可以看
2、作是符合某条件的点的集合，也可看作是适合某种条件的点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题 2求曲线方程的基本步骤 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)f(x0， y0) 0 是点 P(x0， y0)在曲线 f(x， y) 0 上的充要条件 ( ) (2)方程 x2 xy x 表示的曲线是一个点和一条直线 ( ) (3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2 y2.( ) (4)方程 y x与 x y2表示同 一曲线 ( ) 解析 (1)正确由 f(x0， y0) 0 可知点 P(x0， y0)在曲线 f(x， y) 0 上，又 P(x0， y0)在曲线 f(x， y)
3、 0 上时，有 f(x0， y0) 0.所以 f(x0， y0) 0 是 P(x0， y0)在曲线 f(x， y) 0 上的充要条件 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)错误方程变为 x(x y 1) 0，所以 x 0 或 x y 1 0，故方程表示直线 x 0或直线 x y 1 0. (3)错误当以两条互相垂直的直线为 x 轴， y 轴时，是 x2 y2，否则不正确 (4)错误因为方程 y x表示的曲线只是方程 x y2表示曲线的一部分，故其不正确 2和点 O(0,0)， A(c,0)距离的平方和为常数 c(c0) 的点的轨迹方程为 _2x2 2y2 2cx c2 c 0_. 解析 设点
4、的坐标为 (x， y)，由题意知 ( ?x 0?2 ?y 0?2)2 ( ?x c?2 ?y 0?2)2 c， 即 x2 y2 (x c)2 y2 c，即 2x2 2y2 2cx c2 c 0. 3 MA 和 MB 分别是动点 M(x， y)与两定点 A( 1,0)和 B(1,0)的连线，则使 AMB 为直角的动点 M 的轨迹方 程是 _x2 y2 1(x1) _. 解析 点 M 在以 A， B 为直径的圆上，但不能是 A， B 两点 4平面内有三个点 A( 2， y)， B? ?0， y2 ， C(x， y)，若 AB BC ，则动点 C 的轨迹方程为 _y2 8x(x0) _ 解析 AB
5、? ?2， y2 ， BC ? ?x， y2 ，由 AB BC ，得 AB BC 0. 即 2x ? ? y2 y2 0. 动点 C 的轨迹方程为 y2 8x(x0) 5圆的方程为 x2 y2 4，抛物线过点 A( 1,0)， B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是 _x24y23 1(y0) _. 解析 设抛物线焦点为 F，过 A， B， O 作准线的垂线 AA1， BB1， OO1，则 | |AA1 | |BB1 2| |OO1 4，由抛物线定义得 | |AA1 | |BB1 | |FA | |FB ， | |FA | |FB 4，故 F 点的轨迹是以 A， B 为焦点，
6、长轴长为 4 的椭圆 (去掉长轴两端点 ) 一 定义法求轨迹方程 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解 【例 1】 已知圆 M： (x 1)2 y2 1，圆 N： (x 1)2 y2 9，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C，求 C 的方程 解析 由已知得圆 M 的圆心为 M( 1,0)，半径 r1 1；圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r2=【 ;精品教育资源文库 】 = 3.设圆 P的圆心为 P(x， y)，半径为 R.因为圆 P与圆 M外切并且与圆 N
7、内切，所以 | |PM | |PN (R r1) (r2 R) r1 r2 4 2 | |MN .由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M， N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3的椭圆 (左顶点除外 )，其方程为 x24y23 1(x 2) 二 直接法求轨迹方程 直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略 (1)题 中给出等量关系，求轨迹方程直接代入即可得出方程 (2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程可利用已知条件寻找等量关系，得出方程 【例 2】 (2016 全国卷 )已知抛物线 C： y2 2x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线l1， l2分别交 C 于 A， B 两点，交 C
8、的准线于 P， Q 两点 (1)若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR FQ； (2)若 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程 解析 由题知 F? ?12， 0 .设 l1： y a， l2： y b，则 ab0 ，且 A? ?a22， a ， B?b22， b ， P? 12， a ， Q? 12， b ， R? ? 12， a b2 . 记过 A， B 两点的直线为 l，则 l 的方程为 2x (a b)y ab 0. (1)由于 F 在线段 AB 上，故 1 ab 0. 记 AR 的斜率为 k1， FQ 的斜率为 k2，则 k1 a b1
9、 a2 a ba2 ab 1a aba b k2. 所以 AR FQ. (2)设 l 与 x 轴的交点为 D(x1,0)， 则 S ABF 12|b a|FD| 12|b a|? ?x112 ， S PQF |a b|2 . 由题设可得 |b a|? ?x112 |a b|2 ，解得 x1 1. 设满足条件的 AB 的中点为 E(x， y) 当 AB 与 x 轴不垂直时，由 kAB kDE可得 2a b yx 1(x1) =【 ;精品教育资源文库 】 = 而 a b2 y，所以 y2 x 1(x1) 当 AB 与 x 轴垂直时， E 与 D 重合，故 所求轨迹方程为 y2 x 1. 三 相关点
10、法求轨迹方程 相关点法求轨迹方程的基本步骤 (1)设点：设被动点坐标为 (x， y)，主动点坐标为 (x1， y1)， (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式? x1 f?x， y?，y1 g?x， y?， (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程 【例 3】 (2018 安徽合肥高三调研 )已知 M 为椭圆 C： x225y29 1 上的动点， 过点 M 作x 轴的垂线，垂足为 D，点 P 满足 PD 53MD . (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程； (2)若 A， B 两点分别为椭圆 C 的左、右顶点， F 为椭圆 C 的左焦点，直线 PB 与椭圆 C
11、交于点 Q，直线 QF， PA 的斜率分别为 kQF， kPA，求 kQFkPA的取值范围 解析 (1)设 P(x， y)， M(m， n)，依题意知 D(m,0)，且 y0. 由 PD 53MD ，得 (m x， y) 53(0， n)， 则有? m x 0， y 53n ? m x，n 35y. 又 M(m， n)为椭圆 C： x225y29 1 上的点， x225?35y29 1，即 x2 y2 25， 故动点 P 的轨迹 E 的方程为 x2 y2 25(y0) (2)依题意知 A( 5,0)， B(5,0)， F( 4,0)，设 Q(x0， y0)， 线段 AB 为圆 E 的直径， A
12、P BP，设直线 PB 的斜率为 kPB，则 kPA 1kPB， kQFkPAkQF 1kPB kQFkPB kQFkQB y0x0 4 y0x0 5 =【 ;精品教育资源文库 】 = y20?x0 4?x0 5?9? ?1 x2025?x0 4?x0 5?925?x20 25?x0 4?x0 5?925?x0 5?x0 4 925?1 1x0 4 ， 点 P 不同于 A， B 两点且直线 QF 的斜率存在， 50，所以动点 P 的轨迹是圆 2 (2017 全国卷 )已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的一条渐近线方程为 y52 x，=【 ;精品教育资源文库 】 = 且与椭圆
13、 x212y23 1 有公共焦点，则 C 的方程为 ( B ) A x28y210 1 Bx24y25 1 C x25y24 1 Dx24y23 1 解析 根据双曲线 C 的渐近线方程为 y 52 x，可知 ba 52 ， 又椭圆 x212y23 1 的焦点坐标为 (3,0)和 ( 3,0)，所以 a2 b2 9， 根据 可知 a2 4， b2 5，故选 B 3已知点 P 是直线 2x y 3 0 上的一个动点，定点 M( 1,2)， Q 是线段 PM 延长线上的一点，且 |PM| |MQ|，则 Q 点的轨迹方程是 ( D ) A 2x y 1 0 B 2x y 5 0 C 2x y 1 0
14、D 2x y 5 0 解析 设 Q(x， y)，则 P 为 ( 2 x,4 y)，代入 2x y 3 0 得 Q 点的轨迹方程为 2x y 5 0. 4设圆 (x 1)2 y2 25 的圆心为 C， A(1,0)是圆内一定点， Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M，则 M 的轨迹方程为 ( D ) A 4x2214y225 1 B4x2214y225 1 C 4x2254y221 1 D4x2254y221 1 解析 M 为 AQ 垂直平分线上一点，则 |AM| |MQ|， |MC| |MA| |MC| |MQ| |CQ| 5， 故 M 的轨迹是以定点 C， A
15、 为焦点的椭圆， a 52， c 1，则 b2 a2 c2 214 ， 椭圆的标准方程为 4x2254y221 1. 5设过点 P(x， y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A， B 两点，点 Q 与点 P 关于 y 轴对称 ， O 为坐标原点，若 BP 2PA ，且 OQ AB 1，则点 P 的轨迹方程是 ( A ) A 32x2 3y2 1(x0， y0) B 32x2 3y2 1(x0， y0) =【 ;精品教育资源文库 】 = C 3x2 32y2 1(x0， y0) D 3x2 32y2 1(x0， y0) 解析 设 A(a,0)， B(0， b)， a0， b0.由 BP 2PA ， 得 (x， y b) 2(a x， y)， 即 a 32x0， b 3y0， 点 Q( x， y)， 故由 OQ AB 1，得 ( x， y)( a， b) 1， 即 ax by 1.将 a， b 代入 ax by 1 得所求的轨迹方程为 32x2 3y2 1(x0， y0) 6已知圆锥曲线 mx2 4y2 4m 的离心率 e 为方程 2x2 5x 2 0 的根，则满
