1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 4 讲 函数及其表示 考纲要求 考情分析 命题趋势 1了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念 2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法 (如图象法、列表法、解析法 )表示函数 3了解简单的分段函数，并能简单应用 2017 全国卷 ， 15 2017 山东卷， 1 2016 全国卷 ， 7 2016 江苏卷， 5 2016 四川卷， 5 1对函数的基本概念与定义域的考查很少单独出题，经常与指数函数、对数函数综合出题 2考查函数的值域及最值 3函数的表示方法，主要 考查分段函数求值，或者研究含参数的分段函数问题 4函数的新定义
2、问题，主要考查函数的综合知识，以其他知识为背景，分析后仍然用函数知 ； 识去解决，此类问题的综合性比较强 分值： 5 分 1函数的概念 一般地，设 A， B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A中的任意一个数 x，在集合 B 中都有 _唯一确定 _的数 f(x)和它对应，那么就称 f： A B为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y f(x)， x A.其中， x 叫做自变量， x 的取值范围A 叫做函数的 _定义域 _，与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)|x A叫做函数的 _值域 _. 2函数的表示方法 (1)用数学表达式表示两个
3、变量之间的对应关系的方法叫做 _解析法 _ (2)用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做 _图象法 _. (3)列出表格表示两个变量之间的对应关系的方法叫做 _列表法 _. 3函数的三要素 (1)函数的三要素： _定义域 _，对应关系，值域 (2)两个函数相等：如果两个函数的 _定义域 _相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等 4分段函数 =【 ;精品教育资源文库 】 = 若函数在定义域的不同子集上的 _对应关系 _不同，则这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数分段函数的定义域等于各段函数自变量取值的并集，分段函数的值域等于各段函数值的并集 5映射的概念 一般地，设 A，
4、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有 _唯一确定 _的元素 y 与之对应，那么就称对应 f： A B为从集合 A 到集合 B 的一个映射 6复合函数 一般地，对于两个函数 y f(u)和 u g(x)，如果通过变量 u， y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 y f(u)和 u g(x)的复合函数，记作 y f(g(x)，其中 y f(u)叫做复合函数 y f(g(x)的外层函数， u g(x)叫做 y f(g(x)的内层函数 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “”) (1)函数是建立在其定义域到值域的映射 (
5、 ) (2)若函数的定义域和值域相同，则这两个函数是相等函数 ( ) (3)函数 f(x) x2 x 与 g(t) t2 t 是同一函数 ( ) (4)f(x) x 3 2 x是一个函数 ( ) 解析 (1)正确函数是特殊的映射 (2)错误如函数 y x 与 y x 1 的定义域和值域都是 R，但它们的对应关系不同，不是相等函数 (3)正确函数 f(x) x2 x 与 g(t) t2 t 的定义域和对应关系相同 (4)错误因为定义域为空集 . 2给出下列四个对应： A R， B R，对应关系 f： x y， y 1x 1； A?a? 12a N* ， B?b? b 1n， n N* ，对应关系
6、 f： a b， b 1a； A x|x0 ， B R，对应关系 f： x y， y2 x， x A， y B； A x|x 是平面 内的矩形 ， B y|y 是平面 内的圆 ，对应关系 f：每一个矩形都对应它的外接圆 其中是从 A 到 B 的映射的为 ( B ) A B C D 解析 对于 ，当 x 1 时， y 值不存在，所以 不是从 A 到 B 的映射；对 于 ， A，=【 ;精品教育资源文库 】 = B 是两个集合，分别用列举法表述为 A 2,4， 6， ? ， B ? ?1， 12， 13， 14， ? ，由对应关系f： a b， b 1a知， 是从 A 到 B 的映射； 不是从 A
7、 到 B 的映射，如 A 中元素 1 对应 B 中两个元素 1 ； 是从 A 到 B 的映射 3下列四组函数中，表示同一函数的是 ( A ) A f(x) |x|， g(x) x2 B f(x) lg x2， g(x) 2lg x C f(x) x2 1x 1， g(x) x 1 D f(x) x 1 x 1， g(x) x2 1 解析 A 项中， g(x) x2 |x|，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数； B项中的两个函数的定义域不同，故不是同一函数； C 项中， f(x) x2 1x 1 x 1(x1) 与 g(x) x 1 两个函数的定义域不同，故不是同一函数； D 项中， f
8、(x)的定义域为 1， ) ， g(x)的定义域为 ( ， 1 1， ) ，所以不是同一函数，故选 A 4已知函数 f(x) x 1.若 f(a) 3，则实数 a _10_. 解析 因为 f(a) a 1 3，所以 a 1 9，即 a 10. 5设 f(x)? x， x ? ， a?，x2， x a， ?， 若 f(2) 4，则 a 的取值范围为 _( ， 2_. 解析 因为 f(2) 4，所以 2 a， ) ，所以 a2 ，则 a 的取值范围为 ( ， 2 一 求函数定义域的方 法 (1)求函数的定义域要从对函数的定义域的理解开始函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，认清楚自变
9、量后，就要从使解析式有意义的角度入手了一般来说，在高中范围内涉及的有： 开偶次方时被开方数为非负数； 分式的分母不为零； 零次幂的底数不为零； 对数的真数大于零； 指数、对数的底数大于零且不等于 1； 实际问题还需要考虑使题目本身有意义； 若 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合 (2)求复合函数的定义域一般有两种情况： 已知 y f(x)的 定义域是 A，求 y f(g(x)的定义域，可由 g(x) A 求出 x 的范围，即为 y f(g(x)的定义域； 已知 y f(g(x)的定义域是 A，求 y f(x)的定义域，可由 x A 求出 g(x
10、)的范围，即为 y f(x)的定义域 =【 ;精品教育资源文库 】 = 【例 1】 (1)函数 f(x) 1 |x 1|ax 1 (a0 且 a1) 的定义域为 _(0,2_ (2)若函数 y f(x)的定义域是 0,2，则函数 g(x) f?2x?x 1的定义域为 _0,1)_. 解析 (1)由? 1 |x 1|0 ，ax 10 ? 0 x2 ，x0 ?00， 则满足 f(x) f?x 12 1 的 x 的取值范围是 ！ ? ? 14， #. 解析 (1) f(x)是周期为 2 的函数， f? ?32 f? ? 12 2 f? ? 12 4 ? ? 12 2 2 1 (2)由题意知，可对不等
11、式分 x0,012三段讨论 当 x0 时，原不等式为 x 1 x 121，解得 x 14， 141，显然成立 当 x12时，原不等式为 2x 2x 121，显然成立 综上可知， x 14. =【 ;精品教育资源文库 】 = 1函数 f(x) lg? x2 x 2?x 的定义域为 ( A ) A ( 1,0) (0,2) B ( 1,0) (0， ) C ( ， 1) (2， ) D ( 1,2) 解析 ? x2 x 20，x0 ?x ( 1,0) (0,2)，故 A 正确 2对于任意 x R，下列式子都存在函数 f(x)的是 ( D ) A f(sin 2x) sin x B f(sin 2x
12、) x2 x C f(x2 1) |x 1| D f(x2 2x) |x 1| 解析 对于 A 项，令 x 0，得 f(0) 0；令 x 2 ，得 f(0) 1，这与函数的定义不符，故 A 项错在 B 项中，令 x 0，得 f(0) 0；令 x 2 ，得 f(0) 24 2 ，与函数的定义不 符，故 B 项错在 C 项中，令 x 1，得 f(2) 2；令 x 1，得 f(2) 0，与函数的定义不符，故 C 项错在 D 项中，变形为 f(|x 1|2 1) |x 1|，令 |x 1|2 1 t，得 t 1，|x 1| t 1，从而有 f(t) t 1，显然这个函数关系在定义域 ( 1， ) 上是
13、成立的，故选 D 3 (2016 江苏卷 )函数 y 3 2x x2的定义域是 _ 3,1_. 解析 若函数有意义，则 3 2x x20 ，即 x2 2x 30 ，解得 3 x1 4已知 f(x)? log2?15 x?， x0 ，f?x 2?， x0， 则 f(3) _4_. 解析 f(3) f(1) f( 1) log216 4. 易错点 1 不会求抽象函数的定义域 错因分析： 定义域是自变量 x 的取值范围； 对应法则 f 下括号内式子的取值范围与f(x)中 x 的取值范围一样 【例 1】 (1)若函数 f(x)的定义域为 ( 1,0)，则函数 f(2x 1)的定义域为 _； (2)若函
14、数 f(2x 1)的定义 域为 ( 1,0)，则函数 f(3x 2)的定义域为 _. 解析 (1)由已知得 10， 0 ， 即? a0，?a 1?2 a0 ， 解得 a 3 52 或 00， 0，?a 1?2 a1， 则 f?43 f? 43 的值为 ( D ) A 12 B 12 C 1 D 1 解析 f? ?43 f? ? 43 f? ?13 1 f? ? 43 cos 3 1 cos ? ? 43 12 1 12 1 3函数 y ln(x2 x) 4 2x的定义域为 ( B ) A ( ， 0) (1， ) B ( ， 0) (1,2 C ( ， 0) D ( ， 2) 解析 由已知得? x2 x0，4 2x0 ? x1，x2. 即 x ( ， 0) (1,2，故选 B =【 ;精品教育资源文库 】 = 4已知函数 f(x)? ?12x， x0 ，log3x， x0，设 a log12 3，则 f(f(a) ( A ) A 12 B 2 C 3 D 2 解析 a
