1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 30 讲 等比数列及其前 n 项和 解密考纲 主要考查等比数列的通项公式，等比中项及其性质，以及前 n 项和公式的应用，三种题型均有涉及 一、选择题 1等比数列 x,3x 3,6x 6， 的第四项等于 ( A ) A 24 B 0 C 12 D 24 解析 由题意知 (3x 3)2 x(6x 6)，即 x2 4x 3 0，解得 x 3 或 x 1(舍去 )，所以等比数列的前 3 项是 3， 6， 12，则第四项为 24. 2已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn x3 n 1 16，则 x 的值 为 ( C ) A 13 B 13 C 12 D 12 解
2、析 当 n 1 时， a1 S1 x 16， 当 n2 时， an Sn Sn 1 ? ?x3 n 1 16 ? ?x3 n 2 16 x(3 n 1 3n 2) 2x3 n 2， 因为 an是等比数列，所 以 a1 a2q 2x32 23 2x3 ， 由 得 x 16 2x3 ，解得 x 12. 3 (2018 云南昆明模拟 )在等比数列 an中，若 a3， a7是方程 x2 4x 2 0 的两根，则 a5 ( B ) A 2 B 2 C 2 D 2 解析 根据根与系数之间的关系得 a3 a7 4， a3a7 2，由 a3 a7 40，所以 a30， a140， a4 a14 8， a70，
3、 a110，则 2a7 a112 2a7 a11 2 2a4 a14 2 16 8，当且仅当? a7 a11 8，2a7 a11， 即 a7 2， a11 4 时取等号，故 2a7 a11的最小值为 8，故选 B 二、填空题 7在各项均为正数的等比数列 an中，若 a2 1， a8 a6 2a4，则 a6的值是 _4_. 解析 设公比为 q，则由 a8 a6 2a4，得 a1q7 a1q5 2a1q3， q4 q2 2 0，解得 q2 2(q2 1 舍去 )，所以 a6 a2q4 4. 8等比数列的各项均为正数，且 a1a5 4，则 log2a1 log2a2 log2a3 log2a4 lo
4、g2a5_5_. 解析 由等比数列的性质可知 a1a5 a2a4 a23，于是由 a1a5 4 得 a3 2，故 a1a2a3a4a5 32，则 log2a1 log2a2 log2a3 log2a4 log2a5 log2(a1a2a3a4a5) log232 5. 9 (2018 江苏徐州模拟 )若等比数列 an满足： a2 a4 20， a3 a5 40，则公比 q_2_；前 n 项和 Sn _2n 1 2_. 解析 由 a2 a4 20， a3 a5 40， =【 ;精品教育资源文库 】 = 得? a1q a1q3 20，a1q2 a1q4 40， 即 ? a1q q2 20，a1q2
5、 q2 40， 解得 q 2， a1 2， 所以 Sn a1 qn1 q 2n1 2 2n 1 2. 三、解答题 10已知递增的等比数列 an的前 n 项和为 Sn， a6 64，且 a4， a5的等差中项为 3a3. (1)求数列 an的通项公式； (2)设 bn na2n 1，求数列 bn的前 n 项和 Tn. 解析 (1)设等比数列 an的公比为 q(q0)， 由题意，得? a1q5 64，a1q3 a1q4 6a1q2， 解得? a1 2，q 2 或 ? a1 6435，q 3(舍去 )， 所以 an 2n. (2)因为 bn na2n 1 n22n 1， 所以 Tn 12 223 3
6、25 427 n22n 1， 14Tn123225327 n 122n 1n22n 1， 所以 34Tn 12 123 125 127 122n 1 n22n 1 12?1 14n1 14 n22n 1 23 4 3n32 2n 1， 故 Tn 89 16 12n92 2n 1 89 4 3n92 2n 1. 11 (2018 天津模拟 )已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S1 ,2S2,3S3成等差数列，且 S4 4027. (1)求数列 an的通项公式； (2)求证： Sn32. 解析 (1)设等比数列 an的公比为 q，因为 S1,2S2,3S3成等差数列，所以 4S2 S1
7、 3S3， =【 ;精品教育资源文库 】 = 即 4(a1 a2) a1 3(a1 a2 a3)， 所以 a2 3a3， 所以 q a3a2 13. 又 S4 4027， 即 a1 1 q41 q 4027， 解得 a1 1， 所以 an ? ?13 n 1. (2)证明：由 (1)得 Sn a1 qn1 q 1 ? ?13 n1 13 32? ?1 ? ?13 n . 因为 n N*，所以 0? ?13 n1， 所以 01 ? ?13 n1，所以 Sn 32? ?1 ? ?13 n 32. 12 (2018 湖北华师一附中期中 )已知数列 an是等差数列， bn是等比数列，且 a1b1 2，
8、 b4 54， a1 a2 a3 b2 b3. (1)求数列 an和 bn的通项公式； (2)数列 cn满足 cn anbn，求数列 cn的前 n 项和 Sn. 解析 (1)设 an的公差为 d， bn的公比为 q， 由 b4 b1q3，得 q3 b4b1 542 27，从而 q 3， bn 23 n 1. 又 a1 a2 a3 3a2 b2 b3 6 18 24， a2 8， d a2 a1 8 2 6， an a1 (n 1)d 2 6(n 1) 6n 4. an 6n 4， bn 23 n 1. (2)cn anbn 4(3n 2)3 n 1. 令 Sn 41 30 43 1 73 2 (3n 5)3 n 2 (3n 2)3 n 1， 则 3Sn 413 1 43 2 73 3 (3n 5)3 n 1 (3n 2)3 n 两式相减得 2Sn 41 33 1 33 2 33 n 1 (3n 2)3 n， 2Sn 41 32 33 3n (3n 2)3 n 2(7 6n)3 n 7 Sn 7 (6n 7)3 n.
