1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 29 讲 等差数列及其前 n 项和 解密考纲 主要考查等差数列的通项公式，等差中项及其性质，以及前 n 项和公式的应用，三种题型均有涉及 一、选择题 1已知等差数列 an的前 13 项之和为 39，则 a6 a7 a8 ( B ) A 6 B 9 C 12 D 18 解析 由等差数列的性质得， S13 13a7 39， a7 3.由等差中项，得 a6 a7 a8 3a7 9，故选 B 2等差数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 a5 8， S3 6，则 a9 ( C ) A 8 B 12 C 16 D 24 解析 由已知得 a1 4d 8,3a1 322
2、 d 6，解得 a1 0， d 2. 故 a9 a1 8d 16，故选 C 3设 Sn是公差不为零的等差数列 an的前 n 项和，且 a10，若 S5 S9，则当 Sn最大时，n ( B ) A 6 B 7 C 10 D 9 解析 由题意可得 S9 S5 a6 a7 a8 a9 0， 2(a7 a8) 0，即 a7 a8 0.又 a10， 该等差数列的前 7 项为正数，从第 8 项开始为负数 当 Sn最大时， n 7. 4等差数列 an中， a1 3a8 a15 120，则 2a9 a10 ( C ) A 20 B 22 C 24 D 8 解析 在等差数列 an中， a1 3a8 a15 12
3、0， 5a8 120， a8 24.2a9 a10 a8 24，故选 C 5在等差数列 an中， a9 12a12 3，则数列 an的前 11 项和 S11 ( C ) A 24 B 48 C 66 D 132 解析 设公差为 d， a9 12a12 3 即 a1 8d 12(a1 11d) 3， 整理，得 a1 5d 6，即 a6=【 ;精品教育资源文库 】 = 6. S11 a1 a112 112 a62 66，故选 C 6设 Sn是公差为 d(d0) 的无穷等差数列 an的前 n项和，则下列命题错误的是 ( C ) A若 d0 D若对任意的 n N*，均有 Sn0，则数列 Sn是递增数列
4、 解析 选项 C 显然是错的，举出反例： 1， 0,1,2,3， 满足数列 Sn是递增数列，但是 Sn0 不成立 二、填空题 7设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a1 3， ak 1 32， Sk 12，则正整数 k _13_. 解析 由 Sk 1 Sk ak 1 12 32 212 ，又 Sk 1 k a1 ak 12 k ? ? 3 322 212 ，解得 k 13. 8 (2016 江苏卷 )已知 an是等差数列， Sn是其前 n 项和若 a1 a22 3， S5 10，则 a9的值是 _20_. 解析 设等差数列 an的公差为 d，则由题设可得? a1 a1 d 2 3，5a
5、1 542 d 10， 解得? d 3，a1 4， 从而 a9 a1 8d 20. 9设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 1a31,0a63，则 S9 的取值范围是 _(3,21)_. 解析 设 S9 9a1 36d x(a1 2d) y(a1 5d)，由待定系数法得 x 3， y 6. 因为 33a33,06a618，两式相加即得 3S921. 三、解答题 10在等差数列 an中， a1 1， a3 3. (1)求数列 an的通项公式； (2)若数列 an的前 k 项和 Sk 35，求 k 的值 解析 (1)设等差数列 an的公差为 d，则 an a1 (n 1)d. 由 a1 1，
6、 a3 3，可得 1 2d 3，解得 d 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 从 而 an 1 (n 1)( 2) 3 2n. (2)由 (1)知 an 3 2n， 所以 Sn n1 2n2 2n n2. 由 Sk 35，得 2k k2 35，即 (k 5)(k 7) 0， 又 k N*，故 k 7. 11若数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 an 2SnSn 1 0(n2) ， a1 12. (1)求证：数列 ? ?1Sn是等差数列； (2)求数列 an的通项公式 解析 (1)证明：当 n2 时，由 an 2SnSn 1 0，得 Sn Sn 1 2SnSn 1， 所以 1Sn 1S
7、n 1 2，又 1S1 1a1 2， 故 ? ?1Sn是首项为 2，公差为 2 的等差数列 (2)由 (1)得 1Sn 2n， Sn 12n. 当 n2 时， an Sn Sn 1 12n 1n n 1 n2n n 12n n . 当 n 1 时， a1 12不适合上式 故 an? 12， n 1， 12n n ， n2.12等差数列 an中， a2 4， a4 a7 15. (1)求数列 an的通项公式； (2)设 bn 2an 2 n，求 b1 b2 b3 b10的值 解析 (1)设等差数列 an的公差为 d. 由已知得? a1 d 4，a1 3d a1 6d 15， 解得 ? a1 3，d 1， 所以 an a1 (n 1)d n 2. (2)由 (1)可得 bn 2n n， 所以 b1 b2 b3 b10 (2 1) (22 2) (23 3) (210 10) =【 ;精品教育资源文库 】 = (2 22 23 210) (1 2 3 10) 2101 2 12 (211 2) 55 211 53 2 101.
