1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 题组训练 70 专题研究 1 曲线与方程 1 已知点 A( 1， 0)， B(2， 4)， ABC 的面积为 10， 则动点 C 的轨迹方程是 ( ) A 4x 3y 16 0 或 4x 3y 16 0 B 4x 3y 16 0 或 4x 3y 24 0 C 4x 3y 16 0 或 4x 3y 24 0 D 4x 3y 16 0 或 4x 3y 24 0 答案 B 解析 可知 AB 的方程为 4x 3y 4 0， 又 |AB| 5， 设动点 C(x， y)由题意可知 12 5|4x 3y 4|5 10， 所以 4x 3y 16 0 或 4x 3y 24 0.
2、故选 B. 2 方程 x 1lg(x2 y2 1) 0 所表示的曲线图形是 ( ) 答案 D 3 动圆 M 经过双曲线 x2 y23 1 的左焦点且与直线 x 2 相切 ， 则圆心 M 的轨迹方程是 ( ) A y2 8x B y2 8x C y2 4x D y2 4x 答案 B 解析 双曲线 x2 y23 1 的左焦点 F( 2， 0)，动圆 M 经过 F 且与直线 x 2 相切 ， 则圆心 M经过 F 且与直线 x 2 相切 ， 则圆心 M 到点 F 的距离 和到直线 x 2 的距离相等 ， 由抛物线的定义知轨迹是抛物线 ， 其方程为 y2 8x. 4 (2017 皖南八校联考 )设点 A
3、 为圆 (x 1)2 y2 1 上的动点 ， PA 是圆的切线 ， 且 |PA| 1，则 P 点的轨迹方程为 ( ) A y2 2x B (x 1)2 y2 4 C y2 2x D (x 1)2 y2 2 答案 D 解析 (直译法 )如图 ， 设 P(x， y)， 圆心为 M(1， 0)连接 MA， PM. 则 MAPA ， 且 |MA| 1， 又因为 |PA| 1， 所以 |PM| |MA|2 |PA|2 2， 即 |PM|2 2， 所以 (x 1)2 y2 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 5 (2017 吉林市毕业检测 )设圆 O1和圆 O2是两个定圆 ， 动圆 P 与这两个定圆都
4、外切 ， 则圆P 的圆心轨迹可能是 ( ) A B C D 答案 A 解析 当两定圆相离时 ， 圆 P 的圆心轨迹为 ；当两定圆外切时 ， 圆 P 的圆心轨迹为 ；当两定圆相交时 ， 圆 P 的圆心轨迹为 ；当两定圆内切时 ， 圆 P 的圆心轨迹为 . 6 已知 A(0， 7)， B(0， 7)， C(12， 2)， 以 C 为一个焦点作过 A， B 的椭圆 ， 椭圆的另一个焦点 F 的轨迹方程是 ( ) A y2 x248 1(y 1) B y2 x248 1 C y2 x248 1 D x2 y248 1 答案 A 解析 由题意 ， 得 |AC| 13， |BC| 15， |AB| 14，
5、 又 |AF| |AC| |BF| |BC|， |AF| |BF| |BC| |AC| 2.故点 F 的轨迹是以 A， B 为焦点 ， 实轴长为 2 的双曲线下支 双曲线中 c 7， a 1， b2 48， 轨迹方程为 y2 x248 1(y 1) 7 ABC 的顶点为 A( 5， 0)、 B(5， 0)， ABC 的内切圆圆心在直线 x 3 上 ， 则顶点 C 的轨迹方程是 ( ) A.x29y216 1 B.x216y29 1 C.x29y216 1(x3) D.x216y29 1(x4) 答案 C 解析 设 ABC 的内切圆与 x 轴相切于 D 点 ， 则 D(3， 0)由于 AC、 B
6、C 都为圆的切线 故有 |CA| |CB| |AD| |BD| 8 2 6. 由双曲线定义知所求轨迹方程为 x29y216 1(x3) 故选 C. 8 (2017 宁波十校联考 )在直角坐标平面中 ， ABC 的两个顶点 A、 B 的坐标分别为 A( 1，0)， B(1， 0)， 平面内两点 G， M 同时满足下列条件： GA GB GC 0， |MA | |MB | |MC=【 ;精品教育资源文库 】 = |， GM AB .则 ABC 的顶点 C 的轨迹方程为 ( ) A.x23 y2 1(y0) B.x23 y2 1(y0) C x2 y23 1(y0) D x2 y23 1(y0) 答
7、案 C 解析 根据题意 ， G 为 ABC 的重心 ， 设 C(x， y)， 则 G(x3， y3)， 而 M 为 ABC 的外心 ， M在 AB 的中垂线上 ， 即 y 轴上 ， 由 GM AB ， 得 M(0， y3)， 根据 |MA | |MC |， 得 1 (y3)2 x2(y y3)2， 即 x2 y23 1， 又 C 点不在 x 轴上 ， y 0， 故选 C. 9.如图 ， 在平面直角坐标系 xOy 中 ， 圆 x2 y2 r2(r0)内切于正方形ABCD， 任取圆上一点 P， 若 OP aOA bOB (a， b R)， 若 M(a， b)， 则动点 M 所形成的轨迹曲线的长度为
8、 ( ) A B. 2 C. 3 D 2 答案 B 解析 设 P(x， y)， 则 x2 y2 r2， A(r， r)， B( r， r)由 OP aOA bOB ， 得?x（ a b） r，y（ a b） r，代入 x2 y2 r2， 得 (a b)2 (a b)2 1， 即 a2 b2 12， 故动点 M 所形成的轨迹曲线的长度为 2 . 10 已知抛物线 y2 nx(n0 时 ， 轨迹 C 为中心在原点 ， 焦点在 x 轴上的双曲线 (除去顶点 )； 当 10， 方程 k2 km 1 0 有两个不相等的实数根 ， 分别为 k1， k2， 则?k1 k2 m，k1 k2 1， 故 QDQE
9、 ， S12|QD|QE|. 记切点 (2k， k2)到 Q(m， 1)的距离为 d， 则 d2 (2k m)2 (k2 1)2 4(k2 km) m2 k2m2 4km 4， 故 |QD| （ 4 m2）（ k12 1） ， =【 ;精品教育资源文库 】 = |QE| （ 4 m2）（ k22 1） ， S 12(4 m2) 1 1 2k1k2（ k1 k2） 2 12(4 m2) 4 m2 4， 即当 m 0， 也就是 Q(0， 1)时面积的最小值为 4. 16 已知椭圆 E： x2a2y2b2 1(ab0)的离心率为22 ， 过左焦点倾斜角为 45 的直线被椭圆截得的弦长为 4 23 .
10、 (1)求椭圆 E 的方程； (2)若动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 ， 过点 M(1， 0)作 l 的垂线 ， 垂足为 Q， 求点 Q的轨迹方程 答案 (1)x22 y2 1 (2)x2 y2 2 解析 (1)因为椭圆 E 的离心率为 22 ， 所以 a2 b2a 22 .解得 a2 2b2， 故椭圆 E 的方程可设为 x22b2y2b2 1， 则椭圆 E 的左焦点坐标为 ( b， 0)， 过左焦点倾斜角为 45 的直线方程为l ： y x b. 设直线 l 与椭圆 E 的交点为 A， B， 由? x22b2y2b2 1，y x b，消去 y， 得 3x2 4bx 0， 解得 x
11、1 0， x2 4b3. 因为 |AB| 1 12|x1 x2| 4 2b3 4 23 ， 解得 b 1. a2 2， 椭圆 E 的方程为 x22 y2 1. (2) 当切线 l 的斜率存在且不为 0 时 ， 设 l 的方程为 y kx m， 联立直线 l 和椭圆 E 的方程 ， 得?y kx m，x22 y2 1. 消去 y 并整理 ， 得 (2k2 1)x2 4kmx 2m2 2 0. 因为直线 l 和椭圆 E 有且仅有一个交点 ， 所以 16k2m2 4(2k2 1)(2m2 2) 0. 化简并整理 ，得 m2 2k2 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 因为直线 MQ 与 l 垂直
12、 ， 所以直线 MQ 的方程为 y 1k(x 1) 联立得方程组?y 1k（ x 1） ，y kx m，解得?x 1 km1 k2，y k m1 k2， x2 y2 （ 1 km）2（ k m） 2（ 1 k2） 2 k2m2 k2 m2 1（ 1 k2） 2 （ k2 1）（ m2 1）（ 1 k2） 2 m2 11 k2， 把 m2 2k2 1 代入上式得 x2 y2 2.(*) 当切线 l 的斜率为 0 时 ， 此时 Q(1， 1)或 (1， 1)， 符合 (*)式 当切线 l 的斜率不存在时 ， 此时 Q( 2， 0)或 ( 2， 0)， 符合 (*)式 综上所述，点 Q 的轨迹方程为
13、 x2 y2 2. 1 (2018 河南洛阳二模 )已知动圆 M 过定点 E(2， 0)， 且在 y 轴上截得的弦 PQ 的长为 4.则动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程是 _ 答案 y2 4x 解析 设 M(x， y)， PQ 的中点为 N， 连 MN， 则 |PN| 2， MN PQ， |MN|2 |PN|2 |PM|2. 又 |PM| |EM|， |MN|2 |PN|2 |EM|2， x2 4 (x 2)2 y2， 整理得 y2 4x. 动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程为 y2 4x. 2 已知直线 l 与平面 平行 ， P 是直线 l 上一定点 ， 平面 内的动点 B 满足 PB 与直线
14、 l成 30 角 ， 那么 B 点轨迹是 ( ) A 两条直线 B椭圆 C 双曲线 D抛物线 答案 C 解析 P 是直线 l 上的定点 ， 平面 与直线 l 平行 ， 平面 内的动点 B 满足 PB 与直线 l成 30 角 ， 因为空间中过 P 与 l 成 30 角的直线构成两个相对顶点的圆锥 ， 即为平行于圆锥轴的平面 ， 点 B 的轨迹可理解为 与圆锥侧面的交线 ， 所以点 B 的轨迹为双曲线 ， 故选 C. 3 (2018 安徽安庆二模 )已知抛物线 x2 2py(p0)， F 为其焦点 ， 过点 F 的直线 l 交抛物线于 A， B 两点 ， 过点 B 作 x 轴的垂线 ， 交直线 O
15、A 于点 C， 如图所示 求点 C 的 轨迹 M 的方程 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 y p2 解析 依题意可得 ， 直线 l 的斜率存在 ， 故设其方程为 y kx p2， 又设 A(x1， y1)， B(x2，y2)， C(x， y)， 由?x2 2py，y kx p2?x2 2pkx p2 0?x1 x2 p2. 易知直线 OA： y y1x1x x12px， 直线 BC： x x2， 由?y x12px，x x2，得 y x1 x22p p2， 即点 C 的轨迹 M 的方程为 y p2. 4 (2014 课标全国 ， 文 )已知点 P(2， 2)，圆 C： x2 y2 8y
16、 0， 过点 P 的动直线 l 与圆C 交于 A， B 两点 ， 线段 AB 的中点为 M， O 为坐标原点 (1)求 M 的轨迹方程； (2)当 |OP| |OM|时 ， 求 l 的方程及 POM 的面积 答案 (1)(x 1)2 (y 3)2 2 (2)x 3y 8 0， S POM 165 解析 (1)圆 C 的方程可化为 x2 (y 4)2 16， 所以圆心为 C(0， 4)， 半径为 4. 设 M(x， y)，则 CM (x， y 4)， MP (2 x， 2 y)由题设知 CM MP 0， 故 x(2 x) (y 4)(2 y) 0， 即 (x 1)2 (y 3)2 2. 由于点 P 在圆 C 的内部 ， 所以 M 的轨迹方程是 (x 1)2
