1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 讲 简单几何体的表面积与体积 一、选择题 1 (2015 全国 卷 )九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“ 今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？ ” 其意思为： “ 在屋内墙角处堆放米 (如图，米堆为一个圆锥的四分之一 )，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？ ” 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有 ( ) A 14 斛 B 22 斛 C 36 斛 D 66 斛 解析 设米堆的底面半径为 r 尺，则 2r 8，所以 r 16 .
2、 所以米堆的体积为 V 14 13 r25 12 ? ?16 25 3209 (立方尺 ) 故堆放的米约有 3209 1.6222( 斛 ) 答案 B 2.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3，则主视图中的 x 的值是 ( ) A 2 B.92 C.32 D 3 解析 由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且 S 底 12(1 2)2 3. V 13x3 3，解得 x 3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 D 3 (2017 合肥模拟 )一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是 ( ) A 1 3 B 2 3 C 1 2 2 D 2 2 解析 四面体的直观图
3、如图所示 侧面 SAC 底面 ABC，且 SAC 与 ABC 均为腰长是 2的等腰直角三角形， SA SC AB BC 2， AC 2. 设 AC 的中点为 O，连接 SO， BO，则 SO AC，又 SO 平面 SAC，平面 SAC 平面 ABC AC， SO 平面 ABC，又 BO 平面 ABC， SO BO. 又 OS OB 1， SB 2， 故 SAB 与 SBC 均是边长为 2的正三角形，故该四面体的表面积为 2 12 2 22 34 ( 2)2 2 3. 答案 B 4 (2015 全国 卷 )已知 A， B 是球 O 的球面上两点， AOB 90 ， C 为该球面上的动点若三棱锥
4、O ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为 ( ) A 36 B 64 C 144 D 256 解析 因为 AOB 的面积为定值，所以当 OC 垂直于平面 AOB 时，三棱锥 O ABC 的体积取得最大值由 13 12R2 R 36，得 R 6.从而球 O 的表面积 S 4 R2 144. 答案 C =【 ;精品教育资源文库 】 = 5.(2017 宝鸡模拟 )如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形， NB 2PN，则三棱锥N PAC 与三棱锥 D PAC 的体积比为 ( ) A 1 2 B 1 8 C 1 6 D 1 3 解析 设点 P， N 在平面 ABCD
5、 内的投影分别为点 P ， N ，则 PP 平面 ABCD， NN 平面 ABCD，所以 PP NN ，则在 BPP 中，由 BN 2PN 得 NNPP 23. V 三棱锥 N PAC V 三棱锥 P ABC V 三棱锥 N ABC 13S ABC PP 13S ABC NN 13S ABC( PP NN) 13S ABC 13PP 19S ABC PP ， V 三棱锥 D PAC V 三棱锥 P ACD13S ACD PP ，又 四边形 ABCD 是平行四边形， S ABC S ACD， V三棱锥 N PACV三棱锥 D PAC 13.故选 D. 答案 D 二、填空题 6现有橡皮 泥制作的底
6、面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 _ 解析 设新的底面半径为 r，由题意得 13 r24 r28 135 24 2 28 ，解得 r 7. 答案 7 7已知底面边长为 1，侧棱长为 2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为 _ 解析 依题意可 知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为 R，则 2R12 12 2 2 2， 解得 R 1， 所以 V 43 R3 43 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 43 8 (2017 郑州质检 )
7、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 _ 解析 由三视图可知，该几何体是一个底面半径为 1，高为 2 的圆柱和底面半径为 1，高为 1的半圆锥拼成的组合体 体积 V 1 22 12 13 1 21 136 . 答案 136 三、解答题 9已知一个几何体的三视图如图所示 . (1)求此几何体的表面积； (2)如果点 P， Q 在主视图中所示位置， P 为所在线段中点， Q 为顶点，求在几何体表面上，从 P 点到 Q 点的最短路径的长 解 (1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和 S 圆锥侧 12(2 a)( 2
8、a) 2 a2， S 圆柱侧 (2 a)(2 a) 4 a2， =【 ;精品教育资源文库 】 = S 圆柱底 a2， 所以 S 表 2 a2 4 a2 a2 ( 2 5) a2. (2)沿 P 点与 Q 点所在母线剪开圆柱侧面，如图 则 PQ AP2 AQ2 a2 a 2 a 1 2， 所以从 P 点到 Q 点在侧面上的最短路径的长为 a 1 2. 10 (2015 全国 卷 )如图，长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 16， BC 10， AA1 8，点 E， F分别在 A1B1， D1C1上， A1E D1F 4.过点 E， F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 (
9、1)在图中画出这个正方形 (不必说明画法和理由 )； (2)求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值 解 (1)交线围成的正方形 EHGF 如图所示 (2)如图，作 EM AB，垂足为 M，则 AM A1E 4， EB1 12， EM AA1 8. 因为四边形 EHGF 为正方形，所以 EH EF BC 10. 于是 MH EH2 EM2 6， AH 10， HB 6. 故 S 四边形 A1EHA 12(4 10)8 56， S 四边形 EB1BH 12(12 6)8 72. 因为长方体被平面 分成两个高为 10 的直棱柱， 所以其体积的比值为 97? ?79也正确 . 11若某一几何体的主视
10、图与左视图均为边长是 1 的正方形，且其体积为 12，则该几何体的俯视图可以是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 若俯视图为 A，则该几何体为正方体，其体积为 1，不满足条件若俯视图为 B，则该几何体为 圆柱，其体积为 ? ?12 21 4 ，不满足条件若俯视图为 C，则该几何体为三棱柱，其体积为 12111 12，满足条件若俯视图为 D，则该几何体为圆柱的 14，体积为 141 4 ，不满足条件 答案 C 12 (2015 全国 卷 )圆柱被一个平面截去一部分后与半球 (半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的 主视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为 16 20 ，则
11、 r ( ) A 1 B 2 C 4 D 8 解析 该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为 r，圆柱的底面半径为 r，高为 2r，如图 则表面积 S 124 r2 r2 (2r)2 r2 r (5 4)r2， 又 S 16 20 ， (5 4)r2 16 20 ，解得 r 2. 答案 B 13.圆锥被一个平面截去一部分，剩余部分再被另一个平面截去一部分后，与半球 (半径为r)组成一个几何体，该几何 体三视图中的主视图和俯视图如图所示，若 r 1，则该几何体的体积为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 根据三视图中的主视图和俯视图知，该几何体是由一个半径 r 1 的半球，一个
12、底面半径 r 1、高 2r 2的 14圆锥组成的，则其体积为 V 43 r3 12 13 r22 r 14 56 . 答案 56 14四面体 ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱 AD， BC 的平面分别交四面体的棱 AB， BD，DC， CA 于点 E， F， G， H. (1)求四面体 ABCD 的体积； (2)证明：四边形 EFGH 是矩形 (1)解 由该四面体的三视图可知， BD DC， BD AD， AD DC， BD DC 2， AD 1， 又 BD DC D， AD 平面 BDC， 四面体 ABCD 的体积 V 13 12221 23. (2)证明 BC 平面 EFGH，平面 EFGH 平面 BDC FG， 平面 EFGH 平面 ABC EH， BC FG， BC EH， FG EH. 同理， EF AD， HG AD， EF HG， 四边形 EFGH 是平行四边形 又 AD 平面 BDC， BC 平面 BDC， AD BC， EF FG， 四边形 EFGH 是矩形 .
