1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 8 讲 立体几何中的向量方法 (二 ) 求空间角 一、选择题 1.(2016 长沙模拟 )在正方体 A1B1C1D1 ABCD 中 ， AC 与 B1D 所成的角的大小为 ( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 解析 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 设正方体边长为 1， 则 A(0，0， 0)， C(1， 1， 0)， B1(1， 0， 1)， D(0， 1， 0). AC (1， 1， 0)， B1D ( 1， 1， 1)， AC B1D 1( 1) 11 0( 1) 0， AC B1D ， AC 与 B1D 所成的角为 2. 答案 D 2.(
2、2017 郑州调研 )在正方体 ABCD A1B1C1D1中 ， BB1与平面 ACD1所成角的正弦值为 ( ) A. 32 B. 33 C.35 D.25 解析 设正方体的棱长为 1， 以 D 为坐标原点 ， DA， DC， DD1所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴 ， 建立空间直角坐标系 ， 如图所示 .则 B(1， 1，0)， B1(1， 1， 1)， A(1， 0， 0)， C(0， 1， 0)， D1(0， 0， 1)， 所以 BB1 (0， 0， 1)， AC ( 1， 1， 0)， AD1 ( 1， 0， 1). 令平面 ACD1的法向 量为 n (x， y， z)， 则
3、 n AC x y 0， n AD1 x z 0， 令 x 1， 可得 n (1， 1， 1)， 所以 sin |cos n， BB1 | 131 33 . 答案 B 3.在正方体 ABCD A1B1C1D1中 ， 点 E 为 BB1的中点 ， 则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为 ( ) A.12 B.23 C. 33 D. 22 解析 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz， 设棱长为 1， 则 A1(0， 0， 1)， =【 ;精品教育资源文库 】 = E? ?1， 0， 12 ， D(0， 1， 0)， A1D (0， 1， 1)， A1E ?
4、?1， 0， 12 ， 设平面 A1ED 的一个法向量为 n1 (1， y， z)， 所以有?A1D n1 0，A1E n1 0，即?y z 0，1 12z 0， 解得?y 2，z 2. n1 (1， 2， 2). 平面 ABCD 的一个法向量为 n2 (0， 0， 1)， cos n1， n2 23 1 23. 即所成的锐二面角的余弦值为 23. 答案 B 4.(2017 西安调研 )已知六面体 ABC A1B1C1 是各棱长均等于 a 的正三棱柱 ， D 是侧棱 CC1的中点 ， 则直线 CC1与平面 AB1D 所成的角为 ( ) A.45 B.60 C.90 D.30 解析 如图所示 ，
5、 取 AC 的中点 N， 以 N 为坐标原点 ，建立空间直角坐标系 . 则 A? ?0， a2， 0 ， C? ?0， a2， 0 ， B1? ?3a2 ， 0， a ， D? ?0， a2， a2 ， C1? ?0， a2， a ， AB1 ? ?3a2 ， a2， a ， AD ? ?0， a， a2 ， CC1 (0， 0， a). 设平面 AB1D 的法向量为 n (x， y， z)， 由 n AB1 0， n AD 0， 可取 n ( 3， 1， 2). cos CC1 ， n CC1 n|CC1 |n| 2aa2 2 22 ， 直线 CC1与平面 AB1D 所成的角为 45 . 答
6、案 A 5.设正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2， 则点 D1到平面 A1BD 的距离是 ( ) A. 32 B. 22 C.2 23 D.2 33 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 如图建立坐标系 .则 D1(0， 0， 2)， A1(2， 0， 2)， B(2， 2， 0)， D1A1 (2， 0， 0)， DB (2， 2， 0)， 设平面 A1BD 的一个法向量 n (x， y， z)， 则?n DA1 0，n DB 0，?2x 2z 0，2x 2y 0， 令 z 1， 得 n ( 1， 1， 1). D1到平面 A1BD 的距离 d |D1A1 n|n| 232 3
7、3 . 答案 D 二、填空题 6.(2017 新余 月考 )如图所示 ， 在三棱柱 ABC A1B1C1中 ， AA1 底面 ABC，AB BC AA1， ABC 90， 点 E， F 分别是棱 AB， BB1的中点 ， 则直线EF 和 BC1所成的角是 _. 解析 以 BC 为 x 轴 ， BA 为 y 轴 ， BB1为 z 轴 ， 建立空间直角坐标系 .设 AB BC AA1 2， 则 C1(2， 0， 2)， E(0， 1， 0)， F(0， 0， 1)， 则 EF (0， 1， 1)， BC1 (2， 0， 2)， EF BC1 2， cos EF ， BC1 22 2 2 12， E
8、F 和 BC1所成的角为 60 . 答案 60 7.在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中 ， AA1 2AB， 则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于_. 解析 以 D 为坐标原点 ， 建立空间直角坐标系 ， 如图 .设 AA1 2AB 2，则 D(0， 0， 0)， C(0， 1， 0)， B(1， 1， 0)， C1(0， 1， 2)， 则 DC (0， 1，0)， DB (1， 1， 0)， DC1 (0， 1， 2). 设平面 BDC1的一个法向量为 n (x， y， z)， 则 n DB ， n DC1 ， 所以有?x y 0，y 2z 0， 令 y 2， 得平面 BD
9、C1的一个法向量为 n (2， 2， 1). 设 CD 与平面 BDC1所成的角为 ， 则 sin |cos n， DC |?n DC|n|DC | 23. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 23 8.已知点 E， F 分别在正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 BB1， CC1上 ， 且 B1E 2EB， CF 2FC1， 则平面 AEF 与平面 ABC 所成的二面角的正切值等于 _. 解析 延长 FE， CB 相交于点 G， 连接 AG， 如图所示 . 设正方体的棱长为 3， 则 GB BC 3， 作 BH AG 于点 H， 连接 EH， 则 EHB 为所求二面角的平面角 . BH
10、 3 22 ， EB 1， tan EHB EBBH 23 . 答案 23 三、解答题 9.(2015 全国 卷 )如图 ， 四边形 ABCD 为菱形 ， ABC 120，E， F 是平面 ABCD 同一侧的两点 ， BE 平面 ABCD， DF平面 ABCD，BE 2DF， AE EC. (1)证明：平面 AEC 平面 AFC， (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 . (1)证明 如图 ， 连接 BD， 设 BD AC G， 连接 EG， FG， EF. 在菱形 ABCD 中 ， 不妨设 GB 1.由 ABC 120， 可得 AG GC3. 由 BE 平面 ABCD， AB B
11、C， 可知 AE EC. 又 AE EC， 所以 EG 3， 且 EG AC. 在 Rt EBG 中 ， 可得 BE 2， 故 DF 22 . 在 Rt FDG 中 ， 可得 FG 62 . 在直角梯形 BDFE 中 ， 由 BD 2， BE 2， DF 22 ， 可得 EF 3 22 ， 从而 EG2 FG2 EF2， 所以 EG FG. 又 AC FG G， 可得 EG 平面 AFC. 因为 EG 平面 AEC， 所以平面 AEC 平面 AFC. (2)解 如图 ， 以 G 为坐标原点 ， 分别以 GB ， GC 的方向为 x 轴 ， y 轴正方向 ， |GB |为单位长度 ， 建立空间直
12、角坐标系 G xyz， =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 (1)可得 A(0， 3， 0)， E(1， 0， 2)， F? ? 1， 0， 22 ， C(0， 3， 0). 所以 AE (1， 3， 2)， CF ? ? 1， 3， 22 . 故 cos AE ， CF AE CF|AE |CF | 33 . 所以直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为 33 . 10.(2016 全国 卷 )如图 ， 在以 A， B， C， D， E， F 为顶点的五面体中 ， 平面 ABEF 为正方形 ， AF 2FD， AFD 90， 且二面角 D AF E 与二面角 C BE F 都是 60 .
13、 (1)证明：平面 ABEF 平面 EFDC； (2)求二面角 E BC A 的余弦值 . (1)证明 由已知可得 AF DF， AF EF， 所以 AF 平面 EFDC. 又 AF 平面 ABEF， 故平面 ABEF 平面 EFDC. (2)解 过 D 作 DG EF， 垂足为 G. 由 (1)知 DG 平面 ABEF. 以 G 为坐标原点 ， GF 的方向为 x 轴正方向 ， |GF |为单位长 ， 建立如图所示的空间直角坐标系 G xyz. 由 (1)知 DFE 为二面角 D AF E 的平面角 ， 故 DFE 60，则 |DF| 2， |DG| 3. 可得 A(1， 4， 0)， B(
14、 3， 4， 0)， E( 3， 0， 0)， D(0， 0， 3). 由已知得 AB EF， 所以 AB 平面 EFDC. 又平面 ABCD 平面 EFDC CD， 故 AB CD， CD EF. 由 BE AF， 可得 BE 平面 EFDC， 所以 CEF 为二面角 C BE F 的平面角 ， CEF 60 . 从而可得 C( 2， 0， 3). 所以 EC (1， 0， 3)， EB (0， 4， 0)， AC ( 3， 4， 3)， AB ( 4， 0， 0). 设 n (x， y， z)是平面 BCE 的法向量 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则?n EC 0，n EB 0，即
15、 ?x 3z 0，4y 0， 所以可取 n (3， 0， 3). 设 m 是平面 ABCD 的法向量 ， 则?m AC 0，m AB 0，同理可取 m (0， 3， 4). 则 cos n， m n m|n|m| 2 1919 . 故二面角 E BC A 的余弦值为 2 1919 . 11.(2017 济南质检 )如图所示 ， 在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC A1B1C1， CA CC1 2CB， 则直线 BC1与直线 AB1夹角的余弦值为( ) A. 55 B. 53 C.2 55 D.35 解析 不妨令 CB 1， 则 CA CC1 2， 可得 O(0， 0， 0)， B(0， 0，
16、1)， C1(0， 2， 0)， A(2，0， 0)， B1(0， 2， 1)， BC1 (0， 2， 1)， AB1 ( 2， 2， 1)， cos BC1 ， AB1 BC1 AB1|BC1 |AB1 | 4 15 9 15 55 0. BC1 与 AB1 的夹角即为直线 BC1与直线 AB1的夹角 ， 直线 BC1与直线 AB1夹角的余弦值为 55 . 答案 A 12.在正四棱锥 S ABCD 中 ， O 为顶点在底面上的射影 ， P 为侧棱 SD 的中点 ， 且 SO OD，则直线 BC 与平面 PAC 所成的角是 ( ) A.30 B.45 C.60 D.90 解析 如图 ， 以 O 为原点建立空间直角坐标系 O xyz. 设 OD SO OA OB OC a.则 A(a， 0， 0)， B(0， a， 0)， C( a， 0，0)， P? ?
