1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 9.5 椭 圆 最新考纲 考情考向分析 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质 . 椭圆的定义、标准方程、简单性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中题型主要以选择、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问 . 1椭圆的概念 把平面内到两个定点 F1， F2的距离之和等于常数 (大于 |F1F2|)的点的集合叫作 椭圆 这两个定点叫作椭圆的 焦点 ，两焦点间的距离叫作椭圆的 焦距 集合 P M|MF1| |MF2| 2a， |F1F2|
2、 2c，其中 a0， c0，且 a， c 为常数： (1)若 ac，则集合 P 为椭圆； (2)若 a c，则集合 P 为线段； (3)若 ab0) y2a2x2b2 1(ab0) 图形 性质 范围 a x a b y b b x b a y a 对称性 对称轴：坐标 轴 对称中心：原点 顶点坐标 A1( a,0)， A2(a,0) B1(0， b)， B2(0， b) A1(0， a)， A2(0， a) B1( b,0)， B2(b,0) 轴 长轴 A1A2的长为 2a；短轴 B1B2的长为 2b =【 ;精品教育资源文库 】 = 焦距 |F1F2| 2c 离心率 e ca(0,1) a，
3、 b， c的关系 a2 b2 c2 知识拓展 点 P(x0， y0)和椭圆的位置关系 (1)点 P(x0， y0)在椭圆内 ?x20a2y20b21. 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)平面内与两个定点 F1， F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 ( ) (2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1， F2构成 PF1F2的周长为 2a 2c(其中 a 为椭圆的长半轴长， c为椭圆的半焦距 ) ( ) (3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆 ( ) (4)方程 mx2 ny2 1(m0， n0， m n)表示的曲线是椭圆 ( ) (5)y2a2x2
4、b2 1(a b)表示焦点在 y 轴上的椭圆 ( ) (6)x2a2y2b2 1(ab0)与y2a2x2b2 1(ab0)的焦距相等 ( ) 题组二 教材改编 2椭圆 x210 my2m 2 1 的焦距为 4，则 m 等于 ( ) A 4 B 8 C 4 或 8 D 12 答案 C 解析 当焦点在 x 轴上时， 10 mm 20， 10 m (m 2) 4， m 4. 当焦点在 y 轴上时， m 210 m0， m 2 (10 m) 4， m 8. =【 ;精品教育资源文库 】 = m 4 或 8. 3过点 A(3， 2)且与椭圆 x29y24 1 有相同焦点的椭圆的方程为 ( ) A.x21
5、5y210 1 B.x225y220 1 C.x210y215 1 D.x220y215 1 答案 A 解析 由题意知 c2 5，可设椭圆方程为 x2 5y2 1( 0)，则9 54 1，解得 10 或 2(舍去 )， 所求椭圆的方程为 x215y210 1. 4已知点 P 是椭圆 x25y24 1 上 y 轴右侧的一点，且以点 P 及焦点 F1， F2为顶点的三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为 _ 答案 ? ?152 ， 1 或 ? ?152 ， 1 解析 设 P(x， y)，由题意知 c2 a2 b2 5 4 1， 所以 c 1，则 F1( 1,0)， F2(1,0)由题意可得点 P
6、 到 x 轴的距离为 1，所以 y 1 ，把 y 1 代入 x25y24 1，得 x 152 ，又 x0，所以 x152 ， 所以 P 点坐标为 ? ?152 ， 1 或 ? ?152 ， 1 . 题组三 易错自纠 5若方程 x25 my2m 3 1 表示椭圆，则 m 的取值范围是 ( ) A ( 3,5) B ( 5,3) C ( 3,1)(1,5) D ( 5,1)(1,3) 答案 C 解析 由方程表示椭圆知? 5 m0，m 30，5 m m 3，解得 3b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，离心率为33 ，过 F2的直线 l交 C 于 A， B 两点，若 AF1B 的周长为 4 3，则
7、 C 的方程为 ( ) A.x23y22 1 B.x23 y2 1 C.x212y28 1 D.x212y24 1 答案 A 解析 AF1B 的周长为 4 3， 4 a 4 3， a 3， 离心率为 33 ， c 1， b a2 c2 2， 椭圆 C 的方程为 x23y22 1. 故选 A. 第 1 课时 椭圆及其性质 题型一 椭圆的定义及应用 1.如图所示，一圆形纸片的圆心为 O， F 是圆内一定点， M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M与 F 重合，然后抹平纸片，折痕 为 CD，设 CD 与 OM 交于点 P，则点 P 的轨迹是 ( ) A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆 =【 ;精品教育资
8、源文库 】 = 答案 A 解析 由条件知 |PM| |PF|， | PO| |PF| |PO| |PM| |OM| R|OF|. P 点的轨迹是以 O， F 为焦点的椭圆 2过椭圆 4x2 y2 1 的一个焦点 F1的直线与椭圆交于 A， B 两点，则 A 与 B 和椭圆的另一个焦点 F2构成的 ABF2的周长为 ( ) A 2 B 4 C 8 D 2 2 答案 B 解析 椭圆方程变形为 y21x214 1， 椭圆长轴长 2a 2， ABF2的周长为 4a 4. 3 (2017 承德模拟 )椭圆 x24 y2 1 的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F1作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一个
9、交点为 P，则 |PF2|等于 ( ) A.72 B. 32 C. 3 D 4 答案 A 解析 F1( 3， 0)， PF1 x 轴， P? ? 3， 12 ， | PF1 | 12， | PF2 | 4 12 72. 4 (2017 呼和浩特模拟 )已知 F 是椭圆 5x2 9y2 45 的左焦点， P 是此椭圆上的动点， A(1,1)是一定点，则 |PA| |PF|的最大值为 _，最小值为 _ 答案 6 2 6 2 解析 椭圆方程化为 x29y25 1， 设 F1是椭圆的右焦点，则 F1(2,0)， | AF1| 2， | PA| |PF| |PA| |PF1| 6， 又 |AF1| PA
10、| |PF1| AF1|(当 P， A， F1共线时等号成立 )， | PA| |PF|6 2， |PA| |PF|6 2. 思维升华 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和=【 ;精品教育资源文库 】 = 离心率等 (2)通常定义和余弦定理结合使用 ，求解关于焦点三角形的周长和面积问题 =【 ;精品教育资源文库 】 = 题型二 椭圆的标准方程 命题点 1 利用定义法求椭圆的标准方程 典例 (1)(2018 济南调研 )已知两圆 C1： (x 4)2 y2 169， C2： (x 4)2 y2 9，动圆在圆C1内部且和圆 C1相
11、内切，和圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为 ( ) A.x264y248 1 B.x248y264 1 C.x248y264 1 D.x264y248 1 答案 D 解析 设圆 M 的半径为 r， 则 |MC1| |MC2| (13 r) (3 r) 168 |C1C2|， 所以 M 的轨迹是以 C1， C2为焦点的椭圆， 且 2a 16,2c 8， 故所求的轨迹方程为 x264y248 1. (2)在 ABC 中， A( 4,0)， B(4,0)， ABC 的周长是 18，则顶点 C 的轨迹方程是 ( ) A.x225y29 1(y0) B.y225x29 1(y0) C.x216
12、y29 1(y0) D.y216x29 1(y0) 答案 A 解析 由 |AC| |BC| 18 8 108 知，顶点 C 的轨迹是以 A， B 为焦点的椭圆 (A， B， C 不共线 )设其方程为 x2a2y2b2 1(ab0)，则 a 5， c 4，从而 b 3.由 A， B， C 不共线知 y0.故顶点 C 的轨 迹方程是 x225y29 1(y0) 命题点 2 利用待定系数法求椭圆方程 典例 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 ? ? 32， 52 ， ( 3， 5)，则椭圆方程为 _ 答案 y210x26 1 解析 设椭圆方程为 mx2 ny2 1(m， n0，
13、 m n) =【 ;精品教育资源文库 】 = 由? ? 322m?522n 1，3m 5n 1，解得 m 16， n 110. 椭圆方程为 y210x26 1. (2)过点 ( 3， 5)，且与椭圆 y225x29 1有相同焦点的椭圆的标准方程为 _ 答案 y220x24 1 解析 方法一 椭圆 y225x29 1 的焦点为 (0， 4)， (0,4)，即 c 4. 由椭圆的定义知， 2a ? 3 0?2 ? 5 4?2 ? 3 0?2 ? 5 4?2，解得 a 2 5. 由 c2 a2 b2可得 b2 4， 所求椭圆的标准方程为 y220x24 1. 方法二 所求椭圆与椭圆 y225x29
14、1 的焦点相同， 其焦点在 y 轴上，且 c2 25 9 16. 设它的标准方程为 y2a2x2b2 1(ab0) c2 16，且 c2 a2 b2，故 a2 b2 16. 又点 ( 3， 5)在所求椭圆上， ? 5?2a2 ? 3?2b2 1， 即 5a2 3b2 1. 由 得 b2 4， a2 20， 所求椭圆的标准方程为 y220x24 1. 思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法 (2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件 2a|F1F2|；利用待定系数法要先定形 (焦点位置 )，再定量，也可把椭圆方程设为 mx2 ny2 1(m0， n0， m n)的形式 跟踪训练 设
15、 F1， F2分别是椭圆 E： x2 y2b2 1(0b1)的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E=【 ;精品教育资源文库 】 = 于 A， B 两点若 |AF1| 3|F1B|， AF2 x 轴，则椭圆 E 的方程为 _ 答案 x2 32y2 1 解析 设点 B 的坐标为 (x0， y0) x2 y2b2 1， F1( 1 b2， 0)， F2( 1 b2， 0) AF2 x 轴，设点 A 在 x 轴上方，则 A( 1 b2， b2) | AF1| 3|F1B|， AF1 3F1B ， ( 2 1 b2， b2) 3(x0 1 b2， y0) x0 53 1 b2， y0 b23. 点 B 的坐标为 ? ? 53 1 b2， b23 . 将 B? ? 53 1 b2， b23 代入 x2 y2b2 1，得 b2 23. 椭圆 E 的方程为 x2 3
