1、2020-2021学年广东省广州市、深圳市四校（广雅、华附、省实、深中）联考高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分钟1（5分）已知集合A0，1，2，3，4，Bx|log2x1，则AB（）A2，3，4B2，3C2，4D3，42（5分）已知zC，则“z2|z|2”是“z为纯虚数”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件3（5分）多项选择题是新高考数学试卷中增加的新题型，四个选项A，B，C，D中至少有两个选项正确，并规定：如果选择了错误选项就不得分若某题的正确答案是ABC，某考生随机
2、选了两项，则其能得分的概率为（）A16B13C12D234（5分）若（xa）（1+2x）5的展开式中x3的系数为20，则a（）A-14B14C-12D125（5分）已知四边形ABCD满足AD=14BC，点M满足DM=MC，若BM=xAB+yAD，则x+y（）A3B52C2D-126（5分）已知为第四象限角，且sin(+6)=-35，则cos（）A43-310B-43-310C33-410D43-3107（5分）蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，
3、蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A、B、C、D，满足ABCD5，BDAC6，ADBC7，则该鞠的表面积为（）A68B63C60D558（5分）已知函数f(x)=xex-xex，且af（log3e），bf（log30.5），cf（ln3），则a，b，c的大小为（）AcabBacbCbcaDcba二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分.（多选）9（5分）函数f（x）Asin（x+）（A0，0，0）的部分图象如图所示，则下列结论中
4、正确的是（）Af（x）的最小正周期为2Bf（x）的最大值为2Cf（x）在区间-512，12上单调递增Df(x+6)为偶函数（多选）10（5分）已知由样本数据点集合（xi，yi）|i1，2，20（其中x=120i=120 xi=3）求得的回归直线方程l1：y=1.5x+0.5，记此模型对应的相关指数为R12观察残差图发现：除了数据点（1.2，2.2）和（4.8，7.8）明显偏离横轴，其余各点均密集均匀分布，剔除这两个数据点后重新求得的回归直线方程l2：y=1.2x+a，记此模型对应的相关指数为R22，则下列结论中正确的是（）A变量x与y正相关B记y=120i=120 yi，则y=5CR12R22
5、Da=1.4（多选）11（5分）设F是抛物线C：y24x的焦点，直线l：xty+1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）A|AB|4BOAOB可能大于0C若P（2，2），则|PA|+|AF|3D若在抛物线上存在唯一一点Q（异于A，B），使得QAQB，则t3（多选）12（5分）已知函数f（x）axlnx+（lnx）2，下列关于f（x）的说法中正确的是（）A当且仅当a0时，f（x）有唯一的零点Bf（x）最多有两个极值点C若a0，则f（x）仅有一个极值点D若f（x）无极值点，则a(-，-1e三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知，是两个不同的平面，m
6、，n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：（1）mn；（2） （3）n （4）m以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： （答案不唯一，写出一个即可）14（5分）若直线l：ax+by50（ab0）始终平分圆C：（x3）2+（y2）225的周长，则3a+2b的最小值为 15（5分）已知公差不为0的等差数列an满足a52+a62a72+a82，则S12 16（5分）在三棱锥PABC中，侧面PAB，侧面PAC，侧面PBC与底面所成的角均为3，若AB2，CA+CB4，且ABC是锐角三角形，则三棱锥PABC体积的取值范围为 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应
7、写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）在Sn+12Sn+2；an+1-an=2n；Snan+12这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答已知数列an的前n项和为Sn，a12，且满足_（1）求数列an的通项公式；（2）记bn=n+12n，求数列bn的前n项和为Tn18（12分）智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”现在某社区随机抽取
8、了20人用两种体温计进行体温检测，数据如表用频率估计概率，解答下列问题：序号12345678910智能体温计测温36.636.636.536.536.536.436.236.336.536.3水银体温计测温36.636.536.736.536.436.436.236.436.536.4序号11121314151617181920智能体温计测温36.336.736.235.435.235.637.236.836.636.7水银体温计测温36.236.736.235.435.335.63736.836.636.7（1）从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量X为使用智能体温计测温“测
9、温准确”的人数，求X的分布列与数学期望值；（2）医学上通常认为，人的体温不低于37.3且不高于38时处于“低热”状态该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是37.3，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由19（12分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且若a2+c2+acb2.D为BC的中点，AD=3，记BAD（1）若=6，求AB的值；（2）求a+2c的取值范围20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PAADCD2，BC3，E为PD中点，点F在线段PC上，且DF平面PAB（1）求证：AE平
10、面PCD；（2）求二面角FAEP的正弦值21（12分）（1）（）证明：xR，exx+1；（）证明：x0时，x2+ex-eex-10；（2）若关于x的不等式alnx+xex1恒成立，求实数a的值22（12分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右顶点分别是A1、A2，且经过点M(4，6)，双曲线的右焦点F2到渐近线的距离是2不与坐标轴平行的直线l与双曲线交于P、Q两点（异于A1、A2），P关于原点O的对称点为S（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线A1S与直线A2Q相交于点T，直线OT与直线PQ相交于点R，证明：在双曲线上存在定点E，使得RME的面积为定值，并求出该定值20
11、20-2021学年广东省广州市、深圳市四校（广雅、华附、省实、深中）联考高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分钟1（5分）已知集合A0，1，2，3，4，Bx|log2x1，则AB（）A2，3，4B2，3C2，4D3，4【解答】解：A0，1，2，3，4，Bx|x2，AB3，4故选：D2（5分）已知zC，则“z2|z|2”是“z为纯虚数”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件【解答】解：对于复数z，若z2|z|2，z不一定为纯虚数，可以为0，充分性不成立，若z为
12、纯虚数，设zbi（bR，且b0），z2b2，|z|2b2，z2|z|2，必要性成立，z2|z|2是z为纯虚数的必要非充分条件故选：B3（5分）多项选择题是新高考数学试卷中增加的新题型，四个选项A，B，C，D中至少有两个选项正确，并规定：如果选择了错误选项就不得分若某题的正确答案是ABC，某考生随机选了两项，则其能得分的概率为（）A16B13C12D23【解答】解：四个选项A，B，C，D中至少有两个选项正确，并规定：如果选择了错误选项就不得分某题的正确答案是ABC，某考生随机选了两项，基本事件总数n=C42=6，其中其能得分包含的基本事件个数m=C32=3，其能得分的概率为P=mn=36=12故
13、选：C4（5分）若（xa）（1+2x）5的展开式中x3的系数为20，则a（）A-14B14C-12D12【解答】解：由于（xa）（1+2x）5的展开式中x3的系数为C5222aC532320，则a=14，故选：B5（5分）已知四边形ABCD满足AD=14BC，点M满足DM=MC，若BM=xAB+yAD，则x+y（）A3B52C2D-12【解答】解：四边形ABCD满足AD=14BC，点M满足DM=MC，BC=4AD，故点M为线段DC的中点，BM=BD+BC2=BA+AD+4AD2=-12AB+52AD又BM=xAB+yAD，x=-12，y=52，故 x+y2，故选：C6（5分）已知为第四象限角，
14、且sin(+6)=-35，则cos（）A43-310B-43-310C33-410D43-310【解答】解：为第四象限角，且sin(+6)=-35，cos(+6)=1-sin2(+6)=1-(-35)2=45，cos(+6)-6=cos(+6)cos6+sin(+6)sin6=4532+(-35)12=43-310故选：A7（5分）蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的
15、表面上有四个点A、B、C、D，满足ABCD5，BDAC6，ADBC7，则该鞠的表面积为（）A68B63C60D55【解答】解：因为ABCD，BDAC，ADBC，所以可以把A，B，C，D四点放到长方体的四个顶点上，则该长方体的体对角线就是“鞠”的直径设该长方体的长、宽、高分别为x，y，z，“鞠”的半径为R，则（2R）2x2+y2+z2因为x2+y225，x2+z236，y2+z249，所以R2=1108=554，所以S4R255故选：D8（5分）已知函数f(x)=xex-xex，且af（log3e），bf（log30.5），cf（ln3），则a，b，c的大小为（）AcabBacbCbcaDcba
16、【解答】解：f(x)=xex-xex，定义域是R，而f（x）xex+xexf（x），故f（x）是偶函数，图像关于y轴对称，x0时，f（x）=(x+1)e2x+(x-1)ex，令g（x）（x+1）e2x+（x1），（x0），则g（x）（2x+3）e2x+10，g（x）在0，+）递增，而g（0）0，故g（x）0在0，+）恒成立，故f（x）0在0，+）恒成立，故f（x）在0，+）递增，在（，0）递减，而ln3log3elog32|log30.5|，故f（ln3）f（log3e）f（log32）f（log30.5），故cab，故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四
17、个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分.（多选）9（5分）函数f（x）Asin（x+）（A0，0，0）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）Af（x）的最小正周期为2Bf（x）的最大值为2Cf（x）在区间-512，12上单调递增Df(x+6)为偶函数【解答】解：由图象可知，函数f（x）的周期为T=(1112-512)2=，故选项A错误；所以=2=2，由“五点法”可得，2512+=+2k，kZ，解得=6+2k，kZ，又0，所以=6，所以f（x）Asin（2x+6），又f（x）的图象经过点（0，1），则有f（0）Asin6=1，解得A2，所以f（x）
18、2sin（2x+6），所以f（x）的最大值为2，故选项B正确；令-2+2k2x+62+2k，kZ，解得-3+kx6+k，kZ，故函数f（x）的单调递增区间为-3+k，6+k，kZ，当k0时，f（x）的单调递增区间为-3，6，故选项C错误；因为f（x+6）=2sin2(x+6)+6=2sin(2x+2)=2cos2x，所以f（x+6）为偶函数，故选项D正确故选：BD（多选）10（5分）已知由样本数据点集合（xi，yi）|i1，2，20（其中x=120i=120 xi=3）求得的回归直线方程l1：y=1.5x+0.5，记此模型对应的相关指数为R12观察残差图发现：除了数据点（1.2，2.2）和（4
19、.8，7.8）明显偏离横轴，其余各点均密集均匀分布，剔除这两个数据点后重新求得的回归直线方程l2：y=1.2x+a，记此模型对应的相关指数为R22，则下列结论中正确的是（）A变量x与y正相关B记y=120i=120 yi，则y=5CR12R22Da=1.4【解答】解：由回归直线方程l1：y=1.5x+0.5，且1.50可得变量x与y正相关，故A正确；x=3，且样本点的中心在回归直线上，y=1.5x+0.5=5，故B正确；当剔除两个数据点后其余各点均密集均匀分布，说明用回归直线方程拟合效果更好，则残差平方和变小，相关指数变大，有R12R22，故C错误；剔除两个数据点后的样本点的中心坐标没变，a=
20、y-bx=5-1.23=1.4，故D正确故选：ABD（多选）11（5分）设F是抛物线C：y24x的焦点，直线l：xty+1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）A|AB|4BOAOB可能大于0C若P（2，2），则|PA|+|AF|3D若在抛物线上存在唯一一点Q（异于A，B），使得QAQB，则t3【解答】解：A选项，F（1，0），所以直线l过焦点F，所以|AB|2p4，A选项说法正确设A（x1，y1），B（x2，y2），联立x=ty+1y2=4x，得y24ty40，所以y1+y24t，y1y24，所以x1+x2=t(y1+y2)+2=4t2+2，x1x2=y124y224
21、=1B选项，OAOB=x1x2+y1y2=1+（4）30，B选项说法错误C选项，抛物线的准线方程为x1，则P点到准线的距离为d2+13，从而|PA|+|AF|d3，C选项说法正确D选项，设Q(m24，m)，由QAQB，有QAQB=0，即(x1-m24)(x2-m24)+(y1-m)(y2-m)=0，代入韦达定理，整理得（m2+4tm+12）（m24tm4）0，因为Q点唯一，且异于A、B两点，所以关于m的方程m2+4tm+120有两个相同的实数根由0，解得t=3，故D选项说法正确故选：ACD（多选）12（5分）已知函数f（x）axlnx+（lnx）2，下列关于f（x）的说法中正确的是（）A当且仅
22、当a0时，f（x）有唯一的零点Bf（x）最多有两个极值点C若a0，则f（x）仅有一个极值点D若f（x）无极值点，则a(-，-1e【解答】解：f（x）axlnx+（lnx）2lnx（ax+lnx），对于A，当a0时，f（x）（lnx）2，令f（x）0，得x1，所以当a0时，f（x）有唯一零点，若f（x）有唯一零点，则ax+lnx0或ax+lnx0的根为1，所以a-lnxx或a0，令g（x）=-lnxx（x0），g（x）=(-1x)x-(-lnx)x2=-1+lnxx2，所以在（e，+）上，g（x）0，g（x）单调递增，在（0，e）上，g（x）0，g（x）单调递减，所以g（x）ming（e）=-1
23、e，所以a-1e，所以若f（x）有唯一零点，则a-1e或a0，故A错误；对于B，f(x)=a(lnx+1)+2lnxx（x0），f（1e）0，令f（x）0，可得ag（x）=-2lnxx(lnx+1)（x0且x1e），g（x）2ln2x+lnx-1x2(lnx+1)2，令g（x）0，可得lnx1=-1-52，lnx2=-1+52，所以g（x）在（0，x1）递增，在（x1，1e）递减，在（1e，x2）递减，在（x2，+）递增，又g（1）0，g（x1）0，所以g（x）a最多有2个解，即f（x）最多有两个极值点，故B正确；对于C，当a0时，g（x）a只有一个解，即f（x）仅有一个极值点，故C正确；对于
24、D，当a时，g（x）a有2个解，此时f（x）有2个极值点，故D错误故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知，是两个不同的平面，m，n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：（1）mn；（2） （3）n （4）m以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：m，n，mn或mn，m，n（答案不唯一，写出一个即可）【解答】解：m，n，mn，由面面垂直的性质定理得mn正确；mn，m，n，由面面垂直的判定定理得正确；，n，mnm，这里m与相交、平行或m，故m不正确；mn，mn，这里n与相交、平行或n，故n不正确故答案为：m，n，mn或mn，
25、m，n14（5分）若直线l：ax+by50（ab0）始终平分圆C：（x3）2+（y2）225的周长，则3a+2b的最小值为5【解答】解：直线l：ax+by50（ab0）始终平分圆C：（x3）2+（y2）225的周长，圆C的圆心在直线l上，可得3a+2b5，又ab0，a0，b0，则3a+2b=15(3a+2b)(3a+2b)=15(13+6ba+6ab)15(13+26ba6ab)=5，当且仅当ab1时等号成立3a+2b的最小值为5故答案为：515（5分）已知公差不为0的等差数列an满足a52+a62a72+a82，则S120【解答】解：根据题意，设等差数列an的公差为d，又由a52+a62a7
26、2+a82，则有a82a52+a72a620，变形可得（a8a5）（a8+a5）+（a7a6）（a7+a6）0，即3d（a8+a5）+d（a7+a6）4d（a7+a6）0，因为d0，则a7+a60，由等差数列的性质得4（a1+a12）0，即a1+a120，所以S120；故答案为：016（5分）在三棱锥PABC中，侧面PAB，侧面PAC，侧面PBC与底面所成的角均为3，若AB2，CA+CB4，且ABC是锐角三角形，则三棱锥PABC体积的取值范围为 （34，33【解答】解：作PO平面ABC于O，则POBC，作ODBC于D，OEAC于E，OFAB于F，连接PD，PE，PF，ODPOO，OD、PO平面
27、POD，BC平面POD，BCPD，PDO为二面角PBCA的平面角，同理可得，PEO，PFO分别为二面角PACB和二面角PABC的平面角，PDOPEOPFO=3，OEODOF=33PO，O为ABC的内心，连接AO，BO，CO，设SABCt，则tSAOB+SAOC+SBOC=12OFAB+12OEAC+12ODBC=12OD（AB+AC+BC）3OD，OD=t3，PO=3OD=33t，VPABC=13POSABC=1333tt=39t2，AC+BC4AB2，点C在以A，B为焦点的椭圆上，以AB所在直线为x轴，以AB的中垂线所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A（1，0），B（1，0），椭圆中的
28、c1，a2，b=3，椭圆的标准方程为x24+y23=1，设C（x，y），要使CAB，CBA均为锐角，则1x1，|y|32，ACB90，ACBC=（x+1，y）（x1，y）x2+y210，即4（1-y23）+y210，解得|y|3，点C在椭圆上，|y|3，|y|（32，3，SABC=12|AB|y|y|（32，3，即t（32，3，VPABC=39t2（34，33故答案为：（34，33四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）在Sn+12Sn+2；an+1-an=2n；Snan+12这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答已知数列an的前n项和
29、为Sn，a12，且满足_（1）求数列an的通项公式；（2）记bn=n+12n，求数列bn的前n项和为Tn【解答】解：若选择条件：由Sn+12Sn+2，得Sn2Sn1+2（n2），两式相减得an+12an，又当n1时，有S2a1+a22a1+2，a12，得a24，满足a22a1，所以数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an22n12n；若选择条件：由an+1-an=2n，得anan12n1，所以ananan1+an1+an2+a2a1+a12+21+22+23+2n12+2(1-2n-1)1-2=2n；若选择条件：由Snan+12，得Sn1an2（n2），两式相减得anan+1an，即
30、an+12an，所以数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an22n12n（2）根据题意，Tnb1+b2+bn=221+322+n+12n；则12Tn=222+323+n+12n+1，两式相减得12Tn1+122+123+12n-n+12n+1，所以Tn2+12+122+123+12n-1-n+12n=2+12(1-12n-1)1-12-n+12n=3-n+32n18（12分）智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温
31、结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”现在某社区随机抽取了20人用两种体温计进行体温检测，数据如表用频率估计概率，解答下列问题：序号12345678910智能体温计测温36.636.636.536.536.536.436.236.336.536.3水银体温计测温36.636.536.736.536.436.436.236.436.536.4序号11121314151617181920智能体温计测温36.336.736.235.435.235.637.236.836.636.7水银体温计测温36.236.736.235.435.335.63736.836.
32、636.7（1）从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量X为使用智能体温计测温“测温准确”的人数，求X的分布列与数学期望值；（2）医学上通常认为，人的体温不低于37.3且不高于38时处于“低热”状态该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是37.3，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由【解答】解：（1）表中20人的体温数据中，用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号是，01，04，06，07，09，12，13，14，16，18，19，20共有12种情况，估计所求的概率为1220=35，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，用智
33、能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率为35，P(X=0)=C30(35)0(1-35)3=8125，P（X1）=C31(35)1(1-35)2=36125，P(X=2)=C32(35)2(1-35)1=54125，P（X3）=C33(35)3(1-35)0=27125，故X的分布列为：X 0 1 24 P 8125 36125 5412527125 E（X）=08125+136125+254125+327125=225125=95（2）设这三人中至少有1人处于“低热”状态为事件N，表中20人的体温数据中，用智能体温计的测温结果，高于其真实体温的序号为02，05，11，17，共计4种情况，由
34、此估计从社区任意抽取1人，用智能体温计的测温结果高于其真实体温的概率为15，由此估计，这3人中至少有1人处于“低热”状态的概率为P（N）1（151515）=124125，结论1：P(N)=124125，接近于1，由此认定这三人中至少有人处于“低热”状态，结论2：P（N）=1241251，有可能这三人都不处于“低热”状态19（12分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且若a2+c2+acb2.D为BC的中点，AD=3，记BAD（1）若=6，求AB的值；（2）求a+2c的取值范围【解答】解：（1）cosB=a2+c2-b22ac=-ac2ac=-12，而0B，B=23BAD=6，
35、BDA=6在ABD中，ABsinADB=ADsinB，即ABsin6=3sin23，故AB1（2）ABD中，由B=23可知(0，3)，由正弦定理及AD=3，可得BDsin=ABsin(3-)=ADsin23=2，所以a=4sin，c=2sin(3-)，a+2c=4sin+4sin(3-)=4(12sin+32cos)=4sin(+3)，由(0，3)，可知+3(3，23)，sin(+3)(32，1，a+2c(23，420（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PAADCD2，BC3，E为PD中点，点F在线段PC上，且DF平面PAB（1）求证：AE平面PCD；（
36、2）求二面角FAEP的正弦值 【解答】解：（1）证明：PA平面ABCD，PACD，ADCD，PAADA，CD平面PAD，AE平面PAD，CDAE，PAAD2，E为PD中点，AEPD，PDCDD，AE平面PCD（2）过点D作DGAB交BC于点G，连接FG，易证DG平面PAB，DF平面PAB，DFDGD，平面DFG平面PAB，平面DFC平面PBCFG，平面PAB平面PBCPB，FGAB，PFPC=BGGC=23，如下图，以D为原点分别以DA，DC，平行于PA向上为x轴，y轴，z轴为正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，1），PF=2
37、3PC=(-43，43，-43)，可得F（23，43，23），AF=(-43，43，23)，AE=(-1，0，1)，设m=（x，y，z），为平面AEF的一个法向量，则mAE=-x+z=0mAF=-43x+43y+23z=0，可得m=(2，1，2)，设二面角FAEP的大小为，则|cos|=|mDC|m|DC|=232=13，sin=223，则二面角FAEP的正弦值为22321（12分）（1）（）证明：xR，exx+1；（）证明：x0时，x2+ex-eex-10；（2）若关于x的不等式alnx+xex1恒成立，求实数a的值【解答】解：（1）（i）令f（x）exx1，则f（x）ex1，令f（x）0可
38、得x0，令f（x）0可得x0，f（x）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增，f（x）f（0）0，即exx+1；（ii）令g(x)=x2+ex-eex-1，x0，则g(x)=2x+ex-eex-1ex=2x+ex-eex+x-1，由（i）可知eex+x-1ex+x，故g（x）2xex（ex+x）x0，所以g（x）在（，0）上单调递减，故g（x）g（0）0，即当x0时，x2+ex-eex-10；（2）令h（x）alnx+xex1，当a0时，h（x）xex1，由（1）知ex1（x1）+1x，则h（x）0恒成立，符合题意；当a0时，由（1）可知h(ea)=a2+ea-eea-10，与题意不符；当a
39、0时，h(x)=ax+1-ex-1，h(x)=-ax2-ex-10，h（x）在（0，+）单调递减，h(1)=a0，h(ea)=aea+1-eea-1a+1-ea0，x0（1，+），使得h（x0）0，且x（1，x0）时，h（x）0，故h（x）在（1，x0）单调递增，此时h（x）h（1）0，与题意不符综上，a022（12分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右顶点分别是A1、A2，且经过点M(4，6)，双曲线的右焦点F2到渐近线的距离是2不与坐标轴平行的直线l与双曲线交于P、Q两点（异于A1、A2），P关于原点O的对称点为S（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线A1S与直线
40、A2Q相交于点T，直线OT与直线PQ相交于点R，证明：在双曲线上存在定点E，使得RME的面积为定值，并求出该定值【解答】解：（1）设双曲线的右焦点F（c，0），一条渐近线为ay+bx0，联立16a2-6b2=1bca2+b2=b=2，解得a2，b=2，所以双曲线C的标准方程为x24-y22=1（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），S（x1，y1），T（x0，y0），设直线l的方程为ykx+m（k0），联立x24-y22=1y=kx+m，得（12k2）x24kmx（2m2+4）0，k22，因为0，所以m24k22，所以m0，所以x1+x2=4km1-2k2，x1x2=-(2m2+4)1-2k2，y1+y2=2m1-2k2，y1y2=m2-4k21-2k2，所以x1y2+x2y1=-8k1-2k2，由题知A1（2，0），A2（2，0），由T，S，A1三点共线可得y0x0+2=-y1-x1+2，即x0+2y0=x1-2y1，由T，Q，A2三点共线可得y0x0-2=y2x2-2，即x0-2y0=x2-2y2，相交可得2x0y0=x1-2y1+x2-2y2=x1y2+x2y1-2(y1+y2)y
