1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 7 讲 双曲线 一、选择题 1 (2017 郑州模拟 )设双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的虚轴长为 2，焦距为 2 3，则双曲线的渐近线方程为 ( ) A y 12x B y 22 x C y 2x D y 2 x 解析 因为 2b 2，所以 b 1，因为 2c 2 3，所以 c 3，所以 a c2 b2 2，所以双曲线的渐近线方程为 y bax 22 x，故选 B. 答案 B 2 (2015 广东卷 )已知双曲线 C： x2a2y2b2 1 的离心率 e54，且其右焦点为 F2(5,0)，则双曲线 C 的方程为 ( ) A.x24y23
2、 1 B.x29y216 1 C.x216y29 1 D.x23y24 1 解析 因为所求双曲线的右焦点为 F2(5,0)且离心率为 e ca 54，所以 c 5， a 4， b2 c2 a2 9，所以所求双曲线方程为 x216y29 1，故选 C. 答案 C 3 (2017 山西省四校联考 )已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(a 0， b 0)，右焦点 F 到渐近线的距离为 2，点 F 到原点的距离为 3， 则双曲线 C 的离心率 e 为 ( ) A. 53 B.3 55 C. 63 D. 62 解析 右焦点 F 到渐近线的距离为 2， F(c,0)到 y bax 的距离为 2，即 |
3、bc|a2 b2 2，又 b 0， c 0， a2 b2 c2， bcc b 2，又 点 F到原点的距离为 3， c 3， a c2 b2 5， 离 心率 e ca 35 3 55 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 B 4已知 F1， F2为双曲线 C： x2 y2 2 的左、右焦点，点 P 在 C 上， |PF1| 2|PF2|，则 cos F1PF2 ( ) A.14 B.35 C.34 D.45 解析 由 x2 y2 2，知 a b 2， c 2. 由双曲线定义， |PF1| |PF2| 2a 2 2， 又 |PF1| 2|PF2|， |PF1| 4 2， |PF2| 2 2，
4、 在 PF1F2中， |F1F2| 2c 4，由余弦定理，得 cos F1PF2 |PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1| PF2| 34. 答案 C 5 (2017 成都诊断 )过双曲线 x2 y23 1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A， B 两点，则 |AB| ( ) A.4 33 B 2 3 C 6 D 4 3 解析 由题意知，双曲线 x2 y23 1 的渐近线方程为 y 3x，将 x c 2 代入得 y2 3，即 A， B 两点的坐标分别为 (2,2 3)， (2， 2 3)，所以 |AB| 4 3. 答案 D 二、填空题 6 (2016 江
5、苏卷 )在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 x27y23 1 的焦距是 _ 解析 由已知，得 a2 7， b2 3，则 c2 7 3 10，故焦距为 2c 2 10. 答案 2 10 7 (2016 北京卷 )双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA， OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则 a _. 解析 =【 ;精品教育资源文库 】 = 取 B 为双曲线右焦点，如图所示 四边形 OABC 为正方形且边长为 2， c |OB| 2 2， 又 AOB 4 ， ba tan 4 1，即 a b. 又 a2
6、b2 c2 8， a 2. 答案 2 8 (2016 山东卷 )已知双曲线 E： x2a2y2b2 1(a 0， b 0)若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB， CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB| 3|BC|，则 E 的离心率是 _ 解析 由已知得 |AB| 2b2a ， |BC| 2c， 22b2a 32 c. 又 b2 c2 a2，整理得： 2c2 3ac 2a2 0，两边同除以 a2 得 2? ?ca 2 3? ?ca 2 0，即2e2 3e 2 0，解得 e 2 或 e 1(舍去 ) 答案 2 三、解答题 9 (2017 安徽江南十校联考 )已知双曲线的中心在原点，
7、焦点 F1， F2在坐标轴上，离心率为 2，且过点 P(4， 10) (1)求双曲线的方程； (2)若 点 M(3， m)在双曲线上，求证： MF1 MF2 0. (1)解 e 2， 可设双曲线的方程为 x2 y2 ( 0) 双曲线过点 (4， 10)， 16 10 ，即 6. 双曲线的方程为 x2 y2 6. (2)证明 法一 由 (1)可知， a b 6， c 2 3， F1( 2 3， 0)， F2(2 3， 0)， kMF1 m3 2 3， kMF2 m3 2 3， kMF1 kMF2 m29 12m23. =【 ;精品教育资源文库 】 = 点 M(3， m)在双曲线上， 9 m2 6
8、， m2 3， 故 kMF1 kMF2 1， MF1 MF2. MF1 MF2 0. 法二 由 (1)可知， a b 6， c 2 3， F1( 2 3， 0)， F2(2 3， 0)， MF1 ( 2 3 3， m)， MF2 (2 3 3， m)， MF1 MF2 (3 2 3)(3 2 3) m2 3 m2， 点 M(3,0)在双曲线上， 9 m2 6，即 m2 3 0， MF1 MF2 0. 10已知椭圆 C1的方程为 x24 y2 1，双曲线 C2的左、右焦点分别是 C1的左、右顶点，而 C2的左、右顶点分别是 C1的左、右焦点 (1)求双曲线 C2的方程； (2)若直线 l： y
9、kx 2与双曲线 C2恒有两个不同的交点 A 和 B，且 OA OB 2(其中 O为原点 )，求 k 的取值范围 解 (1)设双曲线 C2的方程为 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)， 则 a2 3， c2 4，再由 a2 b2 c2，得 b2 1. 故 C2的方程为 x23 y2 1. (2)将 y kx 2代入 x23 y2 1， 得 (1 3k2)x2 6 2kx 9 0. 由直线 l 与双曲线 C2交于不同的两点，得 ? 1 3k20 ， 6 2k 2 3k2 k2 0， k2 13且 k2 1. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 x1 x2 6 2k1 3k2
10、， x1x2 91 3k2. x1x2 y1y2 x1x2 (kx1 2)(kx2 2) (k2 1)x1x2 2k(x1 x2) 2 3k2 73k2 1. 又 OA OB 2，得 x1x2 y1y2 2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 3k2 73k2 1 2，即 3k2 93k2 1 0，解得13 k2 3. 由 得 13 k2 1， 故 k 的取值范围为 ? ? 1， 33 ? ?33 ， 1 . 11过双曲线 C： x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的右顶点作 x 轴的垂线，与 C 的一条 渐近线相交于点 A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A， O 两点
11、(O 为坐标原点 )，则双曲线 C的方程为 ( ) A.x24y212 1 B.x27y29 1 C.x28y28 1 D.x212y24 1 解析 由双曲线方程知右顶点为 (a,0)，不妨设其中一条渐近线方程为 y bax，因此可得点 A 的坐标为 (a， b) 设右焦点为 F(c,0)，由已知可知 c 4，且 |AF| 4，即 (c a)2 b2 16，所以有 (c a)2 b2 c2，又 c2 a2 b2，则 c 2a，即 a c2 2，所以 b2 c2 a2 42 22 12.故双曲线的方程为 x24y212 1，故选 A. 答案 A 12若双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b
12、0)上存在一点 P 满足以 |OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中 O 为坐标原点 )，则双曲线的离心 率的取值范围是 ( ) A.? ?1， 52 B.? ?1， 72 C.? ?52 ， D.? ?72 ， 解析 由条件 ， 得 |OP|2 2ab， 又 P 为双曲线上一点 ， 从而 |OP| a， 2ab a2， 2b a，又 c2 a2 b2 a2 a2454a2， e ca52 . 答案 C 13 (2016 浙江卷 )设双曲线 x2 y23 1 的左、右焦点分别为 F1， F2，若点 P 在双曲线上，=【 ;精品教育资源文库 】 = 且 F1PF2为锐角三角形，则 |PF1|
13、 |PF2|的取值范围是 _ 解析 如图，由已知可得 a 1， b 3， c 2，从而 |F1F2| 4，由对称性不妨设点 P 在右支上 ，设 |PF2| m，则 |PF1| m 2a m 2， 由于 PF1F2为锐角三角形， 结合实际意义需满足? m 2 m2 42，42 m 2 m2， 解得 1 7 m 3， 又 |PF1| |PF2| 2m 2， 2 7 2m 2 8. 答案 (2 7， 8) 14已知双曲线 y2a2x2b2 1(a 0， b 0)的一条渐近线方程为 2x y 0，且顶点到渐近线的距离为 2 55 . (1)求此双曲线的方程； (2)设 P 为双曲线上一点， A， B
14、两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 AP PB ，求 AOB 的面积 解 (1)依题意得? ab 2，|20 a|5 2 55 ，解得? a 2，b 1， 故双曲线的方程为 y24 x2 1. (2)由 (1)知双曲线的渐近线方程为 y 2 x，设 A(m,2m)， B( n,2n)，其中 m 0， n 0，由 AP PB 得点 P 的坐标为 ? ?m n2 ， m n . 将点 P 的坐标代入 y24 x2 1， 整理得 mn 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 设 AOB 2 ， tan? ? 2 2， 则 tan 12，从而 sin 2 45. 又 |OA| 5m， |OB| 5n， S AOB 12|OA|OB|sin 2 2mn 2.
