1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 6.3 等比数列及其前 n 项和 最新考纲 考情考向分析 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式 2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题 3.了解等比数列与指数函数的关系 . 以考查等比数列的通项、前 n 项和及性质为主，等比数列的证明也是考查的热点本节内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查 . 1等比数列的定义 一般地，如果一个数列 从第 2 项起， 每一项与它的前一项的比都等于同一个常数 ，那么这个数列叫作
2、等比数列，这个常数叫作等比数列的 公比 ，通常用字母 q 表示 (q0) 2等比数列的通项公式 设等比数列 an的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 an a1 qn 1(a10 ， q0) 3等比中项 如果在 a 与 b 中插入一个数 G，使得 a， G， b 成等比数列，那么根据等比数列的定义， Ga bG，G2 ab， G ab，称 G 为 a， b 的等比中项 4等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广： an am qn m(n， m N ) (2)若 an为等比数列，且 k l m n(k， l， m， n N )，则 ak al am an. (3)若 an， bn(项数相同
3、)是等比数列，则 a n( 0) ， ? ?1an， a2n， an bn， ? ?anbn仍是等比数列 5等比数列的前 n 项和公式 等比数列 an的公比为 q(q0) ，其 前 n 项和为 Sn， 当 q 1 时， Sn na1； =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 q1 时， Sn a1?1 qn?1 q a1 anq1 q . 6等比数列前 n 项和的性质 公比不为 1 的等比数列 an的前 n 项和为 Sn，则 Sn， S2n Sn， S3n S2n仍成等比数列，其公比为 qn. 知识拓展 等比数列 an的单调性 (1)满足? a10，q1 或 ? a10，01 时， an是递减数
4、列 (3)当? a10 ，q 1 时， an为常数列 (4)当 q0， b2 2， a1 a2b2 ?a2 a1?b2 12. 5设 Sn为等比数列 an的前 n 项和， 8a2 a5 0，则 S5S2 _. 答案 11 解析 设等比数列 an的公比为 q， 8 a2 a5 0， 8 a1q a1q4 0. q3 8 0， q 2， S5S2 a1?1 q5?1 q 1 qa1?1 q2? 1 q51 q21 ? 2?51 4 11. 6一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存 1 KB，然后每 3 分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的 2 倍，那么开机 _分钟，该病毒占据内存 64 M
5、B(1 MB 210 KB) 答案 48 解析 由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列 an，且 a1 2， q 2， an 2n， 则 2n 642 10 216， n 16. 即病毒共复制了 16 次 所需时间为 163 48(分钟 ) 题型一 等比数列基本量的运算 1 (2018 开封质检 )已知等比数列 an满足 a1 14， a3a5 4(a4 1)，则 a2等于 ( ) A 2 B 1 C.12 D.18 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 C 解析 由 an为等比数列，得 a3a5 a24， 又 a3a5 4(a4 1)， 所以 a24 4(a4 1)， 解得
6、 a4 2.设等比数列 an的公比为 q， 则由 a4 a1q3，得 2 14q3，解得 q 2， 所以 a2 a1q 12.故选 C. 2 (2018 济宁模拟 )已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a1 a3 52， a2 a4 54，则 Snan_. 答案 2n 1 解析 ? a1 a3 52，a2 a4 54，? a1 a1q2 52， a1q a1q3 54， 由 除以 可得 1 q2q q3 2， 解得 q 12，代入 得 a1 2， an 2 ? ?12 n 1 42n， Sn2 ? ?1 ? ?12 n1 12 4? ?1 12n ， Snan4? ?1 12n42n
7、 2n 1. 思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量 a1， n， q，an， Sn，一般可以 “ 知三求二 ” ，通过列方程 (组 )可迎刃而解 题型二 等比数列的判定与证明 典例 (2018 潍坊质检 )设数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 a1 1， Sn 1 4an 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)设 bn an 1 2an，证明：数列 bn是等比数列； (2)求数列 an的通项公式 (1)证明 由 a1 1 及 Sn 1 4an 2， 得 a1 a2 S2 4a1 2. a2 5， b1 a2 2a1 3. 又? Sn 1 4an
8、2， Sn 4an 1 2?n2 ?， 由 ，得 an 1 4an 4an 1(n2) ， an 1 2an 2(an 2an 1)(n2) bn an 1 2an， bn 2bn 1(n2) ， 故 bn是首项 b1 3，公比 为 2 的等比数列 (2)解 由 (1)知 bn an 1 2an 32 n 1， an 12n 1 an2n 34， 故 ? ?an2n 是首项为 12，公差为 34的等差数列 an2n 12 (n 1) 34 3n 14 ， 故 an (3n 1)2 n 2. 引申探 究 若将本例中 “ Sn 1 4an 2” 改为 “ Sn 1 2Sn (n 1)” ，其他不变
9、，求数列 an的通项公式 解 由已知得 n2 时， Sn 2Sn 1 n. Sn 1 Sn 2Sn 2Sn 1 1， an 1 2an 1， an 1 1 2(an 1)， n2 ， (*) 又 a1 1， S2 a1 a2 2a1 2，即 a2 1 2(a1 1)， 当 n 1 时 (*)式也成立， 故 an 1是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列， an 1 22 n 1 2n， an 2n 1. 思维升华 (1)证明一个数列 为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可 (2)利用递推关系时
10、要注意对 n 1 时的情况进行验证 跟踪训练 (2016 全国 ) 已知数列 an的前 n 项和 Sn 1 a n，其中 0. (1)证明 an是等比数列，并求其通项公式； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)若 S5 3132，求 . (1)证明 由题意得 a1 S1 1 a 1， 故 1 ， a1 11 ， a10. 由 Sn 1 a n， Sn 1 1 a n 1，得 an 1 a n 1 a n，即 an 1( 1) a n，由 a10 ， 0 得 an0 ， 所以 an 1an 1. 因此 an是首项为 11 ，公比为 1的等比数列， 于是 an 11 ? ? 1 n 1. (2
11、)解 由 (1)得 Sn 1 ? ? 1 n. 由 S5 3132得 1 ? ? 1 5 3132，即 ? ? 1 5 132. 解得 1. 题型三 等比数列性质的应用 1 (2017 郑州三模 )已知等比数列 an，且 a6 a8 4，则 a8(a4 2a6 a8)的值为 ( ) A 2 B 4 C 8 D 16 答案 D 解析 a6 a8 4， a8(a4 2a6 a8) a8a4 2a8a6 a28 (a6 a8)2 16.故选 D. 2 (2017 云南省十一校跨区调研 )已知数列 an是等比数列， Sn 为其前 n 项和，若 a1 a2 a3 4， a4 a5 a6 8，则 S12等
12、于 ( ) A 40 B 60 C 32 D 50 答案 B 解析 由等比数列的性质可知，数列 S3， S6 S3， S9 S6， S12 S9是等比数列，即数列 4,8，S9 S6， S12 S9是等比数列，因此 S12 4 8 16 32 60，故选 B. 思维升华 等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类： (1)通项公式的变形 (2)等比中项的变形 (3)前 n 项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问=【 ;精品教育资源文库 】 = 题的突破口 分类讨论思想在等比数列中的应用 典例 (12 分 )已知首项为 32的等比数列 an的前 n 项
13、和为 Sn(n N )，且 2S2， S3,4S4成等差数列 (1)求数列 an的通项公式； (2)证明： Sn 1Sn 136 (n N ) 思想方法指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前 n 项和，根据函数的单调性证明 规范解答 (1)解 设等比数列 an的公比为 q， 因为 2S2， S3， 4S4成等差数列， 所以 S3 2S2 4S4 S3，即 S4 S3 S2 S4， 可得 2a4 a3，于是 q a4a3 12.2 分 又 a1 32，所以等比数列 an的通项公式为 an 32 ? ? 12 n 1 ( 1)n 1 32n(n N ) 3
14、分 (2)证明 由 (1)知， Sn 1 ? ? 12 n， Sn 1Sn 1 ? ? 12 n 11 ? ? 12 n? 2 12n?2n 1?， n为奇数，2 12n?2n 1?， n为偶数 .6 分 当 n 为奇数时， Sn 1Sn随 n 的增大而减小， 所以 Sn 1Sn S1 1S1 32 23 136 .8 分 当 n 为偶数时， Sn 1Sn随 n 的增大而减小， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 Sn 1Sn S2 1S2 34 43 2512.10 分 故对于 n N ，有 Sn 1Sn 136.12 分 1 (2017 福建漳州八校联考 )等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S3 2， S6 18，则 S10S5等于( ) A 3 B 5 C 31 D 33 答案 D 解析 设等比数列 an的公比为 q，则由已知得 q1. S3 2， S6 18， 1 q31 q6218，得 q3 8， q 2. S10S5 1 q101 q5 1 q5 33，故选 D. 2 (2017 武汉市武昌区调研 )设公比为 q(q0)的等比数列 an的前 n 项和为 Sn.若 S2 3a2 2， S4 3a4 2，则 a1等于 ( ) A
