1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 13.3 数学归纳法 最新考纲 考情考向分析 1.了解数学归纳法的原理 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 . 以了解数学归纳法的原理为主，会用数学归纳法证明与数列有关或与不等式有关的等式或不等式在高考中以解答题形式出现，属高档题 . 数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与正整数 n 有关的数学命题的一种方法它的基本步骤是： (1)验证：当 n 取第一个值 n0(如 n0 1 或 2 等 )时，命题成立； (2)在假设当 n k(k N ， k n0)时命题成立的前提下，推出当 n k 1 时，命题成立 根 据 (1)(2)可以断定命题对一切从 n0开始
2、的正整数 n 都成立 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当 n 1 时结论成立 ( ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明 ( ) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用 ( ) (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由 n k 到 n k 1 时，项数都增加了一项 ( ) (5)用数学归纳法证明等式 “1 2 22 ? 2n 2 2n 3 1” ，验证 n 1 时，左边式子应为1 2 22 23.( ) (6)用数学归纳法证明凸 n 边形的内角和公式时， n0 3.( )
3、 题组二 教材改编 2在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 12n(n 3)条时，第一步检验 n 等于 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 1 B 2 C 3 D 4 答案 C 解析 凸 n 边形边数最小时是三角形，故第一步检验 n 3. 3已知 an满足 an 1 a2n nan 1， n N ，且 a1 2，则 a2 _， a3 _， a4 _，猜想 an _. 答案 3 4 5 n 1 题组三 易错自纠 4用数学归纳法证明 1 a a2 ? an 1 1 an 21 a (a1 ， n N )，在验证 n 1 时，等式左边的项是 ( ) A 1 B 1 a C 1 a a
4、2 D 1 a a2 a3 答案 C 解析 当 n 1 时， n 1 2， 左边 1 a1 a2 1 a a2. 5对于不等式 n2 n0，整数 p1， n N . (1)证明：当 x 1 且 x 0 时， (1 x)p1 px； (2)数列 an满足 a1 1pc ， an 1 p 1p an cpa1 pn .证明： anan 1 1pc . 证明 (1) 当 p 2 时， (1 x)2 1 2x x21 2x，原不等式成立 假设当 p k(k2 ， k N )时，不等式 (1 x)k1 kx 成立 则当 p k 1 时， (1 x)k 1 (1 x)(1 x)k(1 x)(1 kx) 1
5、 (k 1)x kx21 (k 1)x. 所以当 p k 1 时，原 不等式也成立 综合 可得，当 x 1，且 x0 时， 对一切整数 p1，不等式 (1 x)p1 px 均成立 (2)方法一 当 n 1 时，由题设知 a1 1pc 成立 假设当 n k(k1 ， k N )时，不等式 ak 1pc 成立 由 an 1 p 1p an cpa1 pn 易知 an0， n N . 则当 n k 1 时， ak 1ak p 1p cpa pk 11p?capk 1 . 由 ak 1pc 0 得 11 p 1p?capk 1 capk . 因此 a pk 1c，即 ak 1 1pc . 所以当 n
6、k 1 时，不等式 an 1pc 也成立 综合 可得，对一切正整数 n，不等式 an 1pc 均成立 再由 an 1an 1 1p? ?capn 1 可得 an 1anan 1 1pc ， n N . 方法二 设 f(x) p 1p x cpx1 p， x 1pc ， 则 xp c， 并且 f( x) p 1p cp(1 p)x p p 1p ? ?1 cxp 0， x 1pc . 由此可得， f(x)在 1pc ， ) 上是增加的， 因 而，当 x 1pc 时， f(x)f( 1pc ) 1pc . 当 n 1 时，由 a1 1pc 0， 即 1pa c 可知 a2 p 1p a1 cp 1
7、1pa a1? ?1 1p? ?ca1p 1 1pc ，从而 a1a2 1pc . 故当 n 1 时，不等式 anan 1 1pc 成立 假设当 n k(k1 ， k N )时， 不等式 akak 1 1pc 成立， 则当 n k 1 时， f(ak)f(ak 1)f( 1pc )， =【 ;精品教育资源文库 】 = 即有 ak 1ak 2 1pc . 所以当 n k 1 时，原不等式也成立 综合 可得，对一切正整数 n，不等式 anan 1 1pc 均成立 思维升华 数学归纳法证明不等式的适用范围及关键 (1)适用范围：当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应
8、用数学归纳法 (2)关键：由 n k 时命题成立证 n k 1 时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化 跟 踪训练 (2018 衡水调研 )若函数 f(x) x2 2x 3，定义数列 xn如下： x1 2， xn 1是过点 P(4,5)， Qn(xn， f(xn)(n N )的直线 PQn与 x 轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明： 2 xn0， 即 xk 11 时，对 x(0 ， a 1，有 ( x)0 ， (x)在 (0， a 1上是减少的， =【 ;精品教育资源文库 】 = (a 1)
9、1 时，存在 x0，使 (x)0(n N )猜想 an的通项公式，并用数学归纳法加以证明 解 分别令 n 1,2,3，得 ? 2a1 a21 1，2?a1 a2? a22 2，2?a1 a2 a3? a23 3， an0， a1 1， a2 2， a3 3， 猜想： an n. 由 2Sn a2n n， 可知，当 n2 时， 2Sn 1 a2n 1 (n 1)， ，得 2an a2n a2n 1 1，即 a2n 2an a2n 1 1. () 当 n 2 时， a22 2a2 12 1， a20， a2 2. () 假设当 n k(k2 ， k N )时， ak k，那么当 n k 1 时，
10、a2k 1 2ak 1 a2k 1 2ak 1 k2 1， 即 ak 1 (k 1)ak 1 (k 1) 0， ak 10， k2 ， ak 1 (k 1)0， ak 1 k 1，即当 n k 1 时也成立 an n(n2) ，显然当 n 1 时，也成立， 故对于一切 n N ，均有 an n. 命题点 3 存在性问题的证明 典例 设 a1 1， an 1 a2n 2an 2 b(n N ) (1)若 b 1，求 a2， a3及数列 an的通项公式； (2)若 b 1，问：是否存在实数 c 使得 a2nf(a2k 1)f(1) a2，即 1ca2k 2a2. 再由 f(x)在 ( ， 1上为减
11、函数，得 c f(c)f(a2k 1) a2k 2， a2(k 1) f(a2k 1)f(a2n 1)，即 a2n 1a2n 2， 所以 a2n 1 a22n 1 2a2n 1 2 1. 解得 a2n 114. 综上，由 知存在 c 14使得 a2nca2n 1对一切 n N 成立 思维升华 (1)利用数学归纳法可以探索与正整数 n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是 “ 归纳 猜想 证明 ” ，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性 (2)“ 归纳 猜想 证明 ” 的基本步骤是 “ 试验 归纳 猜想 证明 ” 高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题 跟踪训练 (2018 台州模拟 )已知正项数列 an中，对于一切的 n N 均有 a2n an an 1成立 (1)证明：数列 an中的任意一项都小于 1； (2)探究 an与 1n的大小关系，并证明你的结论 证明 (1)由 a2n an an 1，得 an 1 an a2n.
