1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 11.3 几何概型 最新考纲 考情考向分析 1.了解随机数的意义，能运用随机模拟的方法估计概率 2.了解几何概型的意义 . 以理解几何概型的概念、概率公式为主，会求一些简单的几何概型的概率，常与平面几何、线性规划、不等式的解集、等知识交汇考查在高考中多以选择、填空题的形式考查，难度为中档 . 1几何概型 向平面上有限区域 (集合 )G 内随机地投掷点 M，若点 M 落在子区域 G1 G 的概率与 G1的面积成正比，而与 G的形状、位置无关，即 P(点 M 落在 G1) G1的面积G的面积 ，则称这 种模型为几何概 型 2几何概型中的 G 也可以是空间中或直线上
2、的有限区域，相应的概率是 体积 之比或 长度 之 比 3借助 模拟方法 可以估计随机事件发生的概率 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零 ( ) (2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等 ( ) (3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形 ( ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率 估计概率 ( ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关 ( ) (6)从区间 1,10内任取一个数，取到 1 的概率是 P 19.( )
3、 题组二 教材改编 2在线段 0,3上任投一点，则此点坐标小于 1 的概率为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.12 B.13 C.14 D 1 答案 B 解析 坐标小于 1 的区间为 0,1)，长度为 1， 0,3的区间长度为 3，故所求概率为 13. 3有四个游戏盘，将 它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是 ( ) 答案 A 解析 P(A) 38， P(B) 28， P(C) 26， P(D) 13， P(A)P(C) P(D)P(B) 4设不等式组? 0 x2 ，0 y2 表示的平面区域为 D，在区域 D
4、内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率 是 ( ) A. 4 B. 22 C. 6 D.4 4 答案 D 解析 如图所示，正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的平面区域 D，且区域 D 的面积为 4，而阴影部分表示的是区域 D 内到坐标原点的距离大于 2 的区域易知该阴影部分的面积为 4 . 因此满足条件的概率是 4 4 ，故选 D. 题组三 易错自纠 5在区间 2,4上随机地取一个数 x，若 x 满足 |x| m 的概率为 56，则 m _. 答案 3 解析 由 |x| m，得 m x m. 当 0|AC|的概率为 _ 答案 16 解析 设事件 D 为 “ 作射线 CM，
5、使 |AM|AC|” 在 AB 上取点 C 使 |AC| |AC|， 因为 ACC 是等腰三角形， 所以 ACC 180 302 75 ， 事件 D 发生的区域 D 90 75 15 ， 构成事件总的区域 90 ， 所以 P(D) D 1590 16. 题型一 与长度、角度有关的几何概型 1 (2016 全国 ) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 ( ) A.710 B.58 C.38 D.310 答案 B 解析 至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 40 1540 58，故选 B.
6、2.如图，四边形 ABCD 为矩形， AB 3， BC 1，以 A 为圆心， 1 为半径作四分之一个圆弧 DE ，在 DAB 内任作射线 AP，则射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为 _ 答案 13 解析 因为在 DAB 内任作射线 AP，所以它的所有等可能事件所在的区域 H 是 DAB，当射线 AP 与线段 BC 有公共点时，射线 AP 落在 CAB 内，则区域 H 为 CAB，所以射线 AP 与线=【 ;精品教育资源文库 】 = 段 BC 有公共点的概率为 CAB DAB 3090 13. 3 (2018 届铁岭月考 )在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形，邻
7、边长分别等于线段 AC， CB 的长，则该矩形面积小于 32 cm2的概率为 _ 答案 23 解析 设 AC x cm(00，解得 0x4 或 8x12. 在数轴上表示，如图所示 由几何概型概率公式，得所求概率为 812 23. 思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法 求与长度 (角度 )有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度 (角度 )，然后求解要特别注意 “ 长度型 ” 与 “ 角度型 ” 的不同解题的关键是构建事件的区域 (长度或角度 ) 题型二 与面 积有关的几何概型 命题点 1 与平面图形面积有关的问题 典例 (2017 全国 ) 如图，正方形 ABCD
8、 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 _ 答案 8 解析 不妨设正方形 ABCD 的边长为 2，则正方形内切圆的半径为 1，可得 S 正方形 4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得 S 黑 S 白 12S 圆 2 ，所以=【 ;精品教育资源文库 】 = 由 几何概型知，所求概率 P S黑S正方形24 8. =【 ;精品教育资源文库 】 = 命题点 2 与线性规划知识交汇命题的问题 典例 由不等式组? x0 ，y0 ，y x 20确定的平面区域记为 1，由不等式组? x
9、 y1 ，x y 2 确定的平面区域记为 2，若在 1中随机取一点，则该点恰好在 2内的概率为 _ 答案 78 解析 如图，平面区域 1就是三角形区域 OAB，平面区域 2与平面区域 1的重叠部分就是区域 OACD， 易知 C? ? 12， 32 ，故由几何概型的概率公式，得所求概率 P S四边形 OACDS OAB S OAB S BCDS OAB2 142 78. 思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点 求解与面积有关的几何概 型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解 跟踪训练 (1)(2016 全国
10、) 从区间 0,1随机抽取 2n 个数 x1， x2， ? ， xn， y1， y2， ? ，yn，构成 n 个数对 (x1， y1)， (x2， y2)， ? ， (xn， yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为 ( ) A.4nm B.2nm C.4mn D.2mn 答案 C 解析 由题意得 (xi， yi)(i 1,2， ? ， n)在如图所示方格中，而平方和小于 1 的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知41 mn， =【 ;精品教育资源文库 】 = 4mn ，故选 C. (2)(2017 石家庄调研 )在满足不等式组
11、? x y 10 ，x y 30 ，y0的平面内随机取一点 M(x0，y0)，设事件 A “ y02x0” ，那么事件 A 发生的概率 是 ( ) A.14 B.34 C.13 D.23 答案 B 解析 作出不等式组 ? x y 10 ，x y 30 ，y0的平面区域即 ABC，其面积为 4，且事件 A “ y02x0” 表示的区域为 AOC，其面积为 3，所以事件 A 发生的概率是 34. 题型三 与体积有关的几何概型 典例 (1)已知正三棱锥 S ABC 的底面边长为 4，高 为 3，在正三棱锥内任取一点 P，使得VP ABC12VS ABC的概率是 ( ) A.78 B.34 C.12
12、D.14 答案 A 解析 当 P 在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知， =【 ;精品教育资源文库 】 = P 1 18 78. (2)如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，在正方体内随机取点 M，则使四棱锥 M ABCD的体积小于 16的概率为 _ 答案 12 解析 过点 M 作平面 RS 平面 AC，则两平面间的距离是四棱锥 M ABCD 的高，显然点 M 在平面 RS 上任意位置时，四棱锥 M ABCD 的体积都相等若此时四棱锥 M ABCD 的体积等于 16，只要 M 在截面以下即可小于 16，当 VM ABCD 16时，即
13、 1311 h 16，解得 h 12，即点 M 到底面 ABCD 的距离，所以所 求概率 P11 12111 12. 思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积 (总空间 )以及事件的体积 (事件空间 )，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求 跟踪训练 (2017 湖南长沙四县联考 )如图，在一个棱长为 2 的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现 在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则 “ 鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到 ” 的 概率是 ( ) A 1 4 B.12 C.
14、 4 D 1 12 答案 A 解析 鱼缸底面正方形的面积为 22 4，圆锥底面圆的面积为 . 所以 “ 鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到 ” 的概率是 1 4 ，故选 A. =【 ;精品教育资源文库 】 = 几何概型中的 “ 测度 ” 典例 (1)在等腰 Rt ABC 中， C 90 ，在直角边 BC 上任取一点 M，则 CAM30 的概率是 _ (2)在长为 1 的线段上任取两点，则这两点之间的距离小 于 12的概率为 ( ) A.14 B.12 C.34 D.78 错解展示 (1) C 90 ， CAM 30 ， 所求概率为 3090 13. (2)当两点之间线段长为 12时，占长为 1 的线段的一半，故所求概率为 12. 答案 (1)13 (2)B 现场纠错 解析 (1) 点 M 在直角边 BC 上是等可能 出现的， “ 测度 ” 是长度设直角边长为 a， 则所求概率为33 aa 33 . (2)设任取两点所表示的数分别为 x
