1、向量的数量积一、选择题1给出以下五个结论：0a0；abba；a2|a|2；(ab)ca(bc)；|ab|ab其中正确结论的个数为()A1B2C3D42已知|a|3，a与b的夹角为120，则a在b方向上的投影向量的模为()A B C2 D23若向量a，b，c，满足ab且ac，则c(a2b)()A4 B3 C2 D04如图所示，ABC是顶角为120的等腰三角形，且AB1，则等于()A B C D5已知非零向量a，b满足2|a|3|b|，|a2b|ab|，则a与b的夹角的余弦值为()A B C D二、填空题6已知向量e1，e2的模分别为1,2，e1，e2的夹角为，则(e2e1)e2的值为_7已知向量
2、|a|，ab10，|ab|5，则|b|_8若a，b均为非零向量，且(a2b)a，(b2a)b，则a，b的夹角为_三、解答题9已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61(1)求a与b的夹角的值；(2)求|ab|10已知ab，且|a|2，|b|1，若有两个不同时为零的实数k，t，使得a(t3)b与katb垂直，试求k的最小值素养提升1(多选题)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论正确的是()Aacbc(ab)cB(bc)a(ca)b不与c垂直C|a|b|ab|D(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|22如图，在ABC中，ADAB，|1，则等于()A2 B C D3
3、已知|a|b|c|1且满足3amb7c0，其中a，b的夹角为60，则实数m_4已知非零向量a，b满足|a|1，且(ab)(ab)(1)|b|_；(2)当ab时，向量a与a2b的夹角的值为_5.在四边形ABCD中，已知AB9，BC6，2(1)若四边形ABCD是矩形，求的值；(2)若四边形ABCD是平行四边形，且6，求与夹角的余弦值一、选择题1给出以下五个结论：0a0；abba；a2|a|2；(ab)ca(bc)；|ab|ab其中正确结论的个数为()A1B2C3D4C显然正确；(ab)c与c共线，而a(bc)与a共线，(ab)c与a(bc)不一定相等，故错误；ab是一个实数，应该有|ab|ab，故
4、错误2已知|a|3，a与b的夹角为120，则a在b方向上的投影向量的模为()A B C2 D2A|a|3，a与b的夹角为120，|a|cos 1203，a在b方向上的投影向量的模为3若向量a，b，c，满足ab且ac，则c(a2b)()A4 B3 C2 D0Dab，ac，bc，ac0，bc0，c(a2b)ac2bc0004如图所示，ABC是顶角为120的等腰三角形，且AB1，则等于()A B C DC因为ABC是顶角为120的等腰三角形，且AB1，所以BC，所以1cos 1505已知非零向量a，b满足2|a|3|b|，|a2b|ab|，则a与b的夹角的余弦值为()A B C DC|a2b|ab|
5、(a2b)2(ab)2abb2cosa，b二、填空题6已知向量e1，e2的模分别为1,2，e1，e2的夹角为，则(e2e1)e2的值为_3由题意，可知(e2e1)e2ee1e2|e2|2|e1|e2|cos 2212cos 37已知向量|a|，ab10，|ab|5，则|b|_5|a|25，|ab|5，|ab|250，即|a|2|b|22ab50，5|b|22050，|b|58若a，b均为非零向量，且(a2b)a，(b2a)b，则a，b的夹角为_由题知(a2b)a0，(b2a)b0，即|a|22ba|a|22|a|b|cos 0，|b|22ba|b|22|a|b|cos 0，故|a|2|b|2，
6、即|a|b|，所以|a|22|a|a|cos 0，故cos ，因为 0，故三、解答题9已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61(1)求a与b的夹角的值；(2)求|ab|解(1)(2a3b)(2ab)61，4|a|24ab3|b|261|a|4，|b|3，644ab2761，ab6，cos ，又0，(2)由已知及(1)所求得，|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，|ab|10已知ab，且|a|2，|b|1，若有两个不同时为零的实数k，t，使得a(t3)b与katb垂直，试求k的最小值解ab，ab0由已知得a(t3)b(katb)0，ka2t(t3)b20|a|
7、2，|b|1，4kt(t3)0，k(t23t)故当t时，k取最小值，为素养提升1(多选题)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论正确的是()Aacbc(ab)cB(bc)a(ca)b不与c垂直C|a|b|ab|D(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2ACD根据向量积的分配律知A正确；因为(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0，所以(bc)a(ca)b与c垂直，B错误；因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|ab|组成三角形三边，所以|a|b|ab|成立，C正确；D正确2如图，在ABC中，ADAB，|1，则等于()A2 B C DD|cosDAC|co
8、s|sinBAC|sin B|sin B|3已知|a|b|c|1且满足3amb7c0，其中a，b的夹角为60，则实数m_5或8因为3amb7c0，所以3amb7c，所以(3amb)2(7c)2，即9m26mab49，又ab|a|b|cos 60，所以m23m400，解得m5或m84已知非零向量a，b满足|a|1，且(ab)(ab)(1)|b|_；(2)当ab时，向量a与a2b的夹角的值为_(1)(2)(1)因为(ab)(ab)，即a2b2，即|a|2|b|2，所以|b|2|a|21，故|b|(2)因为|a2b|2|a|24ab|2b|21111，故|a2b|1又因为a(a2b)|a|22ab1，所以cos ，又0，故5.在四边形ABCD中，已知AB9，BC6，2(1)若四边形ABCD是矩形，求的值；(2)若四边形ABCD是平行四边形，且6，求与夹角的余弦值解(1)因为四边形ABCD是矩形，所以0，由2，得，所以()()22368118(2)由题意，所以22361818又6，所以186，所以36设与的夹角为，又|cos 96cos 54cos ，所以54cos 36，即cos 所以与夹角的余弦值为
