1、 第 4章 平面向量 4 3 平面向量的数量积及其应用 基础知识过关 知识梳理 1 两个向量的夹角 2 平面向量的数量积 3 平面向量数量积的性质 设 a ， b 都是非零向量， e 是单位向量， 为 a 与 b ( 或 e )的夹角，则 (1 ) e a a e | a |cos . (2 ) a b ? . (3 ) 当 a 与 b 同向时， a b | a | b |； 当 a 与 b 反向时， a b | a | b |. 特别地， a a 或 | a | . a b 0 |a |2 a a (4 )cos a b| a | b |. (5 )| a b | . 4 平面向量数量积满足
2、的运算律 (1 ) a b ； (2 )( a ) b ( 为实数 ) ； (3 )( a b ) c . |a | b | b a (a b ) a ( b ) a c b c 5 平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a ( x1， y1) ， b ( x2， y2) ，则 a b ，由此得到 (1 ) 若 a ( x ， y ) ，则 | a |2 或 | a | . (2 ) 设 A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ，则 A ， B 两点间的距离 | AB | | AB| . (3 ) 设两个非零向量 a ， b ， a ( x1， y1) ， b ( x2， y2
3、) ，则a b ? . x 1x 2 y 1 y 2 x 2 y 2 x2 y 2? x 2 x 1 ? 2 ? y 2 y 1 ? 2 x 1 x 2 y 1 y 2 0 (4 ) 设两个非零向量 a ， b ， a ( x1， y1) ， b ( x2， y2) ， 是 a 与 b 的夹角，则 cos x1x2 y1y2x21 y21 x22 y22. 特别提醒： (1 ) a 在 b 方向上的投影与 b 在 a 方向上的投影不是一个概念，要加以区别 (2 ) 对于两个非零向量 a 与 b ，由于当 0 时， a b 0 ，所以 a b 0 是两个向量 a ， b 夹角为锐角的必要而不充分条件； a b 0 也不能推出 a 0 或 b 0 ，因为 a b 0 时，有可能 a b . (3 ) 在实数运算中，若 a ， b R ，则 |ab | | a | | b |，若 a b b c ( b 0) ，则 a c . 但对于向量 a ， b 却有 | a b | | a | | b |；若a b b c ( b 0) ，则 a c 不一定成立例如 a b | a | b |c os ，当 cos 0 时， a 与 c 不一定相等 又如 下 图，向量 a 和 c 在 b 的方向上的投影相等，故 a b b c ，但 a c .
