1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 专题 3.3 导数的综合应用 1 (2017 南通调研 )已知函数 f(x) a xln x(a R) (1)求 f(x)的单调区间； (2)求 f(x)的零点个数 解 (1)由函数 f(x) a xln x (a R)得 f( x) 12 x(ln x 2) 令 f( x) 0，得 x e 2，列表如下： x (0， e 2) e 2 (e 2， ) f( x) 0 f(x) 极小值 因此，函数 f(x)的单调递增区间为 (e 2， ) ，单调递减区间为 (0， e 2) 所以当 a0 时，函数 f(x)零点个数为 1. 当 00 时，令 f( x) 0，解
2、得 x 3a3 或 x 3a3 . 当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表： x ? ? ， 3a3 3a3 ? ? 3a3 ， 3a3 3a3 ? ?3a3 ， f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 所以 f(x)的单调递减区间为 ? ? 3a3 ， 3a3 ，单调递增区间为 ? ? ， 3a3 ， ? ?3a3 ， . (2)证明 因为 f(x)存在极值点， 所以由 (1)知 a0，且 x00. 由题意，得 f( x0) 3x20 a 0，即 x20 a3， =【 ;精品教育资源文库 】 = 进而 f(x0) x30 ax0 b 2a3x0 b. 又 f( 2x0)
3、 8x30 2ax0 b 8a3x0 2ax0 b 2a3x0 b f(x0)，且 2x0 x0， 由 题意及 (1)知，存在唯一实数 x1满足 f(x1) f(x0)，且 x1 x0，因此 x1 2x0，所以 x1 2x0 0. 3 (2017 南京、盐城模拟 )已知函数 f(x) axex在 x 0 处的切线方程为 y x. (1)求实数 a 的值； (2)若对任意的 x (0,2)，都有 f(x)1 即可 因为 x1， x2是函数 g(x)的两个零点，所以? x1 b ln x1，x2 b ln x2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 4 (2016 江苏卷 )已知函数 f(x) ax
4、 bx(a 0， b 0， a1 ， b1) (1)设 a 2， b 12. 求方程 f(x) 2 的根； 若对任意 x R，不等式 f(2x) mf(x) 6 恒成立，求实数 m 的最大值； (2)若 0 a 1， b 1，函数 g(x) f(x) 2 有且只有 1 个零点，求 ab 的值 解 (1) 由已知可得 2x ? ?12 x 2， 即 2x 12x 2. (2x)2 22 x 1 0， 解得 2x 1， x 0. f(x) 2x ? ?12 x 2x 2 x， 令 t 2x 2 x，则 t2. 又 f(2x) 22x 2 2x t2 2， 故 f(2x) mf(x) 6 可化为 t
5、2 2 mt 6， 即 m t 4t，又 t2 ， t 4t2 t 4t 4. (当且仅当 t 2 时等号成立 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = m ? ?t 4t min 4. 即 m 的最大值为 4. (2) 0 a 1， b 1， ln a 0， ln b 0. g(x) f(x) 2 ax bx 2. g( x) axln a bxln b 且 g( x)为单调递增，值域为 R 的函数 g( x)一定存在唯一的变号零点 g(x)为先减后增且有唯一极值点 由题意 g(x)有且仅有一个零点， 则 g(x)的极值一定为 0， 而 g(0) a0 b0 2 0，故极值点为 0. g(0) 0，即 ln a ln b 0. ab 1. 5 (2017 衡水中学质检 )已知函数 f(x) x aex . (1)若 f(x)在区间 ( ， 2)上为单调递增函数，求实数 a 的取值范围； (2)若 a 0， x00. 所以 f(x)在 ( ， 1)上单调递减，在 (1， ) 上单调递增 ( )设 a0，由 f( x) 0 得 x 1 或 x ln( 2a)
