1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 31 讲 平面向量的综合应用 考试要求 1.用向量方法解决某些简单的平面几何问题 (A 级要求 )； 2.用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 (A 级要求 ). 诊 断 自 测 1.思考辨析 (在括号内打 “” 或 “”) (1)若 AB AC ，则 A， B， C 三点共线 .( ) (2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决 .( ) (3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算 .( ) (4)在 ABC 中，若 AB BC 0，则 ABC 为钝角三角形 .( ) 解析 (4
2、)中， AB 与 BC 的夹角为 B，是钝角，只能说明 B 为锐角 . 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(教材改编 )已知力 F (2， 3)作用在一物体上，使物体从 A(2， 0)移动到 B( 2， 3)，则 F对物体所做的功为 _. 解析 由已知位移 s AB ( 4， 3)， 力 F 做的功为 W F s 2( 4) 33 1. 答案 1 3.已知 ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(3， 4)， B(5， 2)， C( 1， 4)，则这个三角形的形状是 _. 解析 AB (2， 2)， CB (6， 6)， AB CB 12 12 0， AB CB ， ABC 为直角三角形
3、. 答案 直角三角形 4.在四边形 ABCD 中， AC (1， 2)， BD ( 4， 2)，则该四边形的面积为 _. 解析 AC BD (1， 2)( 4， 2) 0，则 AC BD ，故四边形 ABCD 的对角线 互相垂直，面积S 12|AC |BD | 12 52 5 5. 答案 5 =【 ;精品教育资源文库 】 = 5.(2018 苏州调研 )在梯形 ABCD 中， AB 2DC ， |BC | 6， P 为梯形 ABCD 所在平面上一点，且满足 AP BP 4DP 0， DA CB |DA |DP |， Q 为边 AD 上的一个动点，则 |PQ |的最小值为_. 解析 设 AB 中
4、点为 E，则四边形 BCDE 为平行四边形，且 AP BP 2EP ，所以 PE 2DP ， D， E，P 三点共线， |DE | 6， |DP | 2.又 DA CB DA DE 3DA DP 3|DA |DP |cos ADE |DA |DP |， 所以 cos ADE 13， sin ADE 23 2. 要使 |PQ |最小，即 PQ AD. 此时 |PQ | |DP |sin ADE 4 23 . 答案 4 23 知 识 梳 理 1.向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧： 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 向量共线定理 a b?a b?x1y
5、2 x2y1 0， 其中 a (x1， y1)， b (x2， y2)， b 0 垂直问题 数量积的运算性质 a b?a b 0?x1x2 y1y2 0， 其中 a (x1， y1)， b (x2， y2)，且 a， b 为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos a b|a|b|( 为向量 a， b 的夹角 )，其中 a， b 为非零向量 长度问题 数量积的定义 |a| a2 x2 y2，其中 a (x， y)， a 为非零向量 (2)用向量方法解决平面几何问题的步骤： 平面几何问题 设向量 向量问题 运算 解决向量问题 还原 解决几何问题 . 2.平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中
6、的力、速度、位移都是 矢量 ， 它们的分解与合成与向量的 加法和减法 相似，可以用向量的知识来解决 . =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)物理学中的功是一个标量，是力 F 与位移 s 的数量积，即 W F s |F|s|cos ( 为F 与 s 的夹角 ). 3.向量在三角函数中的应用 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型 .解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识 . 4.向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述 .它主要强调向量的坐标
7、问题 ，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体 . 考点一 平面向量在平面几何中的应用 【例 1】 (1)在平行四边形 ABCD 中， AD 1， BAD 60 ， E 为 CD 的中点 .若 AC BE 1，则 AB 的长为 _. (2)(2017 苏、锡、常、镇调研 (二 )在 ABC 中， AB AC， AB 1t， AC t， P 是 ABC 所在平面内一点，若 AP 4AB|AB | AC|AC |，则 PBC 面积的最小值为 _. 解析 (1)由题意，可知 AC AB AD ， BE 12AB AD .因为 AC BE 1，所以 (AB AD )
8、? ? 12AB AD 1， 即 AD 2 12AB AD 12AB 2 1. 因为 |AD | 1， BAD 60 ，所以 AB AD 12|AB |， 因此 式可化为 1 14|AB | 12|AB |2 1，解得 |AB | 0(舍去 )或 12，所以 AB 的长为 12. (2)以 A 为坐标原点， AC 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，则 P(1， 4)， C(t， 0)， B? ?0， 1t ， BC： xt ty 1， x t2y t 0， =【 ;精品教育资源文库 】 = S PBC 12 |1 4t2 t|1 t4 t2 1t212|4t1t 1|12|2 4t1t 1|3
9、2， PBC 面积的最小值为 32. 答案 (1)12 (2)32 规律方法 向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决 . (2)基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的 联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解 . 【训练 1】 (1)在 ABC 中，已知向量 AB 与 AC 满足?AB|AB | AC|AC | BC 0，且 AB|AB | AC|AC | 12，则 ABC 的形状为 _三角形 . (2)在 ABC 中，若 OA OB OB OC OC OA
10、 ，则点 O 是 ABC 的 _(从 “ 重心 ”“ 垂心 ”“ 内心 ”“ 外心 ” 中选填一个 ). 解析 (1) AB|AB |， AC|AC |分别为平行于 AB ， AC 的单位向量，由平行四边形法则可知 AB|AB | AC|AC |为 BAC 的平分线 .因为?AB|AB | AC|AC | BC 0，所以 BAC 的平分线垂直于 BC，所以 AB AC. 又 AB|AB | AC|AC |?AB|AB |?AC|AC |cos BAC 12， 所以 cos BAC 12，又 00)的图象上任意一点，过 M点向直线 y x和 y轴作垂线，垂足分别是 A， B，则 MA MB _.
11、 解析 由题意可得 AMB 135. 设 M? ?x， x 4x (x0)，则 |MA | ? ?4x22 2x ，所以 MA MB |MA | MB |cos 135 2 2x x ? ? 22 2. 答案 2 4.(2018 江苏六校联考 )在 ABC 中，已知 AB 8， AC 6，点 O 为三角形的外心，则 BC OA _. 解析 由点 O 为三角形的外心，可设 AB， AC 的中点分别为 M， N， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 MO AB， ON AC，从而 (AO AM ) AB 0， 即 ? ?AO 12AB AB 0， 所以 AO AB 12AB 2 32， 同理 (
12、AO AN ) AC 0， 即 ? ?AO 12AC AC 0，所以 AO AC 12AC 2 18， 所以 BC OA (AC AB ) OA AC OA AB OA ( 18) ( 32) 14. 答案 14 5.(2018 江苏大联考 )已知 ABC 为等边三角形， AB 2，设点 P， Q 满足 AP AB ， AQ (1 )AC ， R，若 BQ CP 32，则 _. 解析 因为 BQ BA AQ ， CP CA AP ， 所以 BQ CP (BA AQ )( CA AP ) AB AC AB AP AC AQ AQ AP AB AC AB 2 (1 ) AC 2 (1 ) AB A
13、C 22cos 60 4 4(1 ) (1 )22cos 60 2 2 2 2 32， 解得 12. 答案 12 6.(2017 泰州中学第二次质量检测 )已知 ABC 中， BC 2， G 为 ABC 的重心，且满足 AG BG，则 ABC 的面积的最大值为 _. 解析 以 BC 为 x 轴的正半轴， BC 的中点为坐标原点建立直角坐标系，则 B( 1， 0)， C(1，0)， 设 A(x， y)，由 G 为 ABC 的重心，得 G? ?x3， y3 ， 所以 AG ? ? 2x3 ， 2y3 ， BG ? ?x 33 ， y3 ， 由 AG BG，得 AG BG ? ? 2x3 ， 2y3 ? ?x 33 ， y3 0，
