1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第五章 平面向量 专题探究课二 高考导航 从近几年的高考试题看，试卷交替考查三角函数、解三角形、向量与三角综合以及三角应用题 .该部分解答题是高考得分的基本组成部分，不能掉以轻心 .该部分的解答题考查的热点题型有：一考查三角函数的恒等变形以及单调性、最值等；二考查解三角形问题；三是考查三角函数、解三角形与平面向量的交汇性问题；四是考查三角应用题 .在解题过程中抓住平面向量作为解决问题的工具，要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化 . 热点 一 三角函数的恒等变形和性质 注意对基本三角函数
2、y sin x， y cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数恒等变形转化为 y Asin(x )的形式，然后利用整体代换的方法求解 . 【 1】 (2018 苏、锡、常、镇、宿迁五市调研 )已知函数 f(x) sin? ?2x 3 3sin? ?2x 6 . (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)当 x ? ? 6 ， 3 时，试求函数 f(x)的最值，并写出取得最值时自变量 x 的值 . 解 (1)由题意知 f(x) sin? ?2x 3 3cos? ?2x 3
3、 2sin? ?2x 23 ， 所以 f(x)的最小正周期为 T 22 . 当 2 2k2 x 23 2 2k( k Z)时， f(x)单调递增， 解得 x ? ? 712 k ， 12 k (k Z)， 所以 f(x)的单调递增区间为 ? ? 712 k ， 12 k (k Z). (2)因为 x ? ? 6 ， 3 ，所以 3 2 x 23 43 ， 当 2x 23 2 ，即 x 12时， f(x)取得最大值 2； =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 2x 23 43 ，即 x 3 时， f(x)取得最小值 3. 探究提高 此类题目的答题模板为： 第一步：三角函数式的恒等变形，一般化成
4、y Asin(x ) h 或 y Acos(x ) h的形式； 第二步：由 T 2| |求最小正周期； 第三步：确定 f(x)的单调性； 第四步：确定各单调区间端点处的函数值； 第五步：明确规范地表达结论 . 【训练 1】 (2018 江苏大联考 )已知函数 f(x) 3sin 2x 2cos2x. (1) ? ?0， 2 ，求 f( )的取值范围； (2)若 tan 2 3，求 f( )的值 . 解 (1)f(x) 3sin 2x 2cos2x 3sin 2x cos 2x 1 2sin? ?2x 6 1， 所以 f( ) 2sin? ?2 6 1. 因为 ? ?0， 2 ，所以 2 6 ?
5、 ? 6 ， 56 ， 所以 sin? ?2 6 ? ? 12， 1 ， 故 f( )的取值范围是 2， 1. (2)由题可得 f( ) 3sin 2 2cos2 2 3sin cos 2cos2sin2 cos2 2 3tan 2tan2 1 ， 因为 tan 2 3，所以 f( ) 2 32 3 243 1 1013. 热点二 解三角形与三角函数结合 高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主 .其命题规律可以从以下两方面看： (1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平 面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问
6、题的能力； (2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理在知识的交汇处命题 . 【例 2】 (2018 苏州测试 )已知函数 f(x) 3cos2x sin x cos x ( 0)的周期为. =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)当 x ? ?0， 2 时，求函数 f(x)的值域； (2)已知 ABC 的内角 A， B， C 对应的边分别为 a， b， c，若 f? ?A2 3，且 a 4， b c 5，求 ABC 的面积 . 解 (1)f(x) 32 (1 cos 2x ) 12sin 2x sin? ?2x 3 32 . 因为 f(x)的周期为 ，且 0，所以
7、 22 ，解得 1.所以 f(x) sin? ?2x 3 32 . 又 0 x 2 ，得 3 2 x 3 43 ， 32 sin ? ?2x 3 1 ， 0sin ? ?2x 3 32 32 1，即函数 y f(x)在 x ? ?0， 2 上的值域为 ? ?0， 32 1 . (2)因为 f? ?A2 3，所以 sin? ?A 3 32 .由 A (0， ) ，知 3b 3， a c ( 3， 2.即 a c 的取值范围是 ( 3， 2. 热点四 三角函数应用题 三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知
8、识解决问题 . 【例 4】 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为 4.8 m，圆上最低点与地面距离为 0.8 m，且 60 s 转动一圈，图中 OA 与地面垂直，以 OA 为始边，逆时针转动 角到 OB，设 B 点与地面间的距离为 h. (1)求 h 与 间关系的函数解析式； (2)设从 OA 开始转动，经过 t s 后到达 OB，求 h 与 t 之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？ 解 (1)以圆心 O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系 . 则以 Ox 为始边， OB 为终边的角 2 ， 故点 B 的坐标为 ? ?4.8cos ? ? 2 ， 4.8sin? ? 2
9、， h 5.6 4.8sin? ? 2 ( 0， ). (2)点 A 在圆上转动的角速度是 30 rad/s， 故 t s 转过的弧度数为 30t， h 5.6 4.8sin? ?30t 2 ， t 0， ). 到达最高点时， h 10.4 m. =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 sin? ?30t 2 1，得 30t 2 2 ， t 30 s， 答：缆车到达最高点时，用的最少时间为 30 s. 探究提高 三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决 . 步骤可记为：审读题意 建立三角函数式 根据题意求出某点的 三角函数
10、值 解决实际问题 . 这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式 . 【训练 4】 一半径为 4 m 的水轮 (如图 )，水轮圆心 O 距离水面 2 m，已知水轮每分钟转动 4圈，如果当水轮上点 P 从水中浮现时 (图中点 P0)开始计时 . (1)将点 P 距离水面的高度 h(m)表示为时间 t(s)的函数； (2)在水轮转动的一圈内，有多长时间点 P 距水面的高度超过 4 m. 解 (1)建立如图所示的平面直角坐标系 . 依题意，如图 | | 6 ， 易 知 OP 在 t s 内所转过的角为 4260 t 215t， 故角 2
11、15t 6 是以 Ox 为始边， OP 与终边的角， 故 P 点的纵坐标为 4sin? ?215 t 6 ， 故所求函数关系式为 h 4sin? ?215t 6 2(t0) ； (2)令 4sin? ?215 t 6 24， =【 ;精品教育资源文库 】 = 即 sin? ?215t 6 12， 6 2k 215t 6 56 2k ， k Z. 2.5 15kt7.5 15k， k Z， 时间为 (7.5 15k) (2.5 15k) 5. 答：在水轮转动的一圈内，有 5 s 的时间点 P 距水面的高度超过 4 m. 一、必做题 1.(2018 苏北四市模拟 )已知向量 a (cos ， si
12、n )，向量 b ( 3， 1)，则 |2a b|的最大值与最小值的和为 _. 解析 由题意可得 a b 3cos sin 2cos? ? 6 ，则 |2a b| （ 2a b） 24|a|2 |b|2 4a b 8 8cos? ? 6 0， 4，所以 |2a b|的最大值与最小值的和为 4. 答案 4 2.(2018 苏州调研 )已知 m (cos ， sin )， n (2， 1)， ? ? 2 ， 2 ，若 m n 1，则 sin? ?2 32 _. 解析 因为 m n 2cos sin 1，所以 sin 1 2cos ，代入 sin2 cos2 1 中，整理得 5cos2 4cos 0
13、? ? ? ? 2 ， 2 ，解得 cos 45或 cos 0(舍去 )，故 sin? ?2 32 cos 2 1 2cos2 725. 答案 725 3.(2018 南京、盐城模拟 )设 a (cos ， sin )， b (cos ， sin )? ?0 2 是平面上两个向量，若 ab 45，且 tan 43，则 tan _. 解析 由 ab cos cos sin sin cos( ) 45， 且 0 2 ，即 ? ? 2 ， 0 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = sin( ) 35， tan( ) sin（ ）cos（ ） 34 tan tan 1 tan tan ， 代入 tan
14、 43，得 tan 724. 答案 724 4.(2018 南京、盐城模拟 )在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 a 2c 2b， sin B 2sin C，则 cos A _. 解析 由 sin B 2sin C 结合正弦定理可得 b 2c，又 a 2c 2b，则 a 2c，由余弦定理可得 cos A b2 c2 a22bc 2c2 c2 2c22 2c2 24 . 答案 24 5.(2018 南京调研 )定义平面向量 之间的一种运算 “ ” 如下：对任意的 a (m， n)， b(p， q)，令 a b mq np，下面说法正确的有 _(填序号 ). 若 a 与 b 共线，则 a b 0； a b b a； 对任意的 R，有 ( a) b (a b)； (a b)2 (a
