1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 21.3 离散型随机变量的均值与方差 五年高考 考点 离散型随机变量的均值与方差 1.(2014浙江 ,12,5分 )随机变量 的取值为 0,1,2.若 P(=0)= ,E()=1, 则 D()= . 答案 2.(2017北京理 ,17,13分 )为了研究一种新药的疗效 ,选 100名患者随机分成两组 ,每组各 50名 ,一组服药 ,另一组不服药 .一段时间后 ,记录了两组患者的生理指标 x和 y的数据 ,并制成下图 ,其中 “*” 表示服药者 ,“+” 表示未服药者 . (1)从服药的 50名患者中随机选出一人 ,求此人指标 y 的值小 于 60 的概率 ;
2、 (2)从图中 A,B,C,D四人中随机选出两人 ,记 为选出的两人中指标 x的值大于 1.7的人数 ,求 的分布列和数学期望 E(); (3)试判断这 100名患者中服药者指标 y数据的方差与未服药者指标 y数据的方差的大小 .(只需写出结论 ) 解析 (1)由题图知 ,在服药的 50 名患者中 ,指标 y的值小于 60 的有 15人 ,所以从服药的 50名患者中随机选出一人 ,此人指标 y的值小于 60的概率为 =0.3. (2)由题图知 ,A,B,C,D四人中 ,指标 x的值大于 1.7的有 2人 :A 和 C. 所以 的所有可能取值为 0,1,2. P(=0)= = ,P(=1)= =
3、 ,P(=2)= = . 所以 的分布列为 0 1 2 P 故 的期望 E()=0 +1 +2 =1. (3)在这 100名患者中 ,服药者指标 y数据的方差大于未服药者指标 y数据的方差 . 3.(2017江苏 ,23,10分 )已知一个口袋中有 m个白球 ,n 个黑球 (m,nN *,n2), 这些球除颜色外完全相同 .现将口袋中的球随机地逐个取出 ,并放入如图所示的编号为 1,2,3,?,m+n 的抽屉内 ,其中第 k次取出的球放入编号为 k的抽屉 (k=1,2,3,?,m+n). 1 2 3 ? m+n (1)试求编号为 2的抽屉内放的是黑球的概率 P; =【 ;精品教育资源文库 】
4、= (2)随机变量 X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数 ,E(X)是 X的数学期望 ,证明 :E(X) . 解析 (1)编号为 2的抽屉内放的是黑球的概率 P= = . (2)证明 :随机变量 X的概率分布为 X ? ? P ? ? 随机变量 X的期望为 : E(X)= = . 所以 E(X) = = (1+ + +?+ ) = ( + + +?+ ) = ( + +?+ ) =?= ( + ) = = , 即 E(X) . 4.(2017天津理 ,16,13分 )从甲地到乙地要经过 3个十字路口 ,设各路口信号灯工作相互独立 ,且在各路口遇到红灯的概率分别为 , , . (1)记 X
5、表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数 ,求随机变量 X的分布列和数学期望 ; (2)若有 2辆车独立地从甲地到乙地 ,求这 2辆车共遇到 1个红灯的概率 . 解析 (1)随机变量 X的所有可能取值为 0,1,2,3. =【 ;精品教育资源文库 】 = P(X=0)= = , P(X=1)= 1- 1- + 1- 1- + = , P(X=2)= + + = , P(X=3)= = . 所以 ,随机变量 X的分布列为 X 0 1 2 3 P 随机变量 X的数学期望 E(X)=0 +1 +2 +3 = . (2)设 Y表示第一辆车遇到红灯的个数 ,Z表示第二辆车遇到红灯的个数 ,则所求事件的概率为
6、 P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0) =P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0) = + = . 所以 ,这 2辆车共遇到 1个红灯的概率为 . 5.(2016天津理 ,16,13分 )某小组共 10 人 ,利用假期参加义工活动 ,已知参加义工活动次数为 1,2,3的人数分别为 3,3,4.现从这 10人中随机选出 2人作为该组代表参加座谈会 . (1)设 A为事件 “ 选出的 2人参加义工活动次数之和为 4”, 求事件 A发生的概率 ; (2)设 X为选出的 2人参加义工活动次数之差的绝对值 ,求随机变量 X的分布列和数学期望 . 解析 (1)由已知 ,有
7、 P(A)= = . 所以 ,事件 A发生的概率为 . (2)随机变量 X的所有可能取值为 0,1,2. P(X=0)= = , P(X=1)= = , =【 ;精品教育资源文库 】 = P(X=2)= = . 所以 ,随机变量 X的分布列为 X 0 1 2 P 随机变量 X的数学期望 E(X)=0 +1 +2 =1. 6.(2015北京 ,16,13分 )A,B 两组各有 7位病人 ,他们服用某种药物后的康复时间 (单位 :天 )记录如下 : A组 :10,11,12,13,14,15,16; B组 :12,13,15,16,17,14,a. 假设所有病人的康复时间互相独立 ,从 A,B两组
8、随机各选 1人 ,A 组选出的人记为甲 ,B 组选出的人记为乙 . (1)求甲的康复时间不少于 14天的概率 ; (2)如果 a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率 ; (3)当 a为何值时 ,A,B两组病人康复时间的方差相等 ?(结论不要求证明 ) 解析 设事件 Ai为 “ 甲是 A组的第 i个人 ”, 事件 Bj为 “ 乙是 B组的第 j个人 ”,i,j=1,2,?,7. 由题意可知 P(Ai)=P(Bj)= ,i,j=1,2,?,7. (1)由题意知 ,事件 “ 甲的康复时间不少于 14天 ” 等价于 “ 甲是 A组的第 5人 ,或者第 6人 ,或者第 7人 ”, 所以甲的康复时
9、间不少于 14天的概率是 P(A5A 6A 7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)= . (2)设事件 C为 “ 甲的康复时间比乙的康复时间长 ”. 由题意知 ,C=A4B1A 5B1A 6B1A 7B1A 5B2A 6B2A 7B2A 7B3A 6B6A 7B6. 因此P(C)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)+P(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6)=10P(A4B1)=10P(A4)P(B1)= . (3)a=11或 a=18. 7.(2015安徽 ,17,12分 )已知 2件次品和 3件正品混放在一起
10、 ,现需要通过检测将其区分 ,每次随机检 测一件产品 ,检测后不放回 ,直到检测出 2件次品或者检测出 3件正品时检测结束 . (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率 ; (2)已知每检测一件产品需要费用 100元 ,设 X表示直到检测出 2件次品或者检测出 3件正品时所需要的检测费用 (单位 :元 ),求 X的分布列和 均值 (数学期望 ). 解析 (1)记 “ 第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品 ” 为事件 A, P(A)= = . (2)X的可能取值为 200,300,400. P(X=200)= = , =【 ;精品教育资源文库 】 = P(X=300)= =
11、 , P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1- - = . 故 X的分布列为 X 200 300 400 P EX=200 +300 +400 =350. 8.(2015福建 ,16,13分 )某银行规定 ,一张银行卡若在一天内出现 3次密码尝试错误 ,该银行卡将被锁定 .小王到该银行取钱时 ,发现自己忘记了银行卡的密码 ,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的 6个密码之一 ,小王决定从中不重复地随机选择 1个进行尝试 .若密码正确 ,则结束尝试 ;否则继续尝试 ,直至该银行卡被锁定 . (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率 ; (2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次
12、数为 X,求 X的分布列和数学期望 . 解析 (1)设 “ 当天小王的该银行卡被锁定 ” 的事件为 A, 则 P(A)= = . (2)依题意得 ,X所有可能的取值是 1,2,3. 又 P(X=1)= ,P(X=2)= = ,P(X=3)= 1= , 所以 X的分布列为 X 1 2 3 P 所以 E(X)=1 +2 +3 = . 9.(2014天津 ,16,13分 )某大学志愿者协会有 6名男同学 ,4名女同学 .在这 10名同学中 ,3名同学来自数学学院 ,其余 7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院 .现从这 10名同学中随机选取 3名同学 ,到希望小学进行支教活动 (每位同学被选
13、到的可能性相同 ). (1)求选出的 3名同学是来自互不相同学院的概率 ; (2)设 X为选出的 3名同学中女同学的人数 ,求随机变量 X的分布列和数学期望 . 解析 (1)设 “ 选出的 3名同学是来自互不相同的学院 ” 为事件 A,则 P(A)= = . 所以选出的 3名同学是来自互不相同的学院的概率为 . (2)随机变量 X的所有可能值为 0,1,2,3. P(X=k)= (k=0,1,2,3). =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以随机变量 X的分布 列是 X 0 1 2 3 P 随机变量 X的数学期望 E(X)=0 +1 +2 +3 = . 10.(2014辽宁 ,18,12分 )
14、一家面包房根据以往某种面包的销售记录 ,绘制了日销售量的频率分布直方图 ,如图所示 . 将日销售量落入各组的频率视为概率 ,并假设每天的销售量相互独立 . (1)求在未来连续 3天里 ,有连续 2天的日销售量都不低于 100个且另 1天的日销售量低于 50 个的概率 ; (2)用 X表示在未来 3天里日销售量不低于 100个的天数 ,求随机变量 X的分布列 ,期望 E(X)及方差 D(X). 解析 (1)设 A1表示事件 “ 日销售量不低于 100个 ”, A2表示事件 “ 日销售量低于 50个 ”, B表示事件 “ 在未来连续 3天里有连续 2天日销售量不低于 100个且另一天销售量低于 5
15、0个 ”. 因此 P(A1)=(0.006+0.004+0.002)50=0.6, P(A2)=0.00350=0.15, P(B)=0.60.60.152=0.108. (2)X可能取的值为 0,1,2,3,相应的概率为 P(X=0)= (1 -0.6)3=0.064, P(X=1)= 0.6(1 -0.6)2=0.288, P(X=2)= 0.6 2(1-0.6)=0.432, P(X=3)= 0.6 3=0.216. 分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因为 XB(3,0.6),所以期望 E(X)=30.6=1.8, 方差 D(X)=30.6
16、(1 -0.6)=0.72. 教师用书专用 (11 15) 11.(2014安徽 ,17,12分 )甲乙两人进行围棋比赛 ,约定先连胜两局者直接赢得比赛 ,若赛完 5局仍未出现连胜 ,则判定获胜局数多者赢得比赛 .假设每局甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率 为 ,各局比赛结果相互独立 . (1)求甲在 4局以内 (含 4局 )赢得比赛的概率 ; (2)记 X为比赛决出胜负时的总局数 ,求 X的分布列和均值 (数学期望 ). 解析 用 A表示 “ 甲在 4局以内 (含 4局 )赢得比赛 ”,A k表示 “ 第 k局甲获胜 ”,B k表示 “ 第 k局乙获胜 ”, 则 P(Ak)= ,P(Bk)= ,
17、k=1,2,3,4,5. =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4) =P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4) = + + = . (2)X的可能取值为 2,3,4,5. P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2) =P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)= , P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3) =P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)= , P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4) =P(A1)P(B2)P(A3
