1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 2.6 函数模型及函数的综合应用 考纲解读 考点 内容解读 要求 五年高考统计 常考题型 预测热度 2013 2014 2015 2016 2017 函数模型及函数的综合应用 函数模型建模求解以及函数的综合应用 B 17题 14分 解答题 分析解读 应用题是江苏高考的必考内容 ,试题主要考查实际问题建模求解 . 五年高考 考点 函数模型及函数的综合应用 1.(2015四川 ,13,5分 )某食品的保鲜时间 y(单位 :小时 )与储藏温度 x(单位 :) 满足函数关系y=ekx+b(e=2.718? 为自然对数的底数 ,k,b为常 数 ).若该食品在 0 的保鲜
2、时间是 192小时 ,在 22 的保鲜时间是 48 小时 ,则该食品在 33 的保鲜时间是 小时 . 答案 24 2.(2014辽宁改编 ,12,5分 )已知定义在 0,1上的函数 f(x)满足 : f(0)=f(1)=0; 对所有 x,y0,1, 且 xy, 有 |f(x)-f(y)|0,g(t)是增函数 ; 从而 ,当 t=10 时 ,函数 g(t)有极小值 ,也是最小值 ,所以 g(t)min=300,此时 f(t)min=15 . 答 :当 t=10 时 ,公路 l的长度最短 ,最短长度为 15 千米 . 5.(2013课标全国 ,21,12 分 )设函数 f(x)=x2+ax+b,g
3、(x)=ex(cx+d).若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点P(0,2),且在点 P处有相同的切线 y=4x+2. (1)求 a,b,c,d的值 ; (2)若 x -2时 , f(x)kg(x), 求 k的取值 范围 . 解析 (1)由已知得 f(0)=2,g(0)=2, f (0)=4,g(0)=4. 而 f (x)=2x+a,g(x)=ex(cx+d+c),故 b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而 a=4,b=2,c=2,d=2. (2)由 (1)知 , f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1). 设函数 F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2
4、-4x-2,则 F(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1). 由题设可得 F(0)0, 即 k1. 令 F(x)=0,得 x1=-ln k,x2=-2. =【 ;精品教育资源文库 】 = (i)若 1k0.即 F(x)在 (-2,x1)上单调递减 ,在 (x1,+) 上单调递增 .故 F(x)在 -2,+) 上的最小值为 F(x1).而 F(x1)=2x1+2- -4x1-2=-x1(x1+2)0. 故当 x -2时 ,F(x)0, 即 f(x)kg(x) 恒成立 . (ii)若 k=e2,则 F(x)=2e2(x+2)(ex-e-2).从而当 x-2时 ,F(x)0,
5、即 F(x)在 (-2,+) 上单调递增 . 而 F(-2)=0,故当 x -2时 ,F(x)0, 即 f(x)kg(x) 恒成立 . (iii)若 ke2,则 F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)t(10),所以当内环线投入 10列列车运行 ,外环线投入 8列列车运行时 ,内、外环线乘客最长候车时间之差最短 . 2.(2017江苏扬州期中 ,18)如图 ,某市在海岛 A上建了一水产养殖中 心 .在海岸线 l上有相距 70 千米的 B,C两个小镇 ,并且 AB=30千米 ,AC=80千米 ,已知 B镇在养殖中心工作的员工有 3百人 ,C镇在养殖中心工作的员工有=【 ;精品教育资
6、源文库 】 = 5百人 .现欲在 B,C之间建一个码头 D,运送来自两镇的员工 到养殖中心工作 ,又知水路运输与陆路运输每百人每千米运输成本之比为 12. (1)求 sinABC 的大小 ; (2)设 ADB=, 试确定 的大小 ,使得运输总成本最少 . 解析 (1)在 ABC 中 ,cosABC= = =- ,所以 sinABC= . (2)在 ABD 中 ,由 = = 得 = = , 所以 AD= ,BD= = - , 设水路运输每百人每千米的运输成本为 k元 ,陆路运输每百人每千米的运输成本为 2k 元 ,k0, 则运输总成本 y=(5CD+3BD)2k+8kAD =2k5(70-BD)
7、+3BD+4AD =20k , =20k , 令 H()= , ,则 H()= , 令 H()=0, 解得 cos = ,= . 当 00,H() 单调递增 , 当 = 时 ,H() 取得最小值 , k0, 当 = 时 ,y取得 最 小值 . 此时 BD= - = ,满足 0OB.现设计师在支架 OB上装点普通珠宝 ,普通珠宝的价值为 M,且 M与 OB的长成正比 ,比例系数为 k(k为正常数 );在 AOC 区域 (阴影区域 )内镶嵌名贵珠宝 ,名贵珠宝的价值为 N,且 N与AOC 的面积成正比 ,比例系数为 4 k.设 OA=x,OB=y. (1)求 y关于 x的函数解析式 ,并写 出 x
8、的取值范围 ; (2)求 N-M的最大值及相应的 x的值 . 解析 (1)由题意得 ,AB=y+1, 在 ABC 中 ,由余弦定理得 ,x2+y2-2xycos 120=( y+1)2, 解得 y= . 由 x0,y0,xy,得 12,S(x) 的最大值为 . 故当 MN 与 AB之间的距离为 米时 ,通风窗的通风面积 S取得最大值 . 2.一个圆柱形圆木的底面半径为 1 m,长为 10 m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分 .现要把其中一部分加工成直四棱柱木梁 ,长度保持不变 ,底面为等腰梯形 ABCD(如图所示 ,其中 O为圆心 ,C,D 在半圆上 ),设 BOC=,木梁的体积为 V(单
9、位 :m3),表面积为 S(单位 :m2). (1)求 V关于 的函数表达式 ; (2)当体积 V最 大时 ,求 的值 ; (3)当木梁的体积 V最大时 ,其表面积 S是否也最大 ?请说明理由 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 (1)S 梯形 ABCD= sin =sin cos +sin , , 体积 V()=10(sin cos +sin ), . (2)V()=10(2cos 2+cos -1)=10(2cos -1)(cos +1). 令 V()=0, 得 cos = ,或 cos = -1(舍 ). ,= . 当 时 , cos 1,V()0,V() 为增函数 ; 当 时 ,0cos ,V()0,V() 为减函数 , 当 = 时 ,体积 V最大 . (3)是 .理由如下 : 木梁的侧面积 S 侧 =(AB+2BC+CD)10=20 cos +2sin +1 , . S=2S 梯形 ABCD+S 侧 =2(sin cos +sin )+20 , . 设 g()=cos +2sin +1, .g()= -2sin2 +2sin +2, 当 sin = ,即 = 时 ,g() 最大 . 又由 (2)知 = 时 ,sin cos +sin 取得最大值 ,所以 = 时 ,木梁的表面积 S最大 . 综上 ,当木梁的体积 V最大时 ,其表面积 S也最大 .
