1、3.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式及诱导公式 命题探究 (1)因为 a=(cos x,sin x),b=(3,- ),ab, 所以 - cos x=3sin x. 若 cos x=0,则 sin x=0,与 sin2x+cos2x=1矛盾 ,故cos x0. 于是 tan x=- . 又 x0, 所以 x= . (2)f(x)=ab=(cos x,sin x)(3, - )=3cos x-sin x=2 cos . 因为 x0, 所以 x+ , 从而 -1cos . 于是 ,当 x+ = ,即 x=0时 , f(x)取到最大值 3; 当 x+ =, 即 x= 时 , f(x)取到
2、最小值 -2 .考纲解读 考点 内容解读 要求 五年高 考统计 常考题型 预测热度 2013 2014 2015 2016 2017 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式及诱导公式 已知角求三角函数值 ;已知一个三角函数值求另一个三角函数值 ;三角函数化简求值 B 填空题 解答题 分析解读 同角三角函数的基本关系式和诱导公式这部分内容 ,虽然近年江苏高考没有 单独出题 ,但仍需要认真掌握 ,因为它们是三角恒等变换的基础 . 五年高考 考点 三 角函数的概念、同角三角函数的基本关系式及诱导公式 1.(2017北京 ,12,5分 )在平面直角坐标系 xOy中 ,角 与角 均以 Ox为始边 ,它
3、们的终边关于 y轴对称 .若sin = ,则 cos( -)= . 答案 - 2.(2016四川 ,11,5分 )sin 750= . 答案 3.(2016课标全国 理改编 ,5,5分 )若 tan = ,则 cos2+2sin 2= . 答案 4.(2013课 标全国 理 ,15,5 分 )设 为第二象限角 ,若 tan = ,则 sin +cos = . 答案 - 5.(2015广东 ,16,12分 )在平面直角坐标系 xOy中 ,已知向量 m= ,n=(sin x,cos x),x . (1)若 mn, 求 tan x的值 ; (2)若 m与 n的夹角为 ,求 x的值 . 解析 (1)因
4、为 mn, 所以 mn= sin x- cos x=0. 即 sin x=cos x,又 x ,所以 tan x= =1. (2)易求得 |m|=1,|n|= =1. 因为 m与 n的夹角为 , 所以 cos = = . 则 sin x- cos x=sin = . 又因为 x ,所以 x- . 所以 x- = ,解得 x= . 教师用书专用 (6 7) 6.(2014广东 ,16,12分 )已知函数 f(x)=Asin ,xR, 且 f = . (1)求 A的值 ; (2)若 f()+f( -)= , ,求 f . 解析 (1)f =Asin = , A = ,A= . (2)f()+f(
5、-)= sin + sin = , = , cos = ,cos = , 又 ,sin = = , f = sin( -)= sin = . 7.(2013辽宁理 ,17,12分 )设向量 a=( sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x . (1)若 |a|=|b|,求 x的值 ; (2)设函数 f(x)=ab, 求 f(x)的最大值 . 解析 (1)由 |a|2=( sin x)2+(sin x)2=4sin2x, |b|2=(cos x)2+(sin x)2=1 及 |a|=|b|,得 4sin2x=1. 又 x ,从而 sin x= ,所以 x= .(6分 ) (2
6、)f(x)=ab= sin xcos x+sin2x = sin 2x- cos 2x+ =sin + , 当 x= 时 ,sin 取最大值 1. 所以 f(x)的最大值为 .(12分 ) 三年模拟 A组 2016 2018 年模拟 基础题组 考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式及诱导公式 1.(2018江苏金陵中学高三阶段练习 )已知 sin = ,且 ,则 tan = . 答案 - 2.(2018江苏姜堰中学期中 )若 sin =1,则 cos = . 答案 -1 3.(2018江苏盐城时杨中学高三月考 )已知 0x ,且 sin x-cos x= ,则 4sin xcos x-
7、cos2x的值为 . 答案 4.(2018江苏东台安丰高级中学月考 )在平面直角坐标系 xOy中 ,角 的终边经过点 P(-2,t),且 sin +cos = ,则实数 t的值为 . 答案 4 5.(2018江苏淮安、宿迁高三期中 )已知 sin =cos ,0, 则 的取值集合为 . 答案 6.(2017江苏泰州中学第一次质量检测 )已知角 的终边过点 P(-8m,-6sin 30), 且 cos = - ,则 m的值为 . 答案 7.(苏教必 4,一 ,二 ,变式 )若 sin x+cos x= ,那么 sin4x+cos4x的值为 . 答案 8.(苏教必 4,一 ,二 ,变式 )已知 f
8、(x)=sin x,则下列式子中成 立的是 . f(x+)=sin x; f(2 -x)=sin x; f =-cos x; f( -x)=-f(x). 答案 9.(2016江苏苏州一模 ,8)已知 是第三象限角 ,且 sin -2cos = - ,则 sin +cos = . 答案 - B组 2016 2018 年模拟 提升题组 (满分 :50分 时间 :25分钟 ) 一、填空题 (每小题 5分 ,共 20分 ) 1.(2018江苏海安中学测试 )若一个扇形的圆心角为 ,则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为 . 答案 2.(2018江苏无锡高三期中检测 )已知 sin2x+2sin xcos
9、 x-3cos2x=0,则 cos 2x= . 答案 0或 - 3.(2017江苏江都中学质检 )已知圆 O:x2+y2=4与 y轴正半轴的交点为 M,点 M沿圆 O顺时针运动 弧长到达点 N,以射线 ON为终边的角记为 , 则 tan = . 答案 1 4.(2016江苏南通一模 ,10)已知 sin = ,则 sin +sin2 的值是 . 答案 二、解答题 (共 30分 ) 5.(2017江苏六校联考 ,15)在平面直角坐标系 xOy中 ,以 Ox轴为始边作两个角 , 它们的终边分别经过点P,Q,其中 P ,Q(sin2, -1),R, 且 sin = . (1)求 cos 2 的值 ;
10、 (2)求 tan(+) 的值 . 解析 (1)由 sin = = 得 cos2= ,则 sin2= ,所以 cos 2=cos 2 -sin2= . (2)由 sin2= ,cos2= ,得 P ,Q , 故 tan = ,tan = -3. 因此 tan(+)= =- . 6.(2016江苏常州武进期中 ,18)如图 ,在平面直角坐标系 xOy中 ,点 A(x1,y1)在单位圆 O上 ,xOA=, 且 . (1)若 cos =- ,求 x1的值 ; (2)若 B(x2,y2)也是单位圆 O上的点 ,且 AOB= .过点 A、 B分别作 x轴的垂线 ,垂足为 C、 D,记 AOC 的面积为S
11、1,BOD 的面积为 S2.设 f()=S 1+S2,求函数 f() 的最大值 . 解析 (1)由三角函数的 定义有 x1=cos , cos =- , , sin = , x 1=cos =cos =cos cos +sin sin =- + = . (2)由 y1=sin , ,得 S1= x1y1= cos sin = sin 2 . 易知 x2=cos ,y2=sin ,又由 ,得 + , 于是 ,S2= |x2y2|=- cos sin =- sin , f( )=S1+S2= sin 2 - sin = sin 2 - = sin 2 - cos 2 = = sin , 由 可得
12、2 - , 于是当 2 - = ,即 = 时 ,f() 取最大值 ,且 f() max= . C组 2016 2018 年模拟 方法题组 方法 1 三角函数概念的应用 1.已知角 的终边在直线 y=-2x上 ,则 sin +cos 的值为 . 答案 2.张明做作业时 ,遇到了这样的一道题 :“ 若已知角 终边上一点 P(x,3)(x0), 且 cos = x,问能否求出sin ,cos 的值 ?若能 ,求出其值 ;若不能 ,请说明理由 .” 他对此题百思不得其解 .同学们 ,你们能帮张明求解吗 ? 解 析 由题意 ,得 r=OP= , 则 cos = = . cos = x, = x. x0,
13、x=1 或 x=-1. 当 x=1时 ,点 P的坐标为 (1,3),角 为第一象限角 , 此时 ,sin = = ,cos = . 当 x=-1时 ,点 P的坐标为 (-1,3),此时角 为第二象限角 , 此时 ,sin = = ,cos = - . 方法 2 “sin cos ” 与 “sin cos ” 的互化 3.已知 sin +cos = ,其中 0, 则 sin -cos 的值为 . 答案 方法 3 借 tan = 实现 “ 双弦齐次式 ” 与 “ 正切 ” 的互化 “ 共赢 ” 4.已知 =2,则 sin cos 的值为 . 答案 - 5.已知 R,sin +2cos = ,则 tan = . 答案 3或 -
