1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 4 讲 数列求和 1 等差数列 an的通项 公式为 an 2n 1， 其前 n 项的和为 Sn， 则数列 ? ?Snn 的前 10 项的和为 _ 解析 因为 a1 3， Sn n（ a1 an）2 n(n 2)， 所以 Snn n 2.故 S11 S22 ? S1010 75. 答案 75 2 数列 a1 2，?， ak 2k，?， a10 20 共有 10 项 ， 且其和为 240， 则 a1 ? ak ? a10的值为 _ 解析 a1 ? ak ? a10 240 (2 ? 2k ? 20) 240 （ 2 20） 102 240 110 130. 答
2、案 130 3 已知数列 an中 an?n 1， n为奇数 ，n， n为偶数 ， 则 a1 a2 a3 a4 ? a99 a100 _. 解析 由题意得 a1 a2 a3 a4 ? a99 a100 0 2 2 4 4 ? 98 98 1002(2 4 6 ? 98) 100 2 49 （ 2 98）2 100 5 000. 答案 5 000 4 已知数列 an的前 n 项和 Sn an2 bn(a、 b R)， 且 S25 100， 则 a12 a14 _ 解析 由数列 an的前 n 项和 Sn an2 bn(a、 b R)， 可知数列 an是等差数列 ，由 S25 （ a1 a25） 25
3、2 100， 解得 a1 a25 8， 所以 a1 a25 a12 a14 8. 答案 8 5 已知数列 an的前 n项和为 Sn， a1 1， 当 n2 时 ， an 2Sn 1 n， 则 S2 017的值为 _ 解析 因为 an 2Sn 1 n， n 2， 所 以 an 1 2Sn n 1， n 1， 两式相减得 an 1 an 1，n 2.又 a1 1， 所以 S2 017 a1 (a2 a3) ? (a 2 016 a2 017) 1 009. 答案 1 009 6 已知数列 an的通项公式为 an lg? ?1 2n2 3n ， n 1， 2，?， Sn 是数列 an的前 n项和 ，
4、 则 Sn _. 解析 an lg? ?1 2n2 3n lgn2 3n 2n2 3n lg（ n 1）（ n 2）n（ n 3） lg(n 1) lg(n 2)=【 ;精品教育资源文库 】 = lg n lg(n 3)， 所以 Sn a1 a2 ? an (lg 2 lg 3 lg 1 lg 4) (lg 3 lg 4lg 2 lg 5) (lg 4 lg 5 lg 3 lg 6) ? lg(n 1) lg(n 2) lg n lg(n 3) lg(n 1) lg 1 lg(n 3) lg 3 lgn 1n 3 lg 3. 答案 lgn 1n 3 lg 3 7 已知等差数列 an的前 n 项
5、和为 Sn， a5 5， S5 15， 则数列 ? ?1anan 1的前 100 项和为_ 解析 设等差数列 an公差为 d. 因为 a5 5， S5 15， 所以?a1 4d 5，5a1 5 （ 5 1）2 d 15， 所以?a1 1，d 1， 所以 an a1 (n 1)d n. 所以 1anan 1 1n（ n 1） 1n 1n 1， 所以数列 ? ?1anan 1的前 100 项和为 1 12 12 13 ? 11001101 11101100101. 答案 100101 8 (2018 南京质检 )已知数列 an满足 an 1 12 an a2n， 且 a1 12， 则该数列的前 2
6、 018项的和等于 _ 解析 因为 a1 12， 又 an 1 12 an a2n， 所以 a2 1， 从而 a3 12， a4 1， 即得 an?12， n 2k 1（ k N*） ，1， n 2k（ k N*） ，故数列的前 2 018 项的和等于 S2 018 1 009 ? ?1 12 3 0272 . 答案 3 0272 9 对于数列 an， 定义数列 an 1 an为数列 an的 “ 差数列 ” ， 若 a1 2， an的 “ 差数列 ” 的通项公式为 an 1 an 2n， 则数列 an的前 n 项和 Sn _ 解析 因为 an 1 an 2n， 所以 an (an an 1)
7、(an 1 an 2) ? (a2 a1) a1 2n 1 2n 2 ? 22 2 2 2 2n1 2=【 ;精品教育资源文库 】 = 2 2n 2 2 2n. 所以 Sn 2 2n 11 2 2n 1 2. 答案 2n 1 2 10 (2018 辽宁省五校协作体联考 )在数列 an中 ， a1 1， an 2 ( 1)nan 1， 记 Sn 是数列 an的前 n 项和 ， 则 S60 _. 解析 依题意得 ， 当 n 是奇数时 ， an 2 an 1， 即数列 an中的奇数项依次形成首项为1、公差为 1 的等差数列 ， a1 a3 a5 ? a59 301 30 292 1 465；当 n
8、是偶数时 ， an 2 an 1， 即数列 an中的相邻的两个偶数项之和均等于 1， a2 a4 a6 a8 ? a58 a60(a2 a4) (a6 a8) ? (a58 a60) 15.因此 ， 该数列的前 60 项和 S60 465 15 480. 答案 480 11已知等比数列 an中 ， 首项 a1 3， 公比 q1， 且 3(an 2 an) 10an 1 0(n N*) (1)求数列 an的通项公式； (2)设 ? ?bn13an 是首项为 1， 公差为 2 的等差数列 ， 求数列 bn的通项公式和前 n 项和 Sn. 解 (1)因为 3(an 2 an) 10an 1 0， 所
9、以 3(anq2 an) 10anq 0， 即 3q2 10q 3 0. 因为公比 q1， 所以 q 3. 又首项 a1 3， 所以数列 an的通项公式为 an 3n. (2)因为 ? ?bn13an 是首项为 1， 公差为 2 的等差数列 ， 所以 bn 13an 1 2(n 1) 即数列 bn的通项公式为 bn 2n 1 3n 1， 前 n 项和 Sn (1 3 32 ? 3n 1) 1 3 ? (2n 1) 12(3n 1) n2. 12 (2018 江西省名校学术联盟第一次调研 )设数列 an满足 a1 2， a2 a5 14， 且对任意 n N*， 函数 f(x) an 1x2 (a
10、n 2 an)x 满足 f(1) 0. (1)求数列 an的通项公式； (2)设 bn 1（ an 1）（ an 1）， 记数列 bn的前 n 项和为 Sn， 求证： Sn 12. 解 (1)由 f(x) an 1x2 (an 2 an)x， 得 f( x) 2an 1x (an 2 an)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 f(1) 0， 得 2an 1 an 2 an ， 故 an为等差数 列 设等差数列 an的公差为 d， 由 a1 2， a2 a5 14， 得 (a1 d) (a1 4d) 14， 解得 d 2， 所以数列 an的通项公式为 an a1 (n 1)d 2 (n 1
11、)2 2n(n N*) (2)证明： bn 1（ an 1）（ an 1） 1（ 2n 1）（ 2n 1） 12? ?12n 1 12n 1 ， 所以 Sn 12? ?1 13 13 15 ? 12n 1 12n 1 12? ?1 12n 1 12. 1 已知等比数列 an中 ， a1 3， a4 81， 若数列 bn满足 bn log3an， 则数列 ? ?1bnbn 1的前 n 项和 Sn _ 解析 设等比数列 an的公比为 q， 则 a4a1 q3 27， 解得 q 3.所以 an a1qn 1 33 n 1 3n， 故 bn log3an n， 所以 1bnbn 1 1n（ n 1）
12、1n 1n 1. 则数列 ? ?1bnbn 1的前 n 项和为 1 12 12 13 ? 1n 1n 1 1 1n 1 nn 1. 答案 nn 1 2 设等差数列 an的前 n 项和为 Sn， Sm 1 2， Sm 0， Sm 1 3， 则 m _. 解析 由 Sm 1 2， Sm 0， Sm 1 3， 得 am Sm Sm 1 2， am 1 Sm 1 Sm 3， 所以等差数列的公差为 d am 1 am 3 2 1， 由?am a1（ m 1） d 2，Sm a1m 12m（ m 1） d 0， 得?a1 m 1 2，a1m 12m（ m 1） 0， 解得 ?a1 2，m 5. 答案 5
13、3 设函数 f(x) xm ax 的导函数 f( x) 2x 1， 则数列 ? ?1f（ n） (n N*)的前 n 项和为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 析 因为 f( x) mxm 1 a， 所以 m 2， a 1. 所以 f(x) x2 x， f(n) n2 n. 所以 1f（ n） 1n2 n 1n（ n 1） 1n 1n 1， 则 1f（ 1） 1f（ 2） 1f（ 3） ? 1f（ n 1） 1f（ n） ? ?1 12 ? ?12 13 ? ?13 14 ? ? ?1n 1 1n ? ?1n 1n 1 1 1n 1 nn 1. 答案 nn 1 4 (2017 西安模拟
14、 )数列 an是等差数列 ， 数列 bn满足 bn anan 1an 2(n N*)， 设 Sn为 bn的前 n 项和若 a12 38a5 0， 则当 Sn取得最大值时 n 的值为 _ 解析 设 an的公差为 d， 由 a12 38a5 0 得 a1 765d， d 0， 所以 an ? ?n 815 d， 从而可知当 1 n16 时 ， an 0； 当 n17 时 ， an 0. 从而 b1 b2 ? b14 0 b17 b18 ? ， b15 a15a16a17 0， b16 a16a17a18 0， 故 S14 S13 ? S1， S14 S15， S15 S16， S16 S17 S1
15、8 ?. 因为 a15 65d 0， a18 95d 0， 所以 a15 a18 65d 95d 35d 0， 所以 b15 b16 a16a17(a15 a18) 0， 所以 S16 S14， 故当 Sn取得最大值时 n 16. 答案 16 5 (2018 南京四校第一学期联考 )已知向量 a (x， 1)， b (xy， x y)， 若 a b，y f(x) (1)求 f(x)的表达式； (2)已知各项都为正数的数列 an满足 a1 13， a2n 1 2anf(an)(n N*)， 求数列 an的通项公式； (3)在 (2)的条件下 ， 设 bn 1a2n 1， Sn为数列 bn的前 n 项和 ， 求使 Sn 1278 成立的 n 的最=【 ;精品教育资源文库 】 = 小值 解： (1)由 a b， 得 x2y ( 1)(x y) 0， 所以 y xx2 1， 则 f(x)的表达式为 f(x) xx2 1. (2)由 (1)知 f(x) xx2 1， 所以 a2n 1 2anf(an) 2an ana2n 1 2a2na2n 1， 因此 1a2n 1 a2n 12a2n 12a2n12， 所以 1a2n 1 1 12a2n 12 12? ?1a2n 1 . 又 1a21 1
