1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 11.2 直接证明与间接证明 考纲解读 考点 内容解读 要求 五年高考统计 常考题型 预测热度 2013 2014 2015 2016 2017 1.直接证明 1.不等式证明 2.数列证明 3.函数证明 A 解答题 2.间接证明 1.不等式证明 2.数列证明 3.函数证明 A 解答题 分析解读 本节内容江苏高考一般很少单独考查 ,一般都和其他知识相结合 ,放在不同的解答题中考查其运用 . 五年高考 考点一 直接证明 1.(2013广东理 ,19,14分 )设数列 an的前 n项和为 Sn.已知 a1=1, =an+1- n2-n- ,nN *. (1)求 a2
2、的值 ; (2)求数列 an的通项公式 ; (3)证明 :对一切正整数 n,有 + +?+ -1)的最小值 ; (2)证明 : 0时 , f (x)0,所以 f(x)在 (0,+) 内是增函数 . 故函数 f(x)在 x=0处取得最小值 f(0)=0. (2)证明 :由 (1)知 ,当 x( -1,+) 时 ,有 f(x)f(0)=0, 即 (1+x)r+11+(r+1)x, 且等号当且仅当 x=0时成立 , 故当 x-1且 x0 时 ,有 (1+x)r+11+(r+1)x. 在 中 ,令 x= (这时 x-1 且 x0), 得 1+ . 上式两边同乘 nr+1,得 (n+1)r+1nr+1+
3、nr(r+1), 即 nr1时 ,在 中令 x=- (这时 x-1且 x0), 类似可得 nr . 且当 n=1时 , 也成立 . 综合 , 得 =【 ;精品教育资源文库 】 = 0,判断函数 g(x)=f(x)-mx 零点的个数 ; (2)设 a0),所以 g(x)=ex-m. 当 m1 时 ,g(x)=ex-me0-m0, g(x)在 (0,+) 上单调递增 ,g(x)g(0)=1,此时函数无零点 . 当 m1时 ,令 g(x)=ex-m=0,得 x=ln m, 当 x(0,ln m) 时 ,g(x)0,g(x)在 (ln m,+) 上单调递增 . 故 g(x)min=g(ln m)=m-
4、mln m=m(1-ln m). 当 10,此时函数无零点 , 当 m=e时 ,g(x)min=0,此时函数有 1个零点 . 当 me时 ,g(ln m)0,故函数在 (0,ln m)上有唯一零点 . g(2ln m)=e2ln m-m2ln m=m 2-2mln m=m(m-2ln m), 令 (m)=m -2ln m(me),则 (m)=1 - 0,所以 (m) 在 (e,+) 上单调递增 ,(m)e -20,故 g(2ln m)0,故函数在 (ln m,+) 上有唯一零点 ,此时函数有两个零点 . 综上 ,当 me时 ,函数有 2个零点 . (2) . =【 ;精品教育资源文库 】 =
5、要证 ,只要证 . 只要证 = =1- , 令 h(x)= + -1(x0),所以 h(x)= - = 0, 所以 h(x)在 (0,+) 上单调递增 ,故 h(x)0, 所以 + -10,故原不等式成立 . 2. (2017江苏无锡一中月考 )已知函数 f(x)=tan x,x ,若 x1,x2 ,且 x1x 2,求证 : f(x1)+f(x2)f . 证明 要证 f(x1)+f(x2)f , 即证明 (tan x1+tan x2)tan , 只需证明 tan , 只需证明 . 由于 x1,x2 ,故 x1+x2(0,). 所以 cos x1cos x20,sin(x1+x2)0,1+cos
6、(x1+x2)0. 故只需证明 1+cos(x1+x2)2cos x1cos x2, 即证 1+cos x1cos x2-sin x1sin x22cos x1cos x2. 即证 cos(x1-x2)f . 考点二 间接证明 3.(2016江苏无锡期中 )设 a,b是两个实数 ,给出下列条件 : a+b1;a+b=2;a+b2;a 2+b22;ab1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 其中能推出 :“a,b 中至少有一个大于 1” 的条 件是 . 答案 4.(苏教选 2 2,二 ,2,9,变式 )已知数列 an的前 n项和为 Sn,且满足 an+Sn=2. (1)求数列 an的通项公式 ;
7、 (2)求证 :数列 an中不存在三项按原来顺序成等差数列 . 解析 (1)当 n=1时 ,a1+S1=2a1=2,则 a1=1. 又 an+Sn=2,所以 an+1+Sn+1=2, 两式相减得 an+1= an, 所以 an是首项为 1,公比为 的等比数列 , 所以 an= . (2)证明 :反证法 :假设存在三项按原来顺序成等差数列 ,记为 ap+1,aq+1,ar+1(p-2),使函数 h(x)= 是区间 a,b上的 “ 四维光军 ” 函数 ?若存在 ,求出 a,b的值 ;若不存在 ,请说明理由 . 解析 (1)由题设得 g(x)= (x-1)2+1,其图象的对称轴为 x=1,所以函数在
8、区间 1,b上单调递增 .由 “ 四维光军 ” 函数的定义可知 ,g(1)=1,g(b)=b, 即 b2-b+ =b,解得 b=1或 b=3. 因为 b1,所以 b=3. (2)假设函数 h(x)= 在区间 a,b(a-2)上是 “ 四维光军 ” 函数 , 因为 h(x)= 在区间 (-2,+) 上单调递减 , =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以有 即 解得 a=b,这与已知矛盾 .故不存在常数 a,b(a-2),使函数 h(x)= 是区间 a,b上的 “ 四维光军 ” 函数 . B组 2016 2018 年模拟 提升题组 (满分 :15分 时间 :10分钟 ) 解答题 (共 15分 )
9、(2017江苏射阳中学质检 )各项均为正数的等比数列 an,a1=1,a2a4=16,bn的各项均为正数 ,前 n项和为Sn,a4=b3,且 6Sn= +3bn+2(nN *). (1)求数列 an、 bn的通项公式 ; (2)令 cn= (nN *),求使得 cn1的所有 n的值 ,并说明理由 ; (3)证明 an中任意三项不可能构成等差数列 . 解析 (1)设 an的公比为 q,则 q0.a 2a4= q4=q4=16,q 2=4,q=2,a n=2n-1, b 3=a4=8. 6S n= +3bn+2, 当 n2 时 ,6Sn-1= +3bn-1+2, - 得 6bn= - +3bn-3
10、bn-1(n2), 即 (bn+bn-1)(bn-bn-1)=3(bn+bn-1)(n2), b n0,b n-bn-1=3,b n是公差为 3的等差数列 . 当 n=1时 ,6b1= +3b1+2,解得 b1=1 或 b1=2, 当 b1=1 时 ,bn=3n-2,此时 b3=7,与 b3=8矛盾 ;当 b1=2时 ,bn=3n-1,此时 b3=8=a4,b n=3n-1. (2)b n=3n-1,c n= = ,c 1=21,c2= 1,c3=21,c4= 1,c5= 1 的所有 n的值为 1,2,3,4. (3)证明 :假设 an中存在三项 p,q,r(pe; (3)若 对任意的 x(0
11、,1, 不等式 f(x)g(x)a(x -1)恒成立 ,求实数 a的取值范围 . 解析 (1)因为 y=f(x)g(x)= ,所以 y= ,当 x=1时 ,y= ,y=0. 所以曲线 y=f(x)g(x)在 x=1 处的切线方程为 y= (x-1), 即 x-ey-1=0. (2)证明 :由 g(x1)-g(x2)=f(x 2)-f(x1)得 g(x1)+f(x 1)=g(x2)+f(x 2). 记 p(x)=g(x)+f(x)=ln x+ ,则 x(0,+), 且 p(x)= . 假设 e. 若 0, 则 p(x)0,所以 p(x)在 (0,+) 上为单调增函数 . 又 p(x1)=p(x2),所以 x1=x2,与 x1x 2矛盾 . 若 0x0时 ,r(x)0,r(x)在 (x0,+) 上为单调增函数 ; 当 0e. (3)由 f(x)g(x)a(x -1)得 ln x-aex(x-1)0. 记 F(x)=ln x-aex(x-1),00, 所以 F(x)0, 所以 F(x)在 (0,1上为单调增函数 , 所以 F(x)F(1)=0, 故原不等式恒成立 . 当 a 时 ,一方面 ,F(1)=1-ae0. 所以 ? x0(x 1,1),使 F(x0)=0, 所以当 x0F(1)=0,不合题意 . 综上 ,a .
