1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 12 讲 导数与函数的极值、最值 1 函数 f(x) xe x， x 0， 4的最大值为 _ 解析 f( x) e x x e x e x(1 x)， 令 f( x) 0， 得 x 1. 又 f(0) 0， f(4) 4e4， f(1) e 1 1e， 所以 f(1)为最大值 答案 1e 2 函数 f(x) (2x x2)ex的极大值为 _ 解析 f( x) (2 2x)ex (2x x2)ex (2 x2)ex， 由 f( x) 0， 得 x 2或 x 2. 由 f( x) 2. 由 f( x)0， 得 20， f (x) 3(x a)(x a)， 由已
2、知条件 01， 即 a0)在 1， ) 上的最大值为 33 ， 则 a 的值为 _ 解析 f( x) x2 a 2x2（ x2 a） 2a x2（ x2 a） 2， 当 x a时 ， f (x)0， f(x)单调递增 ， 当 x a时 ， f (x) 0， f(x)单调递减 ， 当 x a时 ， f(x)取到极大值 ， 令 f( a) a2a 33 ， a 32 a， 则实数 a 的取值范围为 _ 解析 f( x) 3x2 x 2， 令 f( x) 0， 得 3x2 x 2 0， 解得 x 1 或 x 23， 又 f(1) 72， f? ? 23 15727 ， f( 1) 112 ， f(2
3、) 7， 故 f(x)min 72， 所以 a0， 即 xln 2 时 ， 该函数单调递减 ， 所以 ， 当 x ln 2， g(x)取得最大值 2ln 2 2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 a2 ln 2 2. 答案 2ln 2 2 9 若函数 f(x) xln x a2x2 x 1 有两个极值点 ， 则 a 的取值范围为 _ 解析：因为 f(x) xln x a2x2 x 1(x0)， 所以 f( x) ln x ax， f (x) 1x a 0， 得一阶导函数有极大值点 x 1a， 由于 x0 时 f( x) ；当 x 时 ， f (x) ， 因此原函数要有两个极值点 ， 只
4、要 f ? ?1a ln1a 10， 解得 00)上的最小值 解： (1)当 a 5 时 ， g(x) ( x2 5x 3) ex， g(1) e， 所以 g( x) ( x2 3x 2) ex， 故切线的斜率为 g(1) 4e. 所以切线的方程为 y e 4e(x 1)， 即 y 4ex 3e. (2)f( x) ln x 1. x， f (x)， f(x)的变化情况如下表： =【 ;精品教育资源文库 】 = x ? ?0， 1e 1e ? ?1e， f (x) 0 f(x) 极小值 当 t 1e时 ， 在区间 t， t 2上 f(x)为增函数 ， 所以 f(x)min f(t) tln t
5、； 当 00， f(x)为 ( ， ) 上的增函数 ， 所以函数 f(x)无极值 当 a0 时 ， 令 f( x) 0， 得 ex a， 即 x ln a. x ( ， ln a)时 ， f (x)0， 所以 f(x)在 ( ， ln a)上单调递减 ， 在 (ln a， ) 上单调递增 ， 故 f(x)在 x ln a 处取得极小值 ， 且极小值为 f(ln a) ln a， 无极大值 综上 ， 当 a0 时 ， 函数 f(x)无极值； 当 a0 时 ， f(x)在 x ln a 处取得极小值 ln a， 无极大值 1设函 数 f(x) kx3 3x 1(x R)， 若对于任意 x 1， 1
6、， 都有 f(x)0 成立 ，则实数 k 的值为 _ 解析 若 x 0， 则不论 k 取何值 ， f(x)0 都成立； =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 x0， 即 x(0 ， 1时 ， f(x) kx3 3x 10 可化为 k 3x2 1x3. 设 g(x) 3x2 1x3， 则 g( x) 3（ 1 2x）x4 ， 所以 g(x)在区间 ? ?0， 12 上单调递增 ， 在区间 ? ?12， 1 上单调递减 ， 因此 g(x)max g? ?12 4， 从而 k4 ； 当 x12 ， 当 x( 2， 0)时 ， f(x)的最小值为 1， 则 a _ 解析 因为 f(x)是奇函数 ， 所
7、以 f(x)在 (0， 2)上的最大值为 1. 当 x(0 ， 2)时 ， f (x) 1x a， 令 f( x) 0 得 x 1a， 又 a12， 所以 00， f(x)在 ? ?0， 1a 上单调递增； 当 x1a时 ， f (x)0 时 ，令 f( x) 0 可得 x 1a， 当 x ? ? 1a， 1a 时 ， f (x)0， f(x)为 增函数 ，由 f( 1) 4 a0 且 f(1) a 20 ， 可得 2 a4 ， 又 f? ?1a a 1a a 3a 1 1 2a 0， 可得 a4 ， 综上可知a 4. 答案 4 5 设 f(x) 13x3 12x2 2ax. (1)若 f(x)在 ? ?23， 上存在单调递增区间 ， 求 a 的取值范围； (2)当 00， 得 a 19.所以 ， 当 a 19时 ， f(x)在 ? ?23， 上存在单调递增区间 (2)令 f( x) 0， 得两根 x1 1 1 8a2 ， x2 1 1 8a2 . 所以 f(x)在 ( ， x1)， (x2， ) 上单调递减 ， 在 (x1， x2)上单调递增 当 00 时 ， f(x)在 1， e上单调递增 ， 则 f(x)在 1， e上的最大值为 f(e) a. 综上所述 ， 当 a2 时 ， f(x)在 1， e上的最大值为 a； 当 a2 时 ， f(x)在 1， e上的最大值为 2.
