1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 8 讲 圆锥曲线中的热点问题 1 (2018 镇江调研 )已知点 A(0， 2)及椭圆 x24 y2 1 上任意一点 P， 则 PA 的最大值为_ 解析 设 P(x0， y0)， 则 2 x0 2， 1 y0 1， 所以 PA2 x20 (y0 2)2. 因为 x204 y20 1， 所以 PA2 4(1 y20) (y0 2)2 3y20 4y0 8 3? ?y0232 283. 因为 1 y0 1， 而 10， b0)的一条渐近线方程是 y 3x， 它的一个焦点在抛物线 y2 24x 的准线上 ， 则双曲线的方程为 _ 解析 因为一条渐近线方程是 y
2、3x， 所以 ba 3. 因为双曲线的一个焦点在 y2 24x 的准线上 ， 所以 c 6. 又 c2 a2 b2， 由 知 ， a2 9， b2 27， =【 ;精品教育资源文库 】 = 此双曲线方程为 x29y227 1. 答案 x29y227 1 4 已知圆 C： x2 y2 6x 8y 21 0， 抛物线 y2 8x 的准线为 l， 设抛物线上任意一点P 到直线 l 的距离为 m， 则 m PC 的最小值为 _ 解析 由题意得圆 C 的方程为 (x 3)2 (y 4)2 4， 圆心 C 的坐标为 ( 3， 4)由抛物线定义知 ， 当 m PC 最小时 ， 为圆心与抛物线焦点间的距离 ，
3、 即 m PC（ 3 2） 2（ 4） 2 41. 答案 41 5 (2018 南通 质量检测 )若 F(c， 0)是双曲线 x2a2y2b2 1(ab0)的右焦点 ， 过 F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于 A， B 两点 ， O 为坐标 原点 ， OAB 的面积为 12a27 ，则该双曲线的离心率 e _ 解析 设过第一、三象限的渐近线的倾斜角为 ， 则 tan ba， tan 2 2aba2 b2，因此 OAB 的面积可 以表示为 12 a atan 2 a3ba2 b212a27 ， 解得ba34， 则 e54. 答案 54 6 若 直线 y kx 交椭圆 x24 y2 1
4、 于 A、 B 两点 ， 且 AB 10， 则 k 的取值范围为 _ 解析 由?y kx，x24 y2 1得 x2 44k2 1. 不妨设?xA 24k2 1，yA 2k4k2 1， ?xB 24k2 1，yB 2k4k2 1.由两点间距离公式得 AB2 16（ 1 k2）4k2 1 10， 解得 k2 14.所以 k 的取值范围为 12 k 12. 答案 ? ? 12， 12 7 过抛物线 y2 2px(p 0)的焦点 F， 斜率为 43的直线交抛物线于 A， B 两点 ， 若 AF FB=【 ;精品教育资源文库 】 = ( 1)， 则 的值为 _ 解析 根据题意设 A(x1， y1)， B
5、(x2， y2)， 由 AF FB ， 得 ? ?p2 x1， y1 ? ?x2p2， y2 ，故 y1 y 2， 即 y1y2.设直线 AB 的方程 为 y 43? ?x p2 ， 联立直线与抛物线方程 ， 消元得 y2 32py p2 0.故 y1 y2 32p， y1 y2 p2， （ y1 y2）2y1 y2 y1y2y2y1 294， 即 1 2 94.又 1， 故 4. 答案 4 8 (2018 湖北省华中师大附中月考 )已知 F 为抛物线 y2 2px(p0)的焦点 ， 抛物 线的准线与双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的两条渐近线分别交于 A、 B 两点若 AFB 为
6、直角三角形 ，则双曲线的离心率为 _ 解析 设 AB 与 x 轴交点为 M， 由 AFB 为直角三角形 ， 则它为等腰直角三角形 ， 因此有MA MB MF， 抛物线的准线方程为 x p2， 把 x p2代入双曲线的渐近线方程 y bax， 得A， B 的 纵坐标为 bp2a， 因此有 bp2a p， 所以 b 2a， c a2 b2 5a， 因此 e ca 5. 答案 5 9 (2018 无锡 调研 )设 F1、 F2分别是椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)的左、右两个焦点 ， 若在其右准线上存在点 P， 使线段 PF1的中垂线过点 F2， 则该椭圆的离心率的取值范围是 _ 解析 如图 ，
7、 设右准线 与 x 轴的交点为 H， 则 PF2 HF2. 又因为 F1F2 PF2， 所以 F1F2 HF2， 即 2c a2c c， 所以 3c2 a2.所以 e2 13， 即 e33 .又因为 e0， b0)的一条渐近线方程为kx y 0， 根据圆心 (1， 0)到该直线的距离 为半径 15， 得 k2 14， 即 b2a214.又 a2 b2 ( 5)2，则 a2 4， b2 1， 所以所求双曲线的标准方程为 x24 y2 1. 答案 x24 y2 1 2 已知椭圆方程为 x216y212 1， 若 M 为右准线上一点 ， A 为椭圆的左顶点 ， 连结 AM 交椭圆于点 P， 则 PM
8、AP的取值范 围是 _ 解析 设 P 点横坐标为 x0， 则 PMAP 8 x0x0 4 12x0 4 1， 因为 40)和椭圆 x24m2y23m2 1 的交点为 P.F1、 F2为椭圆的左、右焦点 ，若存在实数 m， 使得 PF1F2的边长是连续的自然数 ， 则 m _ 解析 在 PF1F2中 ， PF1最长 ， PF2最短 ， F1F2 2c 2m， 所以 F1F2 2m， PF1 2m 1， PF2 2m 1， 又因为 P 在 C1上 ， 所以 P( )m 1， 4m（ m 1） ，将 其代入椭圆 x24m2y23m2 1 得 m 3. 答案 3 =【 ;精品教育资源文库 】 = 4.
9、已知椭圆 x2a2y2b2 1(a b c0， a2 b2 c2)的左、右焦点分别为F1， F2， 若以 F2为圆心 ， b c 为半径作圆 F2， 过椭圆上一点 P 作此圆的切线 ， 切点为 T， 且 PT 的最小值不小于 32 (a c)， 则椭圆的离心率的取值范围为 _ 解析 依题意切线长 PT PF22（ b c） 2， 所以当且仅当 PF2取得最小值时 PT 取得最小值 ， 而 (PF2)min a c， 所以 （ a c） 2（ b c） 2 32 (a c)， 所以 0c，2bc2，4（ a2 c2） 2c2，5c2 2ac 3a2 0， 所以 ?e2b0)的右焦点为 F2(2，
10、 0)， 点 P?1， 153在椭圆 C 上 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)是否存 在斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M， N 两点 ， 使得 F1M F1N(F1为椭圆的左焦点 )？若存在 ， 求出直线 l 的方程；若不存在 ， 说明理由 解 (1)法一：因为椭圆 C 的右焦点为 F2(2， 0)， 所以 c 2， 椭圆 C 的左焦点为 F1( 2， 0) 由椭圆的定义可得 2a （ 1 2） 2 ? ? 1532 （ 1 2） 2 ? ? 1532 969 249 2 6， 解得 a 6， 所以 b2 a2 c2 6 4 2. 所以椭圆 C 的标准方程为 x26y22
11、1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 法二：因为椭圆 C 的 右焦点为 F2(2， 0)， 所以 c 2， 故 a2 b2 4， 又点 P? ?1， 153 在椭圆 C 上 ， 则 1a2 159b2 1， 故 1b2 4 159b2 1， 化简得 3b4 4b2 200， 得 b2 2， a2 6， 所以椭圆 C 的标准方程为 x26y22 1. (2)假设存在满足条件的直线 l， 设直线 l 的方程为 y x t， 由?x26y22 1y x t得 x2 3( x t)2 6 0， 即 4x2 6tx (3t2 6) 0， ( 6t)2 44(3 t2 6) 96 12t20， 解得 2
12、 2b0)的离心率为32 ， 直线 l： y12x 与椭圆 E 相交于 A， B 两点 ， AB 2 10，C， D 是椭圆 E 上异于 A， B 的两点 ， 且直线 AC， BD 相交于点 P， 直线 AD， BC 相交于点 Q. (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)求证：直线 PQ 的斜率为定值 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 (1)因为 e ca 32 ， 所以 c2 34a2， 即 a2 b2 34a2， 所以 a 2b. 所以椭圆方程为 x24b2y2b2 1. 由题意知点 A 在第二象限 ， 点 B 在第四象限 由?y 12x，x24b2y2b2 1，得 A? ? 2b，
13、22 b . 又 AB 2 10， 所以 OA 10， 即 2b2 12b2 52b2 10， 得 b 2， a 4. 所以椭圆 E 的标准方程为 x216y24 1. (2)证明：由 (1)知 ， 椭圆 E 的方程为 x216y24 1， A( 2 2， 2)， B(2 2， 2) 当直线 CA， CB， DA， DB 的斜率都存在 ， 且不为零时 ， 设直线 CA， DA 的斜率分别为 k1， k2， C(x0， y0)， 显然 k1 k2. 从而 k1 kCB y0 2x0 2 2 y0 2x0 2 2 y20 2x20 84? ?1 x2016 2x20 8 2 x204x20 814
14、， 所以 kCB 14k1. 同理 kDB 14k2. 所以直线 AD 的方程为 y 2 k2(x 2 2)， 直线 BC 的方程为 y 2 14k1(x 2 2)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 由?y 2 14k1（ x 2 2） ，y 2 k2（ x 2 2） ，解得?x 2 2（ 4k1k2 4k1 1）4k1k2 1，y 2（ 4k1k2 4k2 1）4k1k2 1.从而点 Q 的坐标为 ?2 2（ 4k1k2 4k1 1）4k1k2 1 ，2（ 4k1k2 4k2 1）4k1k2 1 . 用 k2代替 k1， k1代替 k2得点 P 的坐标为 ?2 2（ 4k1k2 4k2 1
15、）4k1k2 1 ，2（ 4k1k2 4k1 1）4k1k2 1 . 所以 kPQ 2（ 4k1k2 4k2 1）4k1k2 1 2（ 4k1k2 4k1 1）4k1k2 12 2（ 4k1k2 4k1 1）4k1k2 1 2 2（ 4k1k2 4k2 1）4k1k2 1 4 2（ k2 k1）8 2（ k2 k1） 12. 即直线 PQ 的斜率为定值 ， 其定值为 12. 当直线 CA， CB， DA， DB 中 ， 有直线的斜率不存在时 ， 由题意得 ， 至多有一条直线的斜率不存在 ， 不妨设直线 CA 的斜率不存在 ， 从而 C( 2 2， 2) 设 DA 的斜率为 k， 由 知 kDB 14k. 因为直线 CA： x 2 2，直线 DB： y 2 14k(x 2 2)， 得 P? ? 2 2， 2 2k . 又直线 BC： y 2， 直线 AD： y 2 k(x 2 2)， 得 Q? ? 2 2 2 2k ， 2 ， 所以 kPQ 12. 由 可知 ， 直线 PQ 的斜率为定值 ， 其定值为 12.
