1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 44 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系 2能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 3初步了解用代数方法处理几何问题的思想 . 2017 全国卷 ， 20 2016 全国卷 ， 15 2016 全国卷 ， 6 2016 天津卷， 15 圆的方程、直线与圆的位置关系在高考中几乎是年年考，一般单独命题但有时也与圆锥曲线等知识综合，重点考查函数与方程、数形结合及转化与化归思想的应用 . 分值： 5 分 1直线与圆的位置关系 (1)三种位置关系：
2、！ _相交 _#、 ！ _相切 _#、 ！ _相离 _#. (2)两种研究方法 (3)圆的切线方程的常用结论 过圆 x2 y2 r2上一点 P(x0， y0)的圆的切线方程为 x0x y0y r2； 过圆 (x a)2 (y b)2 r2 上一点 P(x0， y0)的圆的切线方程为 (x0 a)(x a) (y0b)(y b) r2； 过圆 x2 y2 r2外一点 M(x0， y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0x y0y r2. 2圆与圆的位置关系 设圆 O1： (x a1)2 (y b1)2 r21(r1 0)， 圆 O2： (x a2)2 (y b2)2 r22(r2 0)
3、. 方法 位置关系 几何法：圆心距 d 与 r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 =【 ;精品教育资源文库 】 = 外离 dr1 r2 无解 外切 d r1 r2 一组实数解 相交 |r1 r2|4， 点 M 在圆 C 外部 当过点 M 的直线斜率不存在时，直线方程为 x 3， 即 x 3 0. 又点 C(1,2)到直线 x 3 0 的距离 d 3 1 2 r， 即此时满足题意，所以直线 x 3 是圆的切 线 当切线的斜率存在时，设切线方程为 y 1 k(x 3)， 即 kx y 1 3k 0， 则圆心 C 到切线的距离 d |k 2 1 3k|k2 1 r 2， 解得
4、k 34. =【 ;精品教育资源文库 】 = 切线方程为 y 1 34(x 3)，即 3x 4y 5 0. 综上可得，过点 M 的圆 C 的切线方程为 x 3 0 或 3x 4y 5 0. |MC| ?3 1?2 ?1 2?2 5， 过点 M 的圆 C 的切线长为 |MC|2 r2 5 4 1. 四 圆与圆的位置关系 (1)处理两圆的位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法 (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到 【例 4】 已知圆 C1： (x a)2 (y 2)2 4 与圆 C2： (x b)2 (y 2)2 1. (1)若圆 C1与圆 C2外
5、切，求 ab 的最大值； (2)若圆 C1与圆 C2内切，求 ab 的最大值； (3)若圆 C1与圆 C2相交，求公共弦所在的直线方程； (4)若圆 C1与圆 C2有四条公切线，试判断直线 x y 1 0 与圆 (x a)2 (y b)2 1 的位置关系 解析 (1)由圆 C1与圆 C2相外切，可得 ?a b?2 ? 2 2?2 2 1 3，即 (a b)2 9，根据基本不等式可知 ab ? ?a b2 2 94，当且仅当 a b 时等号成立，所以 ab 的最大值为 94. (2)由 C1与 C2内切得 ?a b?2 ? 2 2?2 2 1 1，即 (a b)2 1，又 ab ? ?a b2
6、2 14， 当且仅当 a b 时等号成立，所以 ab 的最大值为 14. (3)由题意得，把圆 C1，圆 C2的方程都化为一般方程 圆 C1： x2 y2 2ax 4y a2 0， 圆 C2： x2 y2 2bx 4y b2 3 0， 由 ，得 (2a 2b)x 3 b2 a2 0， 即 (2a 2b)x 3 b2 a2 0 为所求公共弦所在的直线方程 (4)由两圆存在四条切线，可知两圆外离， 故 ?a b?2 ? 2 2?23. (a b)29，即 a b3 或 a b1， 直线 x y 1 0 与圆 (x a)2 (y b)2 1 相离 1 (2018 陕西黄陵中学期中 )经过点 M(2,
7、1)作圆 x2 y2 5 的切线，则切线方程为=【 ;精品教育资源文库 】 = ( C ) A 2x y 5 0 B 2x y 5 0 C 2x y 5 0 D 2x y 5 0 解析 点 M(2,1)满足圆 x2 y2 5，所以点 M(2,1)在圆上经过点 M(2,1)作圆 x2 y2 5 的切线，则 M(2,1)为切点，切点和圆心连线的斜率为 12，则切线斜率为 2，切线方程为y 1 2(x 2)，整理得 2x y 5 0.故选 C 2已知点 M(a， b)在圆 O： x2 y2 1 外，则直线 ax by 1 与圆 O 的位置关系是 ( B ) A相切 B相交 C相离 D不确定 解析 圆
8、 O 的圆心 O(0,0)，半径 r 1.因为点 M 在圆 O 外，所以 a2 b21.又圆心 O(0,0)到直线 ax by 1 的距离 d |a0 b0 1|a2 b2 1a2 b20，结合图象，再利用半径、弦长的一半及弦心距构成直角三角形，可知 1a 22 ? 3?2 1?a 1. 易错点 缺乏转化思想致误 错因分析：不能将问题 等价转化为两圆的位置关系，而是根据题意设出直线方程，利用点到直线的距离公式建立等式，但因运算太复杂而无法求解 【例 1】 在平面直角坐标系 xOy 中，若与点 A(2,2)的距离为 1 且与点 B(m,0)的距离为3 的直线恰有两条，则实数 m 的取值范围为 ！
9、 _#. 解析 因为与点 A(2,2)的距离为 1 的直线都是以点 A(2,2)为圆心，半径为 1 的圆的切线，与点 B(m,0)的距离为 3 的直线都是以点 B(m,0)为圆心，半径为 3 的圆的切线，所以与点 A(2,2)的距离为 1 且与点 B(m,0)的距离为 3 的直线恰有两 条，即圆 A 与圆 B 有两条公切=【 ;精品教育资源文库 】 = 线，也即两圆相交，所以 2 | |AB 4，解得 2 2 3 m 2 或 2 m 2 2 3. 答案 (2 2 3， 2) (2,2 2 3) 【跟踪训练 1】 已知点 A( 2,0)， B(2,0)，若圆 x2 y2 6x 9 r2 0(r
10、0)上存在点P(不同于 A， B)，使得 PA PB，则实数 r 的取值范围是 ( A ) A (1,5) B 1,5 C (1,3 D 1,3 解析 依题意得以 AB 为直径的圆和圆 x2 y2 6x 9 r2 0(r0)有交点，圆 x2 y26x 9 r2 0 化为标准方程得 (x 3)2 y2 r2，两圆相切时不满足条件，故两圆相交，而以AB 为直径的圆的方程为 x2 y2 4，两圆的圆心距为 3，故 |r 2|0)上，且与直线 2x y 1 0 相切的面积最小的圆的方程为( A ) A (x 1)2 (y 2)2 5 B (x 2)2 (y 1)2 5 C (x 1)2 (y 2)2
11、25 D (x 2)2 (y 1)2 25 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 设 此 圆 的 圆 心 坐 标 为 ? ?x0，2x0 (x00) ， 则 圆 的 半 径 r ?2x02x0 152 2x0 2x0 15 5，当且仅当 2x02x0，即 x0 1 时，等号成立，圆的面积最小，此时圆心坐标为 (1,2)，半径为 5，所以圆的方程为 (x 1)2 (y 2)2 5.故选 A 5若直线 l： y kx 1 被圆 C： x2 y2 2x 3 0 截得的弦最短，则直线 l 的方程是( D ) A x 0 B y 1 C x y 1 0 D x y 1 0 解析 依题意，直线 l： y
12、 kx 1 过定点 P(0,1)圆 C： x2 y2 2x 3 0 化为标准方程为 (x 1)2 y2 4，故圆心为 C(1,0)，半径为 r 2.易知定点 P(0,1)在圆内，由圆的性质可知当 PC l 时，直线 l： y kx 1 被圆 C： x2 y2 2x 3 0 截得的弦最短因为 kPC 1 00 1 1，所以直线 l 的斜率 k 1，即直线 l 的方程是 x y 1 0. 6圆 C1： (x 2)2 (y 3)2 1，圆 C2： (x 3)2 (y 4)2 9， M， N 分别是圆 C1， C2上的动点， P 为 x 轴上的动点，则 |PM| |PN|的最小值为 ( A ) A 5
13、 2 4 B 17 1 C 6 2 2 D 17 解析 设点 P 的坐标为 (x,0)，圆心 C1(2,3)关于 x 轴的对称点为 C1(2 ， 3)，则 |PC1| |PC2| |PC1| |PC2| C1 C2| ?2 3?2 ? 3 4?2 5 2.而 |PM| PC1| 1，|PN| PC2| 3， |PM| |PN| PC1| |PC2| 45 2 4. 二、填空题 7若直线 y kx 与圆 x2 y2 4x 3 0 相切，则 k 的值是！ _ 33 _#. 解析 因为直线 y kx 与圆 x2 y2 4x 3 0 相切，所以圆心 (2,0)到直线的距离 d|2k|k2 1 r 1，
14、解得 k 33 . 8在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2 y2 4x 0.若直线 y k(x 1)上存在一点 P，使过点 P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数 k 的取值范围是 ！ 2 2，2 2 #. 解析 圆 C 的方程为 (x 2)2 y2 4.设两个切点分别为 A， B，则 PACB 为正方形，故 |PC| 2R 2 2，圆心到直线 y k(x 1)的距离 d| PC| 2 2，即 |3k|k2 12 2，解得 2 2 k2 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 9已知圆 C1： x2 y2 2mx 4y m2 5 0 与圆 C2： x2 y2 2x 2my m2
15、 3 0，若圆C1与圆 C2相切，则实数 m ！ _2 或 5 或 1_#. 解析 圆 C1： (x m)2 (y 2)2 9，圆 C2： (x 1)2 (y m)2 4，则 C1(m， 2)， r1 3， C2( 1， m)， r2 2.圆 C1 与圆 C2 相切包括两种情况：两圆外切与两圆内切 (1)当圆C1与圆 C2相外切时，有 |C1C2| r1 r2，即 ?m 1?2 ?m 2?2 5，整理得 m2 3m 10 0，解得 m 5 或 m 2； (2)当圆 C1与圆 C2相内切时，有 |C1C2| r1 r2，即 ?m 1?2 ?m 2?2 1，整理得 m2 3m 2 0，解得 m 1 或 m 2.综上所述，当 m 5 或 m 1 或 m 2 时，圆 C1与圆 C2相切 三、解答题 10已知圆 C： (x 1)2 (y 2)2 10，分别求满足下列条件的圆的切线方程 (1)与直线 l1： x y 4 0 平行； (2)与直线 l2： x 2y 4 0 垂直； (3)过
