1、人 教 A 版 高 中 数 学 必 修 第 二 册7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义广信数学组课 堂 引 入课 堂 引 入在上一节，我们把实数集扩充到了复数集。引入在上一节，我们把实数集扩充到了复数集。引入新数集后，就要研究其中的数之间的运算。下面新数集后，就要研究其中的数之间的运算。下面就来讨论复数集中的运算问就来讨论复数集中的运算问题题。首先，我们先看复数的加、减运算及其几何意义。首先，我们先看复数的加、减运算及其几何意义。虚数有理数Q整数Z自然数N实数R负整数分数无理数复数C引 入 新 课引 入 新 课复数的加法复数的加法 我们规定，复数的加法法则如下：我们规定，复数的加法法则如下
2、： 设设 是任意两个复是任意两个复数，那么数，那么 12,( , , ,)zabi zcdi a b c dR()()()()abicdiacbd i说明说明: 很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数。特别很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数。特别地，当地，当 都是实数时，把它看作复数时的和就是这两个都是实数时，把它看作复数时的和就是这两个实数的和实数的和 。 12,zz可以看出，两个复数相加，类似于两个多项可以看出，两个复数相加，类似于两个多项式式相加。相加。课堂探究课堂探究 1. 设z1=a1+b1i, z2=a2+b2i, z3=a3+b3i.（1）因为 z1+z2=(a1+b1i
3、)+(a2+b2i) =(a1+a2)+(b1+b2)i, z2+z1= (a2+b2i) + (a1+b1i) =(a1+a2)+(b1+b2)i, 探究探究 复数的加法满足交换律、结合律吗？复数的加法满足交换律、结合律吗？（2） (z1+z2)+z3=(a1+b1i)+(a2+b2i)+(a3+b3i) =(a1+a2 +a3)+(b1+b2+b3)i, z1+ (z2+z3)=(a1+b1i)+(a2+b2i)+(a3+b3i) =(a1+a2 +a3)+(b1+b2+b3)i, 所以所以（结合律）（结合律）(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)所以所以（交换律）（交换律） z1+z
4、2=z2+z1 由平面向量的坐由平面向量的坐标标运算法则，运算法则，得得探索新知探索新知探究探究复数与复平面内与原点为起点的向量一一对应。而我们讨论复数与复平面内与原点为起点的向量一一对应。而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由过向量加法的几何意义，你能由此此出发讨论复数加法的几何意义吗？出发讨论复数加法的几何意义吗？),(2dcZ),(1baZZxO 设设 ， 分别与复数分别与复数 ， 对应，则对应，则 , 1OZ2OZ abi+cdi+1( , )OZa b=2( , )OZc d= 向量向量 就是与复数就是与复数 OZ () ()a cb d i+对应的向量对应的向量.(,)OZac b
5、d =+复数的加法可按照向量的加法来进行，这就复数的加法可按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义是复数加法的几何意义 课堂典例课堂典例思考思考我们知道，实数的减法是加法的逆运算，类比实数减法我们知道，实数的减法是加法的逆运算，类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？的意义，你认为该如何定义复数的减法？ 我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足： 的复数的复数 叫做复数叫做复数 减去复减去复数数 的差，记作的差，记作()()cdixyiabi( ,)xyi x yR( ,)abi a bR( ,)cdic dRab icd i 课
6、堂典例课堂典例因此 所以 即 说明：说明：（1）两个复数的差是一个确定的复数）两个复数的差是一个确定的复数 .（2）两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚）两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。部与虚部相加减。根据复数相等的含义，根据复数相等的含义，,cxa dyb,xac ybd()()xyiacbd i()()abicdiacbd i 课堂典例课堂典例类比复数加法的几何意义，你能指出复数减法的几何意义？类比复数加法的几何意义，你能指出复数减法的几何意义？yxO1Z2Z复数减法的几何意义复数减法的几何意义：1221OZOZZ Z-= 探究探究说明：说明：1.复数的减法可按照向
7、量的减法复数的减法可按照向量的减法 来进行（三角形法则）。来进行（三角形法则）。2.由由向量的几何意义可知向量的几何意义可知 表示在复平面内复数对应的表示在复平面内复数对应的 和和 两点之间的距离。两点之间的距离。12zz1z2z 设设 ， 分别与复数分别与复数 ， 对应，则对应，则 , 1OZ2OZ abi+cdi+1( , )OZa b=2( , )OZc d= 课堂典例课堂典例(56 )( 2)(34 )iii-+ -+例例1.计算：计算：(56 )( 2)(34 )(523)( 614)11iiiii-+ -+=-+ -= -解：解： 课堂典例课堂典例解：解：例例2.根据复数及其运算的
8、几何意义，求复平面根据复数及其运算的几何意义，求复平面内两点内两点 之间的距离之间的距离111222(,),(,)ZxyZxy因为复平面内的点因为复平面内的点 对应的复数分别为对应的复数分别为 ，所以点，所以点 之间的距离为之间的距离为111222(,),(,)ZxyZxy111222,zxy i zxy i12,Z Z12122211()()Z ZZ Zxy ixy i2121()()xxyy i222121()()xxyy 课堂典例课堂典例复数模的最值问复数模的最值问题题例例1. 如果复数如果复数 满足满足 ,那么那么的最小值是的最小值是_. 2.若复数若复数 满足满足 ,求求 的最大值和
9、最小值的最大值和最小值.zz2z iz i 1zi3 1 1z z 课堂典例课堂典例【解析解析】1.设复数设复数-i,i,-1-i在复平面内对在复平面内对 应的点分别为应的点分别为Z1,Z2,Z3,因为因为|z+i|+|z-i|=2, 即即|Z1Z2|=2,所以点所以点Z的集合的集合为线段为线段Z1Z2. 问问题题转化为转化为:动点动点Z在线段在线段Z1Z2上移动上移动, 求求|ZZ3|的最小的最小值值,因为因为|Z1Z3|=1.所以所以 |z+i+1|min=1.答案答案:12.如图所示如图所示, 所以所以|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1.22|O|312.M uuu r（
10、）（）难点：设zC,且|z+1|-|z-i|=0,则|z+i|的最小值为 . 22 课堂典例课堂典例已知z1=2-2i,且|z|=1,求|z-z1|的最大值.解：如图所示,因为|z|=1,所以z的轨迹可看作是半径为1,圆心为原点的圆,而z1对应坐标系中的点为(2,-2),所以|z-z1|的最大值可以看成点(2,-2)到圆上的点的最大距离,则|z-z1|max= 22221 2 2 1. （） 课堂典例课堂典例常见结论常见结论:在复平面内在复平面内,z1,z2对应的点分别为对应的点分别为A,B,z1+z2对对 应的点为应的点为C,O为坐为坐标标原点原点,则则四四边形边形OACB:为平行为平行四四
11、边形边形;若若|z1+z2|=|z1-z2|,则则四四边形边形OACB为矩形为矩形;若若|z1|=|z2|,则则四四边形边形OACB为菱形为菱形;若若|z1|=|z2|且且|z1+z2|=|z1-z2|,则则四四边形边形OACB为正方形为正方形.例：已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.(1)|z(1+2i)|(2)|z+2i|点A到点(1,2)的距离点A到点(0,2)的距离 课堂练习课堂练习练习练习. 设设A为原点，为原点，B、C两点对应的复数分别是两点对应的复数分别是32i和和24i，则则使得使得A、B、C、D这这四四点成平行点成平行四四边形的点边形的点D对应的复对应的复数数是
12、是 . 5 2i1 6i1 6i ，或，或 课堂小结课堂小结方法技巧方法技巧1复数加减法法则的记忆复数加减法法则的记忆(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减(2)把把i看作一个字看作一个字母母，类比多项，类比多项式式加减运算中的合并同类项加减运算中的合并同类项2根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐为向量的坐标标运算运算失误防范失误防范1算算式式中若出现字中若出现字母母，首先要确定其是否为实数，再确定复数，首先要确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减2复数的加减法可以推广到若干个复数，进行连加连减或混合复数的加减法可以推广到若干个复数，进行连加连减或混合运算运算
