1、2019-2020学年山东省聊城市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1在复平面内，复数1+i的共轭复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2向量（1，），（，1），则向量+与的夹角为（）ABCD3某学校对甲、乙两个班级的某次成绩进行统计分析，制成了如图的条形图与扇形图，则下列说法一定正确的是（）A甲班成绩优良人数超过了乙班成绩优良人数B甲班平均成绩高于乙班平均成绩C甲班学生比乙班学生发挥稳定D甲班不及格率高于乙班不及格率4已知为第二象限角，则tan2（）ABCD5在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱DC的中点，则异面直线AE与BC1所成角的余弦值为（）A
2、BCD6角的终边与单位圆的交点坐标为（），将的终边绕原点顺时针旋转，得到角，则cos（+）（）ABCD07在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosAbcosB，且c2a2+b2ab，则ABC的形状为（）A等腰三角形或直角三角形B等腰直角三角形C直角三角形D等边三角形8用五点法作函数yAsin（x+）（A0，0，|）的图象时，得到如下表格：xx+02y04040则A，的值分别为（）A4，2，B4，C4，2，D4，二、多项选择题（共4小题）.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9为了得到函数的图象，可作如下变换（）A将y
3、cosx的图象上所有点向左平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变而得到B将ycosx的图象上所有点向右平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐变为原来的2倍，纵坐标不变而得到C将ycosx的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得到D将ycosx的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得到10下列命题不正确的是（）A过平面外一点有且只有一条直线与这个平面垂直B如果平面平面，平面平面，那么平面平面C已知a，b为直线，为平面，若a，b，则abDl，m，n为直线，为平面，
4、m，n，“l”的充要条件是“lm，且ln”11下列结论正确的是（）A已知是非零向量，若，则（）B向量，满足|1，|2，与的夹角为60，则在上的投影向量为C点P在ABC所在的平面内，满足，则点P是ABC的外心D以（1，1），（2，3），（5，1），（6，1）为顶点的四边形是一个矩形12如图，ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为边BC，CD的中点，将ABE，ECF，FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，则（）AAPEFB点P在平面AEF内的射影为AEF的垂心C二面角AEFP的余弦值为D若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是24三、填空题：本题共4小
5、题，每小题5分，共20分13复数2+i为一元二次方程x2+ax+b0（a，bR）的一个根，则复数|a+bi| 14为了了解某设备生产产品质量的稳定性，现随机抽取了10件产品，其质量（单位：克）如下：495 500 503 508 498 500 493 500 503 500质量落在区间s，+s（表示质量的平均值，s为标准差）内的产品件数为 15直角梯形ABCD中，ADAB，ADBC，AD2，AB1，BC3，现将梯形ABCD绕边AD所在直线旋转一周得到一旋转体，则该旋转体的体积为 ，表面积为 16如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AD，AB上的点，且，MN交于点P若，则的值为 四、解答
6、题：本题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17一家保险公司决定对推销员实行月标管理，按以往月销售额（单位：千元）把推销员分为甲、乙、丙三个层次，各层次人数如下：甲乙丙月销售额20，2515，20）10，15）人数12024090（1）为了了解推销员对目标设定的意见，决定从甲、乙、丙三个层次中采取比例分配的分层随机抽样抽取30人进行座谈，请计算甲、乙、丙三个层次各应抽取多少人？（2）确定销售日标是否合适，直接影响到公司的经济效益，如果目标定得过高，多数推销员完不成任务，会使推销员失去信心；如果目标定得太低，将不利于挖掘推销员的工作潜力现已知按上面的方法抽取了部分推
7、销员的月销售额（单位：千元）：14.2 15.8 17.7 19.2 22.4 18.2 16.4 21.8 15.6 24.623.2 19.8 12.8 13.5 16.3 11.5 13.6 14.9 15.7 16.217.0 17.2 17.8 18.0 18.4 19.5 20.5 22.1 24.0 24.8公司为了使70%的推销员能够完成销售目标，根据这组样本数据，应将销售目标定为多少比较合理？18已知向量，满足|1，|2，且与不共线（1）若向量+k与k+2为方向相反的向量，求实数k的值；（2）若向量与的夹角为60，求2+与的夹角192020年是我国全面打赢脱贫攻坚战收官之年某
8、山区地方政府为了帮助当地农民实现脱贫致富，大力发展当地的特色黄桃种植产业为了了解某村黄桃的质量（单位：克）分布规律，现从该村的黄桃树上随机摘下了n个黄桃组成样本进行测重，其质量分布在区间22，525内，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示，已知质量分布在区间275，325）内的有16个（1）求n的值和质量落在区间425，475）內的黄桃个数；（2）已知该村的黄桃树上大约有10万个黄桃待出售，某电商欲以20元/千克的价格收购该村的黄桃，请估计该村黄桃的销售收入20如图，在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD满足ABAD，BCAD，AD2BC，且M为PA的中点（1）求证：BM平面PCD；（
9、2）若平面PAD平面ABCD，且DPDA，求证：平面BDM平面PAB21在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，ABC的面积为5现有以下三个条件：（2c+b）cosA+acosB0；sin2B+sin2Csin2A+sinBsinC0；请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解已知向量（4sinx，4），（cosx，sin2x），函数f（x），在ABC中，且_，求2b+c的取值范围22亚洲第三大摩天轮“水城之眼”是我市的地标建筑，也是全球首座建筑与摩犬轮相结合的城市地标（1）某数学课外活动小组为了测量摩天轮的最高点P距地面的高度，选取了与点P在地面上的射影A在同一水平面内
10、的两个测量基点B，C（如图所示）；现测得ABCACBACP30，BC两点间的距离是390米，求最高点P距地面的高度PA；（2）若摩天轮最低点Q距地面的距离QA20米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转动一周需要20分钟从游客进人摩天轮位于最低点Q处的轿厢开始计时，转动t分钟后距离地面的高度为h米，求在转动一周的过程中，h（单位：米）关于t（单位：分钟）的函数解析式；若只有当轿厢的高度h超过47.5米时才能俯瞰东昌湖的关景，请计算游客在摩天轮旋转一周的过程中有多长时间可以俯瞰东昌湖的美景参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1在复平面
11、内，复数1+i的共轭复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】利用共轭复数的概念求解，得到复数1+i的共轭复数对应的点的坐标得答案解：复数1+i的共轭复数为1i，在复平面内，复数1+i的共轭复数对应的点的坐标为（1，1），位于第三象限故选：C2向量（1，），（，1），则向量+与的夹角为（）ABCD【分析】根据向量的坐标即可得出，进行数量积的运算即可求出，从而得出与的夹角解：，向量与的夹角为故选：D3某学校对甲、乙两个班级的某次成绩进行统计分析，制成了如图的条形图与扇形图，则下列说法一定正确的是（）A甲班成绩优良人数超过了乙班成绩优良人数B甲班平均成绩高于乙班平均成绩C
12、甲班学生比乙班学生发挥稳定D甲班不及格率高于乙班不及格率【分析】仔细观察甲、乙两个班级的某次成绩的条形图与扇形图，结合图形能求出结果解：由甲、乙两个班级的某次成绩的条形图与扇形图，知：对于A，由于乙的学生总数不确定，从而无法判断甲班成绩优良人数是否超过了乙班成绩优良人数，故A不一定正确；对于B，根据优级良率和及格率不能判断两个班的平均成绩的高低，故B不一定正确；对于C，一次成绩不能判定发挥是否稳定，故C不一定正确；对于D，甲班不及格率为：100%20%，乙班不及格率为10%，甲班不及格率高于乙班不及格率，故D正确故选：D4已知为第二象限角，则tan2（）ABCD【分析】将已知等式平方可得2co
13、ssin的值，从而可求得cossin，结合已知条件求得cos，sin的值，求得tan的值，利用二倍角的正切函数公式可求tan2的值解：，平方可得：sin2+cos2+2sincos，可得：1+2sincos，可得2cossin，从而cossin，联立解得：cos，sin，可得tan，tan2故选：B5在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱DC的中点，则异面直线AE与BC1所成角的余弦值为（）ABCD【分析】连结AD1，D1E，由BC1AD1，得D1AE是异面直线AE与BC1所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AE与BC1所成角的余弦值解：连结AD1，D1E，BC1AD1，D1AE是
14、异面直线AE与BC1所成角（或所成角的补角），设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为1，则AD1，AED1E，cosD1AE异面直线AE与BC1所成角的余弦值为故选：C6角的终边与单位圆的交点坐标为（），将的终边绕原点顺时针旋转，得到角，则cos（+）（）ABCD0【分析】直接利用单位圆和三角函数关系式的变换的应用求出结果解：角的终边与单位园的交点坐标为（），所以，sin所以，所以cos（+）coscossinsin故选：A7在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosAbcosB，且c2a2+b2ab，则ABC的形状为（）A等腰三角形或直角三角形B等腰直角三角形C直角三角
15、形D等边三角形【分析】利用正弦定理将已知条件中的等式进行边化角的代换，得sinAcosAsinBcosB，再由二倍角公式知sin2Asin2B，从而得出AB或A+B；再由余弦定理可推出cosC，即C，故ABC为等边三角形解：由正弦定理知，acosAbcosB，sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B，2A2B或2A+2B，即AB或A+Bc2a2+b2ab，由余弦定理知，cosC，C（0，），CA+B不成立，AB符合题意，ABC为等边三角形故选：D8用五点法作函数yAsin（x+）（A0，0，|）的图象时，得到如下表格：xx+02y04040则A，的值分别为（）A4，2，B4，C
16、4，2，D4，【分析】由表中数据求出A、T的值，利用周期公式可求的值，根据图象过（，0），即可求得的值解：由表中的最大值为4，最小值为4，可得A4，由 T，则T，2，y4sin（2x+），图象过（，0），04sin（2+），2+k，（kZ），解得k，|，当k0时，故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9为了得到函数的图象，可作如下变换（）A将ycosx的图象上所有点向左平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变而得到B将ycosx的图象上所有点向右平移个单位
17、长度，然后将所得图象上所有点的横坐变为原来的2倍，纵坐标不变而得到C将ycosx的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得到D将ycosx的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得到【分析】由题意利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论解：为了得到函数的图象，将ycosx的图象上所有点向左平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变而得到也可 将ycosx的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得故选：AD10下列命题
18、不正确的是（）A过平面外一点有且只有一条直线与这个平面垂直B如果平面平面，平面平面，那么平面平面C已知a，b为直线，为平面，若a，b，则abDl，m，n为直线，为平面，m，n，“l”的充要条件是“lm，且ln”【分析】在A中，由线面垂直的定义即可判定；在D中，平面与平面相交或平行在C中，根据线面平行的性质，可得a、b可能异面，可能相交；在D中，根据线面垂直的判定定理，即可判断解：对于A，根据线面垂直的定义，可得经过平面外一点作已知平面的垂线，有且仅有一条由此可得A正确；在B中，如果平面平面，平面平面，那么平面与平面相交或平行，故B错误；在C中，若a，b，则a与b可能平行，可能异面，可能相交，故
19、C错误；在D中，m，n，“l”可得到“lm，且ln”，m，n，“lm，且ln”不能得到“l”，故D错故选：BCD11下列结论正确的是（）A已知是非零向量，若，则（）B向量，满足|1，|2，与的夹角为60，则在上的投影向量为C点P在ABC所在的平面内，满足，则点P是ABC的外心D以（1，1），（2，3），（5，1），（6，1）为顶点的四边形是一个矩形【分析】A，利用两非零向量数量积为0，判定；B，利用在上的投影即可判断；C，点P在ABC所在的平面内，满足，则点P是ABC的重心；D，记A（1，1），B（2，3），D（5，1），C（6，1），先证，A、B、C、D四点不共线，再证ABBC，可得四边形A
20、BCD是矩形解：对于A，（）0，则（），故正确；对于B，|1，|2，与的夹角为60，则在上的投影为，|cos60，故在上的投影向量为，故正确；对于C，设D为BC中点，点P在ABC所在的平面内，满足，则，可得点P是ABC的重心，故错；对于D，记A（1，1），B（2，3），D（5，1），C（6，1），由kACkBD，可得A、B、C、D四点不共线，可得（1，2），（1，2），（4，2），ABDC，ABDC，四边形ABCD是平行四边形，而440，因此ABBC四边形ABCD是矩形故正确；故选：ABD12如图，ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为边BC，CD的中点，将ABE，ECF，FDA分别沿AE
21、，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，则（）AAPEFB点P在平面AEF内的射影为AEF的垂心C二面角AEFP的余弦值为D若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是24【分析】由直线与平面垂直的判定与性质判断A与B；求解二面角的余弦值判断C；通过补形法求出四面体PAEF的外接球的表面积判断D解：对于A，APPF，APPE，PEPFP，AP平面PEF，EF平面PEF，APEF，故A正确；对于B，设P在底面AEF上的射影为O，则PO底面AEF，POEF，由A知，PAEF，连接AO并延长，交EF于G，POPAP，EF平面PAO，则AGEF，同理可证EOAF，FOAE，即点P在
22、平面AEF内的射影为AEF的垂心，故B正确；对于C，由B知，AGEF，AEAF，G为EF的中点，连接PG，又PEPF，PGEF，则PGA为二面角AEFP的平面角在等腰直角三角形PEF中，由PEPF1，得PG，则AG，在RtAPG中，有cosPGA，故C正确；对于D，三棱锥PAEF的三条侧棱PA、PE、PF两两互相垂直，且PA2，PEPF1把该三棱锥补形为长方体，则其对角线长为，则其外接球的表面积S4，故D错误故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13复数2+i为一元二次方程x2+ax+b0（a，bR）的一个根，则复数|a+bi|【分析】由已知利用根与系数的关系列式求解a与b
23、的值，再由复数模的计算公式求解解：2+i为一元二次方程x2+ax+b0（a，bR）的一个根，2i为一元二次方程x2+ax+b0（a，bR）的另一个根，则，解得a4，b5|a+bi|4+5i|故答案为：14为了了解某设备生产产品质量的稳定性，现随机抽取了10件产品，其质量（单位：克）如下：495 500 503 508 498 500 493 500 503 500质量落在区间s，+s（表示质量的平均值，s为标准差）内的产品件数为7【分析】先根据平均数和方差的计算方法求出和s2，从而得标准差s，进而得区间s，+s为496，504，再与已知数据对比即可解：平均值（495+5004+5032+508
24、+498+493）500，方差s2（495500）2+（500500）24+（503500）22+（508500）2+（498500）2+（493500）216，所以标准差s4，所以区间s，+s为496，504，质量落在该区间内的有500，503，498，500，500，503，500，共7件产品故答案为：715直角梯形ABCD中，ADAB，ADBC，AD2，AB1，BC3，现将梯形ABCD绕边AD所在直线旋转一周得到一旋转体，则该旋转体的体积为，表面积为（7+）【分析】由题意画出图形，可知几何体为圆柱挖去一个圆锥，计算几何体的表面积与体积公式计算即可解：该梯形绕上底边AD所在直线旋转一周所形
25、成几何体如图所示；则该几何体为圆柱挖去一个圆锥，圆柱的底面半径为1，高为3；圆锥的底面半径为1，高为1；所以该几何体的表面积为S12+213+1（7+）；几何体的体积为V123121故答案为：，（7+）16如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AD，AB上的点，且，MN交于点P若，则的值为【分析】根据向量的加减的几何意义和三点共线即可求出答案解：，（）（）2+，三点M，N，P共线2+1，故答案为：四、解答题：本题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17一家保险公司决定对推销员实行月标管理，按以往月销售额（单位：千元）把推销员分为甲、乙、丙三个层次，各层次人数如
26、下：甲乙丙月销售额20，2515，20）10，15）人数12024090（1）为了了解推销员对目标设定的意见，决定从甲、乙、丙三个层次中采取比例分配的分层随机抽样抽取30人进行座谈，请计算甲、乙、丙三个层次各应抽取多少人？（2）确定销售日标是否合适，直接影响到公司的经济效益，如果目标定得过高，多数推销员完不成任务，会使推销员失去信心；如果目标定得太低，将不利于挖掘推销员的工作潜力现已知按上面的方法抽取了部分推销员的月销售额（单位：千元）：14.2 15.8 17.7 19.2 22.4 18.2 16.4 21.8 15.6 24.623.2 19.8 12.8 13.5 16.3 11.5
27、13.6 14.9 15.7 16.217.0 17.2 17.8 18.0 18.4 19.5 20.5 22.1 24.0 24.8公司为了使70%的推销员能够完成销售目标，根据这组样本数据，应将销售目标定为多少比较合理？【分析】（1）用样本容量乘以各层所占的比例，即为所求（2）把这组数据从小到大排列，第9个数据和第10个数据，2个数据取平均值，可得答案解：（1）该公司员工总数为 120+240+90450，故甲层应抽取的人数为 1208，乙层应抽取的人数为 24016，甲层应抽取的人数为 906（2）309，把这组数据从小到大排列，第9个为15.8，第10个为16.2，16，故将销售目标
28、定为16000元，可使使70%的推销员能够完成销售目标18已知向量，满足|1，|2，且与不共线（1）若向量+k与k+2为方向相反的向量，求实数k的值；（2）若向量与的夹角为60，求2+与的夹角【分析】（1）根据题意即可得出，存在实数0，使得，然后根据平面向量基本定理得出，然后解出，从而得出k的值；（2）根据题意即可得出，然后即可求出，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出cos的值，进而得出的值解：（1）向量与的方向相反，存在实数0，使，且不共线，解得或（舍去），；（2），且0，192020年是我国全面打赢脱贫攻坚战收官之年某山区地方政府为了帮助当地农民实现脱贫致富，大力发展当地的特色黄桃种植产业
29、为了了解某村黄桃的质量（单位：克）分布规律，现从该村的黄桃树上随机摘下了n个黄桃组成样本进行测重，其质量分布在区间22，525内，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示，已知质量分布在区间275，325）内的有16个（1）求n的值和质量落在区间425，475）內的黄桃个数；（2）已知该村的黄桃树上大约有10万个黄桃待出售，某电商欲以20元/千克的价格收购该村的黄桃，请估计该村黄桃的销售收入【分析】（1）由频率分布直方图得区间275，325）的频率为0.16，再由质量分布在区间275，325）内的有16个，能求出n100求出质量落在区间425，475）內的频率，由此能求出质量落在区间425，
30、475）內的黄桃个数（2）由频率分布直方图求出该村黄桃的单个质量的平均数，从而求出该村黄桃的总质量，由此能估计该村黄桃的销售收入解：（1）由频率分布直方图得区间275，325）的频率为：0.0032500.16，质量分布在区间275，325）内的有16个100质量落在区间425，475）內的频率为：1（0.0010+0.0032+0.0048+0.0060+0.0010）500.2，质量落在区间425，475）內的黄桃个数为：0.210020（2）该村黄桃的单个质量的平均数为：2500.05+3000.16+3500.24+4000.3+4500.2+5000.05379.5（克），该村黄桃的
31、总质量大约为379.5100000100037950（千克），估计该村黄桃的销售收入为：3795020759000元20如图，在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD满足ABAD，BCAD，AD2BC，且M为PA的中点（1）求证：BM平面PCD；（2）若平面PAD平面ABCD，且DPDA，求证：平面BDM平面PAB【分析】（1）取PD的中点N，连结MN，CN，推导出四边形BMNC是平行四边形，得到BMCN，由此能证明BM平面PCD（2）推导出AB平面PAD，ABDM，DMPA，得到DM平面PAB，由此能证明平面BDM平面PAB【解答】证明：（1）取PD的中点N，连结MN，CN，M是PA的中点，
32、MN是PAD的中位线，MNAD，MN，BCAD，BCAD，MNBC，四边形BMNC是平行四边形，BMCN，BM平面PCD，CN平面PCD，BM平面PCD（2）平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，ABAD，AB平面ABCD，AB平面PAD，DM平面PAD，ABDM，DPDA，M为PA的中点，DMPA，PA平面PAB，AB平面PAB，且PAABA，DM平面PAB，DM平面BDM，平面BDM平面PAB21在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，ABC的面积为5现有以下三个条件：（2c+b）cosA+acosB0；sin2B+sin2Csin2A+sinBsinC0；请从以上
33、三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解已知向量（4sinx，4），（cosx，sin2x），函数f（x），在ABC中，且_，求2b+c的取值范围【分析】利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可求函数解析式f（x）4sin（2x），由已知可求a的值，若选由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求cosA，结合范围A（0，），可得A若选由正弦定理，余弦定理可得cosA，结合范围A（0，），可得A若选利用余弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式可求tanA，结合范围A（0，），可得A，进而根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求2b+c4sin（B+），由0，可求范围B+，
34、进而根据正弦函数的性质可求其取值范围解：f（x）4sinxcosx+4sin2x22sin2x2cos2x4sin（2x），2分所以4sin2，4分若（2c+b）cosA+acosB0，则由正弦定理可得：2sinCcosA+sinBcosA+sinAcosB0，即2sinCcosA+sin（B+A）2sinCcosA+sinC0，因为C为三角形内角，sinC0，可得cosA，因为A（0，），可得A若sin2B+sin2Csin2A+sinBsinC0，由正弦定理可得：b2+c2a2+bc0，由余弦定理可得cosA，因为A（0，），可得A若，则b2+c2a2SbcsinAbcsinA，所以cos
35、AsinA，可得tanA，因为A（0，），可得A7分由正弦定理可得4，所以b4sinB，c4sinC，因为B+C，所以CB，8分所以2b+c8sinB+4sin（B）8sinB+4（cosBsinB）6sinB+2cosB4sin（B+），9分因为0，所以B+，sin（B+）1，所以24sin（B+）4，即2b+c的取值范围为（2，4）12分22亚洲第三大摩天轮“水城之眼”是我市的地标建筑，也是全球首座建筑与摩犬轮相结合的城市地标（1）某数学课外活动小组为了测量摩天轮的最高点P距地面的高度，选取了与点P在地面上的射影A在同一水平面内的两个测量基点B，C（如图所示）；现测得ABCACBACP30
36、，BC两点间的距离是390米，求最高点P距地面的高度PA；（2）若摩天轮最低点Q距地面的距离QA20米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转动一周需要20分钟从游客进人摩天轮位于最低点Q处的轿厢开始计时，转动t分钟后距离地面的高度为h米，求在转动一周的过程中，h（单位：米）关于t（单位：分钟）的函数解析式；若只有当轿厢的高度h超过47.5米时才能俯瞰东昌湖的关景，请计算游客在摩天轮旋转一周的过程中有多长时间可以俯瞰东昌湖的美景【分析】（1）由正弦定理求得AC130，在直角三角形PAC中，可得PAAC130；（2）建系，设M（x0，y0），数形结合可得xOM，OA75米，hy0+OA7555cos；令
37、7555cos47.5，解之即可解：（1）由题意得，BAC120，在ABC中，由正弦定理得：，即AC130，又PAAC，PCA30，所以，所以PAAC130130，所以最高点P距地面的高度PA130米；（2）以PQ的中点O为坐标原点，PQ所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为PA130，QA20，所以摩天轮的半径为r55米，所以OA75米，由题意得，20分钟转一周，所以每分钟转弧度，设从Q点开始计时，t分钟时轿厢运动到M，则转过的QOM，所以xOM，设M（x0，y0），由三角函数的定义可得，y055sin（）55cos，而hy0+OA7555cos，所以游客距地面的高度h关于时间t的函数解析式为h7555cos（0t20）；当轿厢的高度h超过47.5米时，即7555cos47.5，整理得cos，所以2k+2k+，解得20k+t20k+（kZ），因为0t20，所以只有当k0时，符合题意，即旋转一周中有分钟可以俯瞰东昌湖的美景
