1、期末复习专项训练12向量（最值问题2）一、 单选题1已知，是圆上的两个动点，且满足，点，则的最小值为ABC1D2已知，是直线上三个相异的点，平面内的点，若正实数、满足，则的最小值为A1B2C3D43在平面直角坐标系中，点，是圆上一点，是边上一点，则的最大值是AB12CD164已知平面向量，满足，且关于的方程有实根，则向量与的夹角的最小值是ABCD5在梯形中，已知，且，设点为边上的任一点，则的最小值为ABC3D6在中，为段上的动点，且，则的最小值为ABCD7半径为2的圆上有三点、满足，点是圆内一点，则的取值范围为A，B，C，D，8我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，它由四个全
2、等的直角三角形和一个正方形所构成（如图），后人称其为“赵爽弦图”在直角三角形中，已知，在线段上任取一点，线段上任取一点，则的最大值为A25B27C29D31二、 填空题9已知是两个平面向量，且对任意，恒有，则的最大值是10已知矩形中，为边的中点，为边上的动点（可以与端点重合），则 ，的最大值为11在中，若，则的取值范围为12如图，中，为重心，为线段上一点，则的最大值为，、分别是边、的中点，则的取值范围是三、 解答题13如图所示是两个半径不同的同心圆，半径分别为1和2，是小圆上的一个动点，是大圆上的三个不同的动点，且（1）求证：；（2）求的取值范围14在中，满足：，是的中点（1）若是线段上任意一
3、点，且，求的最小值；（2）若点是内一点，且，求的最小值期末复习专项训练12向量（最值问题2）答案1解：设的中点为，则，且，则在以为圆心，以1为半径的圆上，要使最小，则最小，而的最小值为，的最小值为故选：2解：由可得：，因为，三点共线，所以，所以，当且仅当，即，时取等号，此时的最小值为2，故选：3解：设，当时，有可能取得最大值当点不动时时，与尽可能大，即时，即点与重合时，有最大值令，时，取得最大值1，的最大值12故选：4解：根据题意，设向量与的夹角为，设，则，关于的方程即，若该方程有解，则，变形可得，又由，则，故的最小值是；故选：5解：以为原点，为轴建立直角坐标系，如图示：，设，则，由，得，解得
4、：，设，在上，则，故，时取得最小值，故选：6解：，由正弦定理可得，再由余弦定理可得，整理得，即，又，即，得，得，从而以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，可得，为线段上的一点，则存在实数使得，设，由，得，则，求的最小值，则，均不为0，则当且仅当时等号成立故选：7解：如图，设与交于点，由，得四边形是菱形，且，则，由图知，而，所以，同理，而，所以，所以，因为点是圆内一点，则，所以即的取值范围为，故选：8解：如图，设，由已知，可得，则，当时，有最大值，而当时，有最大值为29故选：9解：对任意，恒有，向量的终点到向量所在直线的距离最短设，则，当且仅当“”时“”成立最大值为4故答案为：410解：如图，建立直角坐标系，则，所以，当在处时，的最大值为，故答案为：0；1211解：，又（当且仅当时，等号成立），解得：，（当且仅当时，等号成立），的取值范围为，故答案为：，12解：延长交于，为重心，为的中点，则，设，为线段上一点，为的重心，其对称轴方程为，当时，的最大值为20；，则的取值范围是，故答案为：20；，13证明：（1），解：（2）连接，设与的夹角为，则，14解：（1），设，则，而，当且仅当时，取得最小值；（2）设，则，则，同理，可得，当且仅当，即时取等号，的最小值为4
