1、6.4.1平面几何中的向量方法同步练习一选择题1已知正方形的边长为1,设,则等于A0BC2D2在内使的值最小的点是的A外心B内心C垂心D重心3在中,若,记,则下列结论正确的是ABCD4是的内切圆的圆心,则下列结论正确的是ABCD5已知向量满足,则的形状为A正三角形B钝角三角形C非等边的等腰三角形D直角三角形6已知点是的重心,若,则的最小值是ABCD7已知向量,满足,若为的中点,并且,则点的轨迹方程是ABCD8平面内及一点满足,则点是的A重心B垂心C内心D外心9已知向量,满足,且对任意实数,不等式恒成立,设与的夹角为,则ABCD10已知、为平面上的两个定点,且,该平面上的动线段的端点、,满足,则
2、动线段所形成图形的面积为A36B60C72D10811如图,是边长为1的正三角形,点在所在的平面内,且为常数)下列结论中,正确的是A当时,满足条件的点有且只有一个B当时,满足条件的点有三个C当时,满足条件的点有无数个D当为任意正实数时,满足条件的点是有限个12已知,点在内,若,则A1B2CD4二填空题13已知平面单位向量,满足设向量与向量的夹角为,则的最大值为14已知向量与的夹角为,且,若,且,则实数的值是15,为平面内三个向量,满足,且,若,则的最大值为16已知点在内,且满足,并设,的面积依次,则三解答题17如图,在平面直角坐标系中,(1)求点,点的坐标;(2)求四边形的面积18在中,点为所
3、在平面上一点,满足,且(1)证明:;(2)若点为的重心,求、的值;(3)若点为的外心,求、的值19在中,是线段上靠近的一个三等分点,是线段上靠近的一个四等分点,设,(1)用,表示;(2)设是线段上一点,且使,求的值20在边长为1的菱形中,是线段上一点,满足,如图所示,设,(1)用,表示;(2)在线段上是否存在一点满足?若存在,确定点的位置,并求;若不存在,请说明理由6.4.1平面几何中的向量方法同步练习答案1解析:如图,有,又有,故选:2解:令,设,则,于是所以当时,最小,此时,则点为的重心故选:3解:如图,作,则,四边形是平行四边形,设的边上的高为,的边上的高为,则:,故选:4解:,的内切圆
4、半径为在中,在中,在中,故故选:5解:可得,两边同时平方可得由向量的数量积的定义可得,同理可得可得则三角形为等边三角形故选:6解:由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得,则根据向量的数量积的定义可得,设即(当且仅当取等号)即的最小值为故选:7解:向量,满足,将,放入平面坐标系中,令,为的中点,即,故选:8解:平面内及一点满足,可得,所以在的平分线上,可得:,所以在的平分线上,则点是的内心故选:9解:当,如图所示时,对于任意实数,或,斜边大于直角边恒成立,不等式恒成立,向量,满足,故选:10解:根据题意建立平面直角坐标系,如图所示;则,设,;由,得;又,;动点在直线上,且,由相似三角形可知
5、扫过的面积为48,即,则扫过的三角形的面积为,设点,动点在直线上,且,扫过的三角形的面积为,因此和为60,故选:11解:以所在直线为轴,中点为原点,建立直角坐标系,如图所示则,设,可得,化简得:,即配方,得(1)当时,方程(1)的右边小于0,故不能表示任何图形;当时,方程(1)的右边为0,表示点,恰好是正三角形的重心;当时,方程(1)的右边大于0,表示以为圆心,半径为的圆由此对照各个选项,可得只有项符合题意故选:12解:,由可得,点在内,且,同上平方可得,两式联立可得,故选:13解:设,的夹角为,由,为单位向量,满足,所以,解得,所以,所以的最大值为故答案为:14解:向量与的夹角为,且,若,且
6、,则,则实数,故答案为:15解:,为平面内三个向量,满足,且,设,则,解得,令,则当且仅当,即时,取等号,的最大值故答案为:16解:设,以,为邻边作四边形,所以,所以与的面积相等,设面积为1,则的面积为,的面积,因为,所以,所以的面积为,所以的面积,所以故答案为:17解:(1)在平面直角坐标系中,又,设,则,点;又,即点;(2)由(1)可得,即,又,四边形为等腰梯形连接,延长交轴于点,则,均为等边三角形,18解:(1),(2)点为的重心,;(3)点为的外心,19解:(1)因为是线段上靠近的一个三等分点,所以因为是线段上靠近的一个四等分点,所以,所以因为,所以,则又,所以(2)因为是线段上一点,所以存在实数,使得,则,因为,所以存在实数,使,即,整理得解得,故20解:(1)根据题意得:,;(2)结论:在线段上存在使得的一点满足,此时理由如下:设,则,在边长为1的菱形中,解得,从而,