1、我们知道，数能进行运算。因为有了运算而使数的威力我们知道，数能进行运算。因为有了运算而使数的威力无穷。那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？人们无穷。那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进向量的从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进向量的运算，本节我们就来研究平面向量的运算，探究其运算运算，本节我们就来研究平面向量的运算，探究其运算性质，体会向量运算的作用。性质，体会向量运算的作用。今天我们先学习向量的加法今天我们先学习向量的加法。我们知道，位移、力是向量，它们可以合成。能否从位我们知道，位移、力是向量，它们可以合成。能否从位移、力的合成中得到
2、启发，引进向量的加法呢？移、力的合成中得到启发，引进向量的加法呢？ABCABC,a b 如图，已知非零向量如图，已知非零向量 ，在平面内任取一点在平面内任取一点A A，作作 ，则向量则向量 叫做叫做 与与 的和，的和，记作记作 ，即，即aba bABBCAC ba,ABa BCb ACa b BCA求两个向量和的运算，叫求两个向量和的运算，叫向量的向量的加法加法。这种求向量和的方法，称。这种求向量和的方法，称为为向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则。位移的合成可以看作向量加法位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型三角形法则的物理模型“首尾顺次连首尾顺次连 ,起点指起点指终点终点”B
3、A1F2FO如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力 与与 的作用，你能作出这个物体所受的合力的作用，你能作出这个物体所受的合力 吗？吗？1F2FF如图，以同一点如图，以同一点O O为起点的两个已知向量为起点的两个已知向量 ， ，以以OAOA，OBOB为邻边做平行四边形为邻边做平行四边形OACBOACB，则以，则以O O点为点为起点的向量起点的向量 (OC (OC是对角线是对角线) )就是相量就是相量 与与 的和的和. .我们把这种作两个向量和的方法叫做我们把这种作两个向量和的方法叫做向量向量加法的平行四边形法则加法的平行四边形法则. . a
4、bOCab力的合成可以看作向量加法平行四边形法则力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型的物理模型“共起点共起点”例1如图，已知向量如图，已知向量 ，分别利用三角形法则和平行四边形法，分别利用三角形法则和平行四边形法则作出向量则作出向量,a b ab向量的加法向量的加法ABCbaABCbabaACbaAC向量的加法向量的加法思考：当向量思考：当向量 为共线向量时，为共线向量时， 如何做出来？如何做出来？,a b ab规定：规定：（1）同向）同向（2）反向）反向探究：探究：结合例结合例1 1，探究，探究 之间的关系。之间的关系。,abab探究探究：共线向量的加法：共线向量的加法：ABCC
5、BA2、方向相反、方向相反ba1、方向相同、方向相同abAC = a + bAC = a + b三角形法则三角形法则| |a babab 若 ， 方向相同，则| |a bababba 若 ， 方向相反，则（或） 当向量当向量 不共线时，和向量的长度不共线时，和向量的长度 与向量与向量 的长度和的长度和 之间的大小关系如何？之间的大小关系如何？a b 、|abab、|ababab三角形的两边之和大于第三边三角形的两边之和大于第三边| |ababab 当向量、不共线时有对于两个非零向量对于两个非零向量2.当当_时时,a ab ba ab b 1.当当_时时,a ab ba ab b 3.当当_时时
6、,a ab ba ab b 4.当当_时时,a ab bb ba a 与与 不共线不共线ab与与 同向同向ab与与 反向且反向且 abab与与 反向且反向且 abab综合以上探究我们可得结论：综合以上探究我们可得结论：| |ababab实数的加法实数的加法向量的加法向量的加法性性质质abb a ()()abcabcAOabbBaCba+BbAOaCcba+ccb+ba+abba 交换律：交换律：()()a bc ab c 结合律：结合律：探究：探究：实数的加法有哪些运算性质？向量的加法实数的加法有哪些运算性质？向量的加法是否也满足类似的性质？如果满足，具体形式是什是否也满足类似的性质？如果满足
7、，具体形式是什么？么？向量加法的多边形法则方法拓展向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量. .例化简：化简：CABD解：设解：设 表示水流的速度，表示水流的速度， 表示渡船的速度，表示渡船的速度， 表示表示渡船实际垂直过江的速度。渡船实际垂直过江的速度。 A AB B A AD D ACAC AB+AD=AC,AB+
8、AD=AC, 四边形四边形ABCDABCD为平行四边形为平行四边形答：渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西答：渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西o o3030例例2. 2. 在长江南岸某渡口处，江水以在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h12.5km/h的速度的速度向东流，渡船的速度为向东流，渡船的速度为25km/h. 25km/h. 渡船要垂直地渡过长渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？江，其航向应如何确定？o oo oRtRtABCABC，ACD=90ACD=90DC = AB =12.5, AD =25DC = AB =12.5, AD =25CAD=30CAD=30 在在中中例 如图所示，一架飞机从A地按北偏东35的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和1600 km800 2km80北偏东北偏东
