1、2020-2021学年河北省石家庄市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1某学校有高中学生900人，其中高一有400人，高二300人，高三200人，采用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的学生人数为（）A25、15、5B20、15、10C30、10、5D15、15、152已知i是虚数单位，复数z，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是（）A如果m，n，那么mnB如果m，n，那么mnC如果mn，m，n，那么D如果，直
2、线m与所成的角和直线n与所成的角相等，那么mn4一组数据中的每一个数据都乘以3，再减去50，得到一组新数据，若求得新的数据的平均数是1.6，方差是3.6，则原来数据的平均数和方差分别是（）A17.2，3.6B54.8，3.6C17.2，0.4D54.8，0.45已知ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S若asinbsinA，2S，则ABC的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C正三角形D等腰直角三角形6已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为3，则球O的表面积等于（）ABCD7已知函数g（x）sin（x+），g（x）图象上每一点的横坐标缩短到原来的
3、，得到f（x）的图象，f（x）的部分图象如图所示，若，则等于（）ABCD8已知菱形ABCD边长为1，BAD60，对角线AC与BD交于点O，将菱形ABCD沿对角线BD折成平面角为的二面角，若60，120，则折后点O到直线AC距离的最值为（）A最小值为，最大值为B最小值为，最大值为C最小值为，最大值为D最小值为，最大值为二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，选错或不选得0分9下列命题不正确的是（）A若za+bi（a，bR），则当a0时，z为纯虚数B若z1，z2C，z12+z220，则z1z20C若实数a与ai对
4、应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系D若|z+i|1，则|z|的最大值为310已知向量（2，1），（3，1），则（）A（）B向量在向量上的投影向量是C|5D与向量共线的单位向量是（，）11水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为（x，y），其纵坐标满足yf（t）Rsin（t+）（t0，0，|），则下列叙述正确的是（）AB当t0，60时，函数yf（t）单调递增C当t0，60时，点P到x轴的距离的最大值为3D当t
5、100时，|PA|612已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，ABBCBB1，D是AC的中点，O为A1C的中点点P是BC1上的动点，则下列说法正确的是（）A当点P运动到BC1中点时，直线A1P与平面A1B1C1所成的角的正切值为B无论点P在BC1上怎么运动，都有A1POB1C当点P运动到BC1中点时，才有A1P与OB1相交于一点，记为Q，且D当点P在BC1上运动时，直线A1P与AB所成角可以是30三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13复数2+i为一元二次方程x2+ax+b0（a，bR）的一个根，则复数|a+bi| 14如图，在ABC中，P是线段BN上的一点，若m+，则实数m
6、 15某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是cm3，则正方体石块的棱长是 cm；若将图（2）的正方体石块打磨成一个球形的石凳，则此球形石凳的最大体积是 cm316设定义在区间（0，）上的函数y2cosx的图象与y3tanx的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数ysinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知向量、满足|1，|k+|k|（k0，kR）（1）求关于k的解析式f（k）；（2）若，
7、求实数k的值；（3）求向量与夹角的最大值18已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：函数f（x）的最大值为2；函数f（x）的图象可由的图象平移得到；函数f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为（1）请写出这两个条件序号，并求出f（x）的解析式；（2）求方程f（x）+10在区间，上所有解的和19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD底面ABCD，E为侧棱PD的中点（1）求证：PB平面ACE；（2）若平面ABE与侧棱PC交于点F且PAPDAD2，求四棱锥PABFE的体积20某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），
8、得到如下的频数分布表：周跑量（km/周）10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）40，45）45，50）50，55）人数100120130180220150603010（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；（2）根据以上图表数据，试求样本的中位数（保留一位小数）；（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如表：周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格（单位：元）250040004500根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少
9、元？21某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB进行改建如图所示，平行四边形OMPN区域为停车场，其余部分建成绿地，点P在围墙AB弧上，点M和点N分别在道路OA和道路OB上，且OA60米，AOB60，设POB（）求停车场面积S关于的函数关系式，并指出的取值范围；（）当为何值时，停车场面积S最大，并求出最大值22如图1，在等腰梯形ABCD中，ABCD，AB3，CD1，BC2，E、F分别为腰AD、BC的中点将四边形CDEF沿EF折起，使平面EFCD平面ABFE，如图2，H，M别线段EF、AB的中点（）求证：MH平面EFCD；（）请在图2所给的点中找出两个点，使得这两点所在直线
10、与平面DHM垂直，并给出证明：（）若N为线段CD中点，在直线BF上是否存在点Q，使得NQ面DHM？如果存在，求出线段NQ的长度，如果不存在，请说明理由参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1某学校有高中学生900人，其中高一有400人，高二300人，高三200人，采用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的学生人数为（）A25、15、5B20、15、10C30、10、5D15、15、15解：每个个体被抽到的概率等于，则高一、高二、高三各年级抽取的学生人数分别为40020，30015，20010，故选：B2已知i是虚数单位，复数z，则z的共轭复数在
11、复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：z+i，i，对应点的坐标为（，），在第三象限故选：C3已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是（）A如果m，n，那么mnB如果m，n，那么mnC如果mn，m，n，那么D如果，直线m与所成的角和直线n与所成的角相等，那么mn解：如果m，n，那么mn或m与n相交或m与n异面，故A错误；如果m，则m与平行于的所有直线垂直，又n，那么mn，故B正确；如果mn，m，则n或n，又n，那么或与相交，故C错误；如果，且直线m与所成的角和直线n与所成的角相等，可得m、n与平面成等角，则mn或m与n相交或m与n异面，
12、故D错误故选：B4一组数据中的每一个数据都乘以3，再减去50，得到一组新数据，若求得新的数据的平均数是1.6，方差是3.6，则原来数据的平均数和方差分别是（）A17.2，3.6B54.8，3.6C17.2，0.4D54.8，0.4解：设原来的数据为xi，则3xi50的平均数是1.6，方差是3.6，解得17，2，D（xi）0.4原来数据的平均数和方差分别是17.2，0.4故选：C5已知ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S若asinbsinA，2S，则ABC的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C正三角形D等腰直角三角形解：因为asinbsinA，所以asin（）acosbsinA
13、，由正弦定理可得sinAcossinBsinA，因为sinA0，可得cossinB2sincos，因为B（0，），（0，），cos0，所以可得sin，可得，可得B，又2S，可得2bcsinAbccosA，即tanA，因为A（0，），可得A，所以CAB，则ABC的形状是正三角形故选：C6已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为3，则球O的表面积等于（）ABCD解：圆锥的顶点和底面圆周都在球O面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为3，设母线为l，所以3，所以母线长为：l3，圆锥的底面周长为2，底面半径为r1，圆锥的高为：2，设球的半径为：R，可得R2（2R）2+1
14、2，解得R，球O的表面积：4故选：A7已知函数g（x）sin（x+），g（x）图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到f（x）的图象，f（x）的部分图象如图所示，若，则等于（）ABCD解：已知函数g（x）sin（x+），g（x）图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到f（x）的图象，则f（x）sin（2x+），由，得|AB|BC|cosABC|AB|2，2|AB|BC|，cosABC，则ABC120，过B作BEx轴于E，则BE，AE3，即周期T12，即12，得，故选：A8已知菱形ABCD边长为1，BAD60，对角线AC与BD交于点O，将菱形ABCD沿对角线BD折成平面角为的二面角，若60，120，
15、则折后点O到直线AC距离的最值为（）A最小值为，最大值为B最小值为，最大值为C最小值为，最大值为D最小值为，最大值为解：由二面角的定义知AOC，60，120，在AOC中解决点到直线的距离的最值，因为AOBD，COBD，所以AOC，60，120，因为菱形ABCD的边长为1，BAD60，所以AOCO，点O到AC的距离dcosAOC，当AOC60时，d取得最大值，当AOC120时，d取得最大值，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，选错或不选得0分9下列命题不正确的是（）A若za+bi（a，bR），则当a
16、0时，z为纯虚数B若z1，z2C，z12+z220，则z1z20C若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系D若|z+i|1，则|z|的最大值为3解：对于A，当a0，b0时，z为纯虚数，故A错误；对于B，令z11，z2i，则z12+z220，但不满足z1z20，故B错误；对于C，当a0时，不满足，故C错误；对于D，|z+i|1的几何意义是复数对应的点到（，1）的距离为1，即z的轨迹为以（，1）为圆心，1为半径的圆，则|z|的最大值为1+3，所以D正确；故选：ABC10已知向量（2，1），（3，1），则（）A（）B向量在向量上的投影向量是C|5D与向量共线的单位向量是（，）解：因为
17、向量（2，1），（3，1），故，对于A，所以（）2（1）+210，所以（），故A正确；对于B，向量在向量上的投影向量是，（注：是向量的夹角），故B错误；对于C，所以，故C正确；对于D，共线的单位向量是，即（，）或（，），故D错误故选：AC11水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为（x，y），其纵坐标满足yf（t）Rsin（t+）（t0，0，|），则下列叙述正确的是（）AB当t0，60时，函数yf（t）单调递增C
18、当t0，60时，点P到x轴的距离的最大值为3D当t100时，|PA|6解：由题意，R6，T120，所以；又点A（3，3）代入f（x）可得36sin，解得sin；又|，所以A正确；所以f（t）6sin（t），当t0，60时，t，所以函数f（x）先增后减，B错误；t0，60时，点P到x轴的距离的最大值为6，C错误；当t100时，t，P的纵坐标为y3，横坐标为x3，所以|PA|6，D正确故选：AD12已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，ABBCBB1，D是AC的中点，O为A1C的中点点P是BC1上的动点，则下列说法正确的是（）A当点P运动到BC1中点时，直线A1P与平面A1B1C1所成的角的
19、正切值为B无论点P在BC1上怎么运动，都有A1POB1C当点P运动到BC1中点时，才有A1P与OB1相交于一点，记为Q，且D当点P在BC1上运动时，直线A1P与AB所成角可以是30解：直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，ABBCBB1，对于A：当点P运动到BC1的中点是，有E为B1C1中点，连接A1E，EP，如下所示：即EP平面A1B1C1，所以直线A1P与平面A1B1C1所成的角的正切值，tanPA1E，因为EPBB1，AEBB1，所以tanPA1E，故A正确；对于B：连接B1C，与BC1交于点E，并连接A1B，如下图所示：由题意知，B1BCC1为正方程，即有B1C面B1BCC1，所以A
20、1B1BC1，又A1B1B1CB1，所以BC1面A1B1C，OB1面A1B1C，故BC1OB1，同理可证：A1BOB1，又A1BBC1B，所以OB1面A1BC1，又A1P面A1BC1，即有A1POB1，故B正确；对于C：点P运动到BC1的中点时，即在A1B1C中A1P，OB1均为中位线，所以Q为中位线的交点，所以根据中位线的性质有，故C错误；对于D：由于A1B1AB，直线A1P与直线AB所成的角为A1B1与A1P所成的角，即B1A1P，结合下图分析知，点P在BC1上运动时，当P在B或C1上是，B1A1P最大为45，当P在BC1的中点时，B1A1P最小为arctanarctan30，所以B1A1
21、P不可能是30，故D正确故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13复数2+i为一元二次方程x2+ax+b0（a，bR）的一个根，则复数|a+bi|解：2+i为一元二次方程x2+ax+b0（a，bR）的一个根，2i为一元二次方程x2+ax+b0（a，bR）的另一个根，则，解得a4，b5|a+bi|4+5i|故答案为：14如图，在ABC中，P是线段BN上的一点，若m+，则实数m解：因为，则，所以mm，因为点B，P，N三点共线，所以m+，则m，故答案为：15某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该
22、石凳的体积是cm3，则正方体石块的棱长是 40cm；若将图（2）的正方体石块打磨成一个球形的石凳，则此球形石凳的最大体积是 cm3解：设正方体石块的棱长为a，则每个截去的四面体的体积为，由题意可得8+，解得a40故正方体石块的棱长为40cm；当球形石凳的面与正方体的各个面都相切时，球形石凳的表面积最大，此时正方体的棱长正好是球的直径，此时石凳的最大体积是Vcm3故答案为：40cm；cm316设定义在区间（0，）上的函数y2cosx的图象与y3tanx的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数ysinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为解：设P（x，y），则2cosx3
23、tanx，sinx，sin2x+cos2x1，+cos2x1，解得cos2x，或cos2x3（舍）0，sinxP1P2sinx故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知向量、满足|1，|k+|k|（k0，kR）（1）求关于k的解析式f（k）；（2）若，求实数k的值；（3）求向量与夹角的最大值解：（1）|k+|k|，（k+）23（k）2，|1，3（12k+k2）8k2+2k2，k0，kR，（k+）f（k）（k+），（2），k2或2，（3）设，夹角为，则根据数量积公式，得cos（k+），0，向量与夹角的最大值18已知函数只能同时满足下列三个条件中
24、的两个：函数f（x）的最大值为2；函数f（x）的图象可由的图象平移得到；函数f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为（1）请写出这两个条件序号，并求出f（x）的解析式；（2）求方程f（x）+10在区间，上所有解的和解：（1）函数满足条件为：理由如下：由题意可知条件互相矛盾，故为函数满足的条件之一由可知：T，所以2故不合题意所以函数满足条件为：由知：A2所以（2）由于f（x）+10所以sin（2x+），所以2x+或（kZ），解得：x或（kZ），由于x，所以x的取值为所以方程f（x）+10的所有的解的和为19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD底面ABCD，E为侧棱PD的中
25、点（1）求证：PB平面ACE；（2）若平面ABE与侧棱PC交于点F且PAPDAD2，求四棱锥PABFE的体积【解答】（1）证明：连接BD，设BDACO，则O为BD的中点，连接OE，E为PD的中点，O为BD的中点，OEPB，又OE平面ACE，PB平面ACE，PB平面ACE；（2）解：由ABCD是正方形，可得CD平面ABE，CD平面PCD，设平面PCD平面ABEEF，FPC，CDEF，而E为PD的中点，则F为PC的中点，EFCD且EFCD，在正方形ABCD中，ABCD且ABCD，ABEF，EF，则四边形ABFE为梯形，侧面PAD底面ABCD，平面PAD底面ABCDAD，CD平面ABCD，CDAD，
26、CD平面PAD，又AE平面PAD，可得CDAE，而CDEF，EFAE，可得四边形ABFE为直角梯形EFCD1，AE，由CD平面PAD，PD平面PAD，得CDPD，从而EFPD，在正三角形PAD中，E是PD的中点，则AEPD，又AEEFE，AE、EF平面ABFE，PD平面ABFE，PEPD1，20某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表：周跑量（km/周）10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）40，45）45，50）50，55）人数100120130180220150603010（
27、1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；（2）根据以上图表数据，试求样本的中位数（保留一位小数）；（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如表：周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格（单位：元）250040004500根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？解：（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图如下：（2）由频率分布直方图得：10，25）的频率为：（0.02+0.024+0.026）50.35，25，30）的频率为0.03650.
28、18，设样本的中位数为x，则0.35+（x25）0.0360.5，解得x29.2样本的中位数约为29.2（3）依题意知休闲跑者共有：（50.02+50.024）1000220人，核心跑者共有：（50.026+50.036+50.044+50.030）1000680人，精英跑者共有：1000220680100人，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费：（2202500+6804000+1004500）3720（元）21某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB进行改建如图所示，平行四边形OMPN区域为停车场，其余部分建成绿地，点P在围墙AB弧上，点M和点N分别在道路OA
29、和道路OB上，且OA60米，AOB60，设POB（）求停车场面积S关于的函数关系式，并指出的取值范围；（）当为何值时，停车场面积S最大，并求出最大值解：（）由平行四边形OMPN得，在OPN中，ONP120，OPN60，则，即，所以，则停车场面积，即，其中060（）由（）得，即，则，因为060，所以 302+30150，则平方米故当30时，停车场最大面积为平方米22如图1，在等腰梯形ABCD中，ABCD，AB3，CD1，BC2，E、F分别为腰AD、BC的中点将四边形CDEF沿EF折起，使平面EFCD平面ABFE，如图2，H，M别线段EF、AB的中点（）求证：MH平面EFCD；（）请在图2所给的点
30、中找出两个点，使得这两点所在直线与平面DHM垂直，并给出证明：（）若N为线段CD中点，在直线BF上是否存在点Q，使得NQ面DHM？如果存在，求出线段NQ的长度，如果不存在，请说明理由解：（）证明：四边形ABCD是等腰梯形，点H为EF的中点，点M为AB的中点，MHEF，平面EFCD平面ABFE，平面EFCD平面ABFEEF，MH平面EFCD（）解：在图2中，C，E这两个点，使得这两点所在直线与平面DHM垂直证明：连结CE，DH，CE平面EFCD，MHCE，CDEH，且CDDE，四边形CDEH是菱形，CEDH，MHDHH，C，E这两点所在直线与平面DHM垂直（）解：N为线段CD中点，假设在直线BF上存在点Q，使得NQ面DHM在线段MB上取点P，使得MP0.5，连结线段CP，交EF于点L，由题意得平面NLC平面DHM，NQ平面DHM，Q就是所求的点，NQ
