1、8.4 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.1 8.4.1 平面平面1.1.能根据生活中的实物对平面进行描述；能根据生活中的实物对平面进行描述；2.2.掌握平面的表示法及水平放置的直观图；掌握平面的表示法及水平放置的直观图；3.3.掌握平面的基本性质及作用；（掌握平面的基本性质及作用；（重点、重点、难点难点）4.4.培养学生的空间想象能力培养学生的空间想象能力. . 前面我们初步认识了简单几何体的组成元素，知道了顶点、棱前面我们初步认识了简单几何体的组成元素，知道了顶点、棱( (直线直线段段) )、平面多边形是构成棱柱、棱锥等多面体的基本元素、平面多
2、边形是构成棱柱、棱锥等多面体的基本元素. .我们以直观感知我们以直观感知的方式认识了这些基本元素之间的相互关系，从而得到了多面体的一些结的方式认识了这些基本元素之间的相互关系，从而得到了多面体的一些结构特征构特征. . 为了进一步认识立体图形的结构特征，需要对点、直线、平面之为了进一步认识立体图形的结构特征，需要对点、直线、平面之间的位置关系进行研究间的位置关系进行研究. .本节我们先研究平面及其基本性质本节我们先研究平面及其基本性质. . 生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象平面的形象几何里所说的几
3、何里所说的“平面平面”（planeplane）就是从这样的一些物体中就是从这样的一些物体中抽象出来的抽象出来的. .类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延展的无限延展的. .平面平面1.1.平面的概念平面的概念2.2.平面的画法平面的画法 与画出直线与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面可以画出平面的一部分来表示平面. .我们常用矩形的我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面平行四边形的锐直观图，即平行四边形表示平面平行四边形的锐角通常画成角通常画成4545，且横边长等于其邻边长的，且横
4、边长等于其邻边长的2 2倍倍DCABABCD平面平面、平面、平面( (标记在角上标记在角上) )平面平面ABCD或或平面平面AC、平面平面BD3.3.平面的表示方法平面的表示方法 平面内有无数个点，平面可以看成点的集合点在平面内和点在平面平面内有无数个点，平面可以看成点的集合点在平面内和点在平面外都可以用元素与集合的属于、不属于关系来表示外都可以用元素与集合的属于、不属于关系来表示AB点点A在平面在平面 内，内，记作记作 记作记作 点点B在平面在平面 外，外，读作读作读作读作点、线、面的基本位置关系点、线、面的基本位置关系图形图形文字语言文字语言( (读法读法) )符号语言符号语言点在直线上点
5、在直线上点不在直线上点不在直线上点在平面内点在平面内 点不在平面内点不在平面内 直线直线a、b交于点交于点A 常见的点、线、面的基本位置关系常见的点、线、面的基本位置关系AaAaAAabA图形图形文字语言文字语言( (读法读法) )符号语言符号语言直线直线a在平面在平面内内直线直线a与平面与平面平行平行直线直线a与平面与平面交于点交于点A平面平面与与相交于直线相交于直线laaaAl平面公理平面公理基本事实基本事实1 1 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面ACB 在日常生活中，我们可以看到这样的现象：自行车用一个脚架和两个在日常生活中，我们可以看到这
6、样的现象：自行车用一个脚架和两个车轮着地就可以车轮着地就可以“站稳站稳 ” ”，三脚架的三脚着地就可以支撑照相机，三脚架的三脚着地就可以支撑照相机. .由这些由这些事实和类似经验，可以得到下面的基本事实：事实和类似经验，可以得到下面的基本事实：基本事实基本事实1 1给出了一个给出了一个确定平面的依据确定平面的依据. .它也可以简它也可以简记为记为“不共线的三点确定一个平面不共线的三点确定一个平面”.”.不在一条直线不在一条直线上的三个点上的三个点A、B、C所确定的平面，可以记成所确定的平面，可以记成“平面平面ABC”利用基本事实利用基本事实2 2，可以，可以判断直线是否在平面内判断直线是否在平
7、面内. .基本事实基本事实2 2也可以用符号表示为：也可以用符号表示为：基本事实基本事实2 2 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内面内ABl 实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，那么直尺的整个边缘就落在了桌面上桌面上，那么直尺的整个边缘就落在了桌面上上述经验和类似的事实可上述经验和类似的事实可以归纳为以下基本事实：以归纳为以下基本事实：A lBlABl ，且，B 把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平把三角板的一
8、个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点面是否只相交于一点B？为什么？为什么？基本事实基本事实3 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线条过该点的公共直线利用基本事实利用基本事实3 3，我们可以，我们可以判断两个平面是否判断两个平面是否相交相交证明点在直线上证明点在直线上基本事实基本事实3 3也可以用符号表示为：也可以用符号表示为：lP根据根据上述事实可以得到下面基本事实：上述事实可以得到下面基本事实：PPlPl ，且，且 上述关于平面的三个基本事实是人们长期观察与实践总结出来的，几上
9、述关于平面的三个基本事实是人们长期观察与实践总结出来的，几何推理的基本依据，也是我们进一步研究立体图形的基础何推理的基本依据，也是我们进一步研究立体图形的基础. .利用基本事实利用基本事实1 1和基本事实和基本事实2 2，再结合，再结合“两点确定一条直线两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：，可以得到下面三个推论：推论推论1 1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. .推论推论2 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面经过两条相交直线，有且只有一个平面. .推论推论3 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面经过两条平行直线，有且只有
10、一个平面. .1.1.判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确(1)(1)经过三点确定一个平面经过三点确定一个平面. .(2)(2)平面平面与与平面平面相交，它们只有有限个公共点相交，它们只有有限个公共点. .(3)(3)若点若点A直线直线a，点，点A平面平面，则，则a . .(4)(4)如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合. .2.2.下列命题中，正确的命题是下列命题中，正确的命题是( )( )A.A.有三个公共点的两个平面重合有三个公共点的两个平面重合B.B.梯形的四个顶点在同一个平面内梯形的四个顶点在同一个平面内C.C.
11、三条互相平行的直线必共面三条互相平行的直线必共面D.D.四条线段顺次首尾连接，构成平面图形四条线段顺次首尾连接，构成平面图形B B3.3.下列命题正确的是（下列命题正确的是（ ）A.A.两条直线可以确定一个平面两条直线可以确定一个平面B.B.一条直线和一个点可以确定一个平面一条直线和一个点可以确定一个平面C.C.空间不同的三点可以确定一个平面空间不同的三点可以确定一个平面D.D.两条相交直线可以确定一个平面两条相交直线可以确定一个平面D D4.4.用符号表示下列语句，并画出相应的图形用符号表示下列语句，并画出相应的图形. .(1)(1)点点A在平面在平面内，点内，点B在平面在平面外；外；(2)(2)直线直线a 既在既在平面平面内，又在平面内，又在平面内内. .空间图形空间图形文字叙述文字叙述符号表示符号表示实例引实例引入平面入平面平面的画平面的画法和表示法和表示点和平面的点和平面的位置关系位置关系平面的平面的三个公三个公理理
